[Vecchio] Esercizi e formulario Microeconomia

E S E T

​ ​

Calcolare retta di bilancio e la nuova​ curva di Engel​ . 19

Soluzione 1 ​

Le preferenza di un consumatore seguono una funzione di utilità omotetica​ ed in

corrispondenza della scelta ottima si ha: 1

x = x

2 1

8

1.1 01 02

Sapendo che i prezzi dei due beni sono: e , si ricavi e si rappresenti la

p = 1 p = 4

​

Curva di Engel per il bene 1. 1

x = x 01 02

Dato che il punto di ottimo è in corrispondenza di e so che e so

p = 1 p = 4

2 1

8

che il consumatore sarà sempre in una situazione in cui rispetta il vincolo di bilancio,

​

quindi la curva di Engel per il bene 1​ si troverà facendo:

M = p x + p x

1 1 2 2

1 3

( )

M = 1 x + 4 x M = x

⇒

* *

1 1 1

8 2

x ​

Possiamo riscrivere la curva di Engel in funzione di per trovare la retta di

1

bilancio​ : 2

x = M

1 3

1.2 ​ ​ ​ ​

Dopo aver chiarito la differenza tra beni normali ed inferiori si definisca e si

​ ​

interpreti l' e lasticità della domanda al reddito del bene 1.

Per trovare l'​ elasticità della domanda del bene 1 al reddito​ si calcola la derivata

x

prima della funzione di domanda del bene 1 che moltiplica su , ovvero

M 1

δx M

ε = 1 *

M 1 δM x

1

2 M

ε = =1

M 1 2

3 M

3

​

Poiché , il bene 1 è un bene normale​ perché all'aumento del reddito

ε = 1

M 1

aumenta il suo consumo.

È possibile vedere questo anche perché l'elasticità della domanda al reddito è

maggiore di 0.

Algebricamente, un bene è detto normale quando:

δx

n orm : ε = ≥ 0

1

δM 20

1.3

Si consideri ora la funzione di utilità uguale a:

12/3 21/3

u (x , x ) = x x

1 2

​ ​

Calcolare il Saggio Marginale di Sostituzione e spiegare il suo significato

M RS

​ ​

Dato il reddito , si determinino le funzioni di domanda del bene 1 e del

M = 2 4 D 1

​ ​

bene 2 e l'

e lasticità incrociata della domanda del bene 2 al prezzo del bene

D 2

1 .

ε 2p

1 ​ ​

Calcolare le q uantità ottime

.

​

Il Saggio Marginale di Sostituzione​ è l'inclinazione in un punto della curva di

M RS

indifferenza e rappresenta il saggio in cui bene 1 può essere sostituito a bene 2 a

parità di soddisfazione.

È il rapporto tra l'utilità marginale del bene 1 e l'utilità marginale del bene

| M RS| M U 1

2 : e altri non sono che la derivata prima della funzione di utilità

M U M U M U

2 1 2

x x

rispetto a e . Quindi:

1 2 MU ∂u/∂x

M RS = =

| | 1 1

MU ∂u/∂x

2 2

2 1/3 1/3

x x x

|

M RS| = = 2

3 1 2 2

1 2/3 −2/3 x

x x 1

3 1 2

​

Per trovare la funzione di domanda del bene 1​ devono essere soddisfatte 2

condizioni: 0

p

1. M RS =

| | 1

0

p

2

0 0

M = p x + p x

2. 1 2

1 2

La prima condizione implica che: 0 0

p p

x x

2 = x =

⇒

2 1 1 1

2

0 0

x p p 2

1 2 2

e, sostituendo quanto trovato nella prima condizione nella seconda, otteniamo che:

( )

0

p x

01 02 0 01 x1 3 01

M = p x + p = p x + p = p x

1 1

1 1 1

0

p 2 1 2 2

2

e quindi, inserendo nell'equazione appena trovata, si ha che:

M 3 01 3 01 2 1 16

M = p x 2 4 = p x x = 2 4 =

⇒ ⇒ * *

1 1 1 0 0

2 2 3 p p

1 1

e quindi la funzione di domanda del bene 1 risulta essere:

16

D : x =

1 1 0

p

1 21

​

Per trovare la funzione di domanda del bene 2​ devono essere soddisfatte le stesse

condizioni precedenti, esprimiamo l'uguaglianza tra Saggio Marginale di Sostituzione

x x

e Rapporto tra i prezzi con in funzione di :

1 2

0 0

p p

x

2 = x = 2 x

⇒

2 1 2

1 2

0 0

x p p

1 2 1

x

sostituendo nell'equazione di , otteniamo che:

M

1 ( )

0

p

01 02 02 02 02

M = p 2x + p x = 2 x p + p x = 3 p x

2

* 2 2 2 2 2

0

p

1

e quindi, inserendo nell'equazione appena trovata, si ha che:

M 02 02 8

M = 3 p x 2 4 = 3 p x x =

⇒ ⇒

2 2 2 0

p

2

e quindi la funzione di domanda del bene 2 risulta essere:

8

D : x =

2 2 0

p

2

Ora l'esercizio ci chiede di trovare l'​ elasticità incrociata della domanda del bene 2

al prezzo del bene 1 , però nella funzione di domanda del bene 2 non compare il

ε 2p

1

prezzo del bene 1, quindi l'elasticità incrociata è uguale a 0:

0

p

δx

ε = 2 1

0

0

2p δp x

2

1 1

0

p

ε = 0 =0

1

*

0

2p x

2

1

​

e quindi si dicono indipendenti​ .

Per ottenere le quantità ottime di bene 1 e bene 2, basta sostituire e nelle loro

p p

1 2

rispettive funzioni di domanda, quindi: ︿

16 16

D : x = x = = 1 6

⇒

1 1 1

0 1

p

1 ︿

8 8

D : x = x = =2

⇒

2 2 2

0 4

p

2 22

1.4 ​

11

Supponiamo che il prezzo del bene 1 diventi calcolare l' effetto reddito ,

p = 8 E R

l'effetto sostituzione e l'effetto totale .

E S E T

​ ​ ​ ​

Calcolare r etta di bilancio e la nuova curva di Engel .

Conoscendo le funzioni di domanda dei due beni, possiamo subito calcolare il nuovo

11

equilibrio sapendo che :

p = 8 11 16 16

x = = =2

1 8

p

1

12 8 8

x = = =2

0 4

p

2

1

E = (

2, 2 )

A questo punto siamo immediatamente in grado di calcolare l'​ Effetto totale​ di

E T

x

questa variazione poiché esso altri non è che il passaggio di da 16 a 2:

1

11

E T = x − x = 2 − 1 6 =

− 1 4

1

Per determinare l'​ Effetto sostituzione​ , abbiamo bisogno di sapere qual è la

E S

curva di indifferenza​ che passa per il nuovo paniere ottimo, ossia, il valore

C I

della funzione di utilità in corrispondenza del paniere ottimo, e quindi:

2/3

︿ ︿ 2/3 1/3 4 1/3 3

u (x , x ) = 1 6 2 = (2 ) 2 = 2 = 8

1 2

Per calcolare l'effetto sostituzione devono essere soddisfatte due condizioni:

1

p

1. M RS =

| | 1

0

p

2

u (x , x ) = 8

2. 1 2

Calcoliamo la prima uguaglianza: x

2 = 2 x = x

⇒

2 2 1

x

1

a questo punto possiamo calcolare il valore della nuova funzione di utilità in una

x

variabile :

1 2/3 1/3

u (x , x ) = 8 ( x ) (x ) = 8 x = 8

⇒ ⇒

1 2 1 1 1S

E quindi ricavare: ︿

E S = x − x = 8 − 1 6 = − 8

1S 1

11

E R = x − x = 2 − 8 = − 6

1S

E T = ES + E R = − 8 − 6 = − 1 4 23

1

Calcoliamo il valore del nuovo reddito :

M

1 11 02

M = p x + p x

1 2

1

M = 8 (8) + 4 (8) = 9 6

​

a questo punto siamo in grado di scrivere la nuova curva di Engel​ :

1 11 02

M = p x + p x

1 2

1

M = 8 x + 4 x

1 2

x ​

a questo punto possiamo anche esplicitare per trovare la retta di bilancio​ :

2 1

p

1

M

x = − x

1

2 1

0 0

p p

2 2

96 8

x = − x = 2 4 − 2 x

2 1 1

4 4 24

Produzione breve periodo

Esercizio 1

Nel breve periodo ci sono imprese tutti uguali che operano in mercati

n

perfettamente concorrenziali.

​

La funzione di costo totale di breve periodo dell'impresa​ è:

i

2 3

S T C (y ) = 2 4y − 8 y + y + 5 92

i i i i i

1.1 ​ ​

Si ricavino e si rappresentino le funzioni di Costo Marginale​ e di Costo

S M C

Medio Variabile​ .

A

V C

Si consideri un che cosa rappresenta l'​ area sottesa​ alla funzione di costi

y = 3

marginali di breve periodo?

S M C

1.2 ​

Si definisca la condizione di chiusura​ ed il suo significato e si ricavi la f​ unzione di

offerta di breve periodo​ della singola impresa.

1.3

In equilibrio di breve periodo, il prezzo è e la funzione di domanda di mercato

p = 3 6

è uguale a: 1

p = 6 6 − y T D

2

con che è la quantità totale domandata.

y T D

Quante sono le imprese?

n

1.4

Si dia giustificazione dei profitti di ciascuna di queste imprese in equilibrio.

i 25

Soluzione 1

Nel breve periodo ci sono imprese tutti uguali che operano in mercati

n

perfettamente concorrenziali.

​ ​

La f unzione di costo totale di breve periodo dell'impresa è:

i

2 3

S T C (y ) = 2 4y − 8 y + y + 5 92

i i i i i

1.1 ​ ​ ​

Si ricavino e si rappresentino le f unzioni di Costo Marginale e di C osto

S M C

​

Medio Variabile .

A

V C ​ ​

Si consideri un che cosa rappresenta l' a rea sottesa alla funzione di costi

y = 3

marginali di breve periodo?

S M C ​

Conoscendo la funzione di costi totali, si possono ricavare i costi marginali​ S M C

facendo la derivata prima rispetto ad :

y i 2

δST C

S M C = = 2 4 − 1 6y + 3y

i i

δy i

​ ​

Per ottenere i costi medi variabili​ dobbiamo semplicemente dividere i costi

A

V C

variabili​ per .

V C y i

Avendo la funzione di costi totali, abbiamo implicitamente anche i costi variabili ed i

​

costi fissi, poiché la funzione di costi totali altri non è che la somma di costi variabili

​

ed i costi fissi​ e quindi:

V C F C S T C = V C + F C

2 3

V C = 2 4y − 8 y + y

i i i

F C = 5 92

e quindi i costi medi variabili risultano essere:

2 3

24y −8y +y

VC 2

i

A

V C = = = 2 4 − 8 y + y

i i

y y i i

i i

L'​ area sottesa alla funzione di costi marginali​ fino a è l'integrale tra 0 e 3

y = 3

i

dei costi marginali che è uguale ai costi variabili in corrispondenza di 3 (poiché l'area

sottesa alla funzione di costi marginali fino ad un certo livello di output corrisponde ai

costi variabili fino a quel punto), quindi:

3 3 2 3

2

[ ]

∫ ∫

SM C = 24 − 1

6y + 3y = V C(3) = 2 4(3) − 8 (3) + (3) = 7 2 &