Esercizi di Statistica - Parte 1

N F

Fr. Assoluta Fr. Relativa

X X X

a 2 13:3%

b 6 40:0%

5 33:3%

c 2 13:3%

d 15 100%

Rappresentazione gra…ca

Trattandosi di un carattere qualitativo ordinale il gra…co più idoneo è quello

a barre. 9

Esercizio 3.

Si supponga che la rilevazione (e¤ettuata il dicembre di un dato anno)

31

del numero di dipendenti (oltre al titolare) delle imprese artigiane operanti

in una data cittadina abbia prodotto i seguenti valori:

4 1 5 2 0 1 5 0 1 0 2 6 1 2

Descrivere la popolazione, chiarire la natura del carattere in studio e

della v.s. che modella la rilevazione.

X

Dire che cosa s’intende con la scrittura fX = 0g.

E¤ettuare lo spoglio dei dati fornendo la distribuzione di frequenze

assolute, quella di frequenze. relative e quella delle frequenze relative

o

cumulate in forma tabellare (arrotondare al decimale) della v.s.

4 X.

Illustrare quali sono le informazioni fornite dalla suddetta tabella circa

.

x 3

Rappresentare gra…camente la distribuzione di frequenze assolute.

Costruire la funzione di ripartizione e fornire una sua rappresen-

F

tazione gra…ca. N

Calcolare e Commentare tali risultati.

F (3) (X 3).

Calcolare la frequenza relativa assegnata alle seguenti parti della popo-

lazione: 1

f0 \ [

A = < X 3g B = X ([2; 5]) A B A B.

Soluzione

Collettivo, carattere e modalità

Il collettivo U è costituito dalle imprese artigiane :

N = 14 u v

U fu g:

= ; u ; : : : ; u

1 2 14

Il carattere in studio è il numero di dipendenti assunti al 31 dicembre. Si

tratta di un carattere quantitativo discreto, misurato in scala per rapporti:

l’insieme delle modalità è

M f0; g

= 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; : : : = N:

10

La v.s. che modella la rilevazione è la funzione

X U !M

X :

la cui legge è 8 0 v = 5; 8; 10

>

>

>

> 1 v = 2; 6; 9; 13

>

>

< 2 v = 4; 11; 14

X (u ) =

v > 4 v =1

>

>

>

> 5 v = 3; 7

>

: 6 v = 12

Con la scrittura fX si indica l’insieme delle imprese aventi zero dipen-

= 0g

denti: fu fu g

: X (u ) = 0g = ; u ; u

v v 5 8 10

Distribuzioni di frequenze

Dato che fx

Im (X) = = 0; x = 1; x = 2; x = 4; x = 5; x = 6g k =6

1 2 3 4 5 6

si ha: N F F

Freq. Ass. Freq. Relative Freq. Rel. Cumulate (X x )

X X X i

0 3 0:2143 0:2143

4 0:2857 0:5000

1 3 0:2143 0:7143

2

4 1 0:0714 0:7857

5 2 0:1429 0:9286

6 1 0:0714 1:0000

14 1:0000

Dal momento che dalla tabella si evince che delle imprese ar-

x = 2, 3

3 N

tigiane esaminate hanno dipendenti (ossia, dette unità

2 (X = 2) = 3);

F

rappresentano il della popolazione (ossia,

21:43% (X = 2) = 21:43%).

Leggendo i valori delle frequenze cumulate sappiamo inoltre che il 71:43%

delle imprese osservate ha un numero di dipendenti non superiori a (ossia,

2

F (X 2) = 71:43%).

Gra…ci 11

Trattandosi di un carattere quantitativo discreto, si costruisce il seguente

gra…co a bastoni.

La funzione di ripartizione è conseguentemente costante a tratti:

F 8 0 x< 0

>

>

>

> 0:21 0 x< 1

>

>

>

> 0:50 1 x< 2

< 0:71 2 x< 4

F (x) = >

>

> 0:79 4 x< 5

>

>

>

> 0:93 5 x< 6

>

: 1:00 x 6

Il suo gra…co è riprodotto qui di sequito. N

Leggendo tale gra…co si desume immediatamente che e

F (3) = 0:71 (X 3) =

Ciò signi…ca che nel dei casi osservati

N F (3) = 14 0:7143 = 10. 71:43%

si registrano valori di non superiori a (ossia il delle imprese in

X 3 71:43%

studio ha non più di dipendenti).

3

12

In…ne, per calcolare la frequenza relativa associata agli insiemi \

A, B, A B,

F(a

[ faremo uso della relazione fondamentale

A B, < X b) = F (b) F (a)

e quindi dei valori della funzione di ripartizione:

F(A) F(0

= < X 3) = F (3) F (0) = 0:71 0:21 = 0:5

1

F(B) F(X F(2 F(X F(2

= ([2; 5])) = X 5) = = 2) + < X 5)

= f + (F (5) F (2)) = 0:2143 + (0:93 0:71) = 0:4343

3

Osservando che \ f0 \ f2 f2

A B = < X 3g X 5g = X 3g

abbiamo:

F(A F(2 F(X F(2

\ B) = X 3) = = 2) + < X 3)

= f + (F (3) F (2)) = 0:2143 + (0:71 0:71) = 0:2143

3

Osservando che [ f0 [ f2 f0

A B = < X 3g X 5g = < X 5g

abbiamo: F(A F(0

[ B) = < X 5) = F (5) F (0)

= 0:93 0:21 = 0:72

Esercizio 4.

Si immagini di aver intervistato i ragazzini di una classe elementare, chieden-

do loro quale fosse l’importo della paghetta settimanale. I dati rilevati

(espressi in Euro) sono riportati qui di seguito:

0 10 10 20 30 40 10 20

30 40 40 50 10 20 0 10 40 50

20 30 10 20 30 40 10 20 0 10

1. Leggendo l’elenco dei dati orginari per righe, individuare ed

X(u )

3

ed illustrare il signi…cato di tali dati.

X(u )

12 13

2. E¤ettuare lo spoglio dei dati fornendo la distribuzione di frequenze as-

solute e quella di frequenze relative in forma tabellare. Chiarire quindi

il signi…cato della scrittura fX = 30 40g.

3. Speci…care i valori corrispondenti a , , ed chiarendone il

k, x n f F

4 2 5 3

signi…cato.

4. Rappresentare gra…camente la distribuzione delle frequenze assolute,

costruire la funzione di ripartizione e produrre la corrispondente rap-

presentazione gra…ca.

5. Calcolare la frequenza relativa assegnata alle seguenti parti della popo-

lazione: 1

f15 \ [

A = < X 30g B = X ([20; 35]) A B A B.

Soluzione

Lettura della matrice dei dati

X(u ) = 30 40 X(u ) = 30 40

3 12

Gli intervistati e percepiscono una paghetta settimanale di importo

u u

3 12

compreso tra i e i Euro.

30 40

Distribuzioni di frequenze

Classi Fr. Ass. Fr. Relat. Fr. Rel. Cumul.

0 10 3 0:21 0:21

10 20 5 0:36 0:57

20 30 1 0:07 0:64

30 40 3 0:21 0:86

40 50 2 0:14 1:00

14 1:00

Con fX si intende il gruppo di ragazzi aventi una pagetta setti-

= 30 40g

manale d’importo compreso tra e Euro.

30 40

Si osservi che:

è il numero di modalità distinte ed ordinate che sono state rilevate

k = 5

(ossia # Im (X)),

14 si tratta della quarta modalità distinta che è stata

x = (30 40)

4

rilevata (ossia, il quarto elemento di Im (X)),

N è il numero di ragazzini su cui si è osservata la

n = (X = x ) = 5

2 2

modalità (ossia il numero di ragazzini che percepiscono

x = (10 20)

2

una paghetta settimanale compresa tra e Euro),

10 20

F è la quota percentuale di ragazzini tali che

f = (X = x ) = 0:14

5 5

(il degli alunni ha una paghetta compresa tra i

X = (40 50) 14% 40

e i Euro),

50 F indica che nel delle unità in studio

F = (X 30) = 0:64 64%

3

la v.s. assume valori non superiori a (il degli intervistati

X 30 64%

percepisce non più di Euro alla settimana)

30

Gra…ci

Dal momento che il carattere è quantitativo in classi, la distribuzione delle

frequenze può essere visualizzata ricorrendo all’istogramma la cui costruzione

necessita il calcolo preventivo delle densità di frequenze come segue:

Fr. Ass. Ampiezze Classi Dens. Freq.

Classi n w h = n =w

x i i i i i

i

0 10 3 10 0:3

5 10 0:5

10 20 1 10 0:1

20 30

30 40 3 10 0:3

2 10 0:2

40 50

Il gra…co corrispondente è il seguente: 15

La funzione di densità di frequenza è la funzione costante a tratti che

h (x)

segue: 8 0:3 0 < x 10

>

>

>

> 0:5 10 < x 20

>

>

< 0:1 20 < x 30

h (x) = > 0:3 30 < x 40

>

>

>

> 0:2 40 < x 50

>

: altrove

0

Naturalmente, la Fdr è continua e la sua legge è:

8 0 x< 0

>

>

>

> 0:21 0 x < 10

x

>

> 10

>

> 0:36

0:21 + (x 10) 10 x < 20

< 10

0:07 20 x < 30

0:57 + (x 20)

F (x) = 10

>

> 0:21

> 0:64 + (x 30) 30 x < 40

> 10

>

> 0:14

> 0:86 + (x 40) 40 x < 50

>

: 10

1 x 50

Il gra…co di è riprodotto qui di seguito:

F (x)

In…ne, per calcolare la frequenza relativa associata agli insiemi \

A, B, A B,

F(a

[ faremo uso della relazione fondamentale

A B, < X b) = F (b) F (a)

e quindi dei valori della funzione di ripartizione:

F(A) F(15

= < X 30) = F (30) F (15)

0:21 0:36

= 0:64 + (30 30) 0:21 + (15 10) = 0:25

10 10

16 1

F(B) F(X F(20

= ([20; 35])) = X 35)

F(X F(20

= = 20) + < X 35) = 0 + (F (35) F (20))

0:21 0:07

= 0:64 + (35 30) 0:57 + (20 20) = 0:175

10 10

Osservando che \ f15 \ f20 f20

A B = < X 30g X 35g = X 30g

abbiamo:

F(A F(20 F(X F(20

\ B) = X 30) = = 20) + < X 30)

= 0 + 0:07

Osservando che [ f15 [ f20 f15

A B = < X 30g X 35g = < X 35g

abbiamo:

F(A F(15

[ B) = < X 35) = F (35) F (15)

0:21 0:36

= 0:64 + (35 30) 0:21 + (15 10) = 0:355

10 10

Esercizio 5.

La misurazione del peso di un gruppo di 15 coscritti ha fornito i seguenti

risultati (espressi in Kg):

69:8 71:3 69:6 88:3 84:8

80:5 70:2 62:3 64:1 67:4

81:2 65:9 84:9 53:5 55:2:

1. Descrivere il collettivo e chiarire la natura del carattere in studio.

2. Costruire le distribuzioni di frequenze assolute e relative della v.s. “Peso

in Kg”raccogliendo i dati nelle classi di misure che seguono:

40 60 60 70 70 80 80 100 17

3. Rappresentare gra…camente tale distribuzione.

4. Costruire la funzione di ripartizione e¤ettiva della v.s. in studio e quella

approssimata, basata sulla distribuzione con dati in classi ottenuta in

precedenza.

Soluzione

Collettivo e carattere

Il collettivo è U fu g ove individua ciascuno dei coscritti

= ; u ; : : : ; u u 15

1 2 15

sottoposti a pesatura. Chiaramente la numerosità del collettivo è Il

N = 15.

carattere in studio ha natura quantitativa ed è misurato in scala per rapporti.

L’insieme delle modalità M è costituito dall’insieme dei numeri reali non

negativi: M .

= R +

Spoglio con dati in classi di misure

Dal momento che si tratta di una v.s. continua, e¤ettuando lo spoglio si

ricadrebbe nel caso limite in cui per cui per

k = N n = 1 i = 1; : : : ; k.

i

Risulta allora conveniente raccog