Statistica: riassunto teoria + esercizi Parte 1

STATISTICA

I PARTE Appendici e Statistica Descrittiva

• Appendice B
  • Ripassini di mate
  • INSIEMI
    • Unione O
    • Intersezione E
  • FATTORIALI
    • n! = 1-2-3-...-(n-1)n
  • COEFFICIENTI BINOMIALI
    • (_nk) = n! / k!(n-k)!
• Appendice C
  • calcolo combinatorio
    • PERMUTAZIONE di n oggetti distinti: allineamento (oggetti collocati in n posti numerati da 1 a n) n!
    • DISPOSIZIONE SEMPLICE di n oggetti di classe k: allineamento di k oggetti scelti fra già n
      • D_n,k = n! / (n-k)!
    • DISPOSIZIONE CON RIPETIZIONE di n oggetti della classe k: ogni allineamento di k oggetti scelti fra già n, ogni oggetto può essere ripetuto uno o più volte
      • D'_n,k = n^k
    • COMBINAZIONE di n oggetti di classe k: ogni raggruppamento di k oggetti scelti fra già n
      • C_n,k = (n↙k) = n! / [k!(n-k)!]
    • COMBINAZIONE CON RIPETIZIONE: ogni oggetto può essere ripetuto più volte
• Appendice A
  • Statistica descrittiva
    • Descrizione di tratti salienti di una popolazione o di un campione osservato
    • Dati
      • qualitativi
      • numerici
        • numeri discreti: numerici con un numero finito I ⊆ R
        • numerici continui: qualsiasi valore I ⊆ R
    • Istogrammi: modalità → valori assunti dalle x_i (classi x dati continui), frequenza relativa → fi assoluta / osservazioni totali
    • numerosità → n osservazioni
    • Per dati discreti le barre sono spaziate
    • Diagrammi di Pareto: colonne allineate in ordine decrescente
    • Moda: modalità con frequenza più elevata
    • Funzione di ripartizione empirica
      • f_n(x) = #osservazioni X ≤ X / n → osservazioni non più grandi di x

Indici di posizione

• Media campionaria (aritmetica):

^x = 1/n _{i = 1}ⁿ Σ x_i

• Quantile di ordine p (X_p): valore che lascia alla propria sx una frazione di p e alla propria dx una frazione 1-p delle n osservazioni
• Quartili/mediana
• Moda: modalità osservata con maggior frequenza

Per calcolare il quantile di ordine p:

1. calcolo la funzione di ripartizione empirica di X Fn(x)
2. X_p sarà posto eguale al più piccolo tra i valori di x tali che Fn(x)≥p

Scatola a baffi:

• X_0.25
• X_0.50
• X_0.75

min (Xmax, X_0.25 - 1.5(IQ))

max (Xmin, X_0.75 + 1.5(IQ))

IQ

Indici di variabilità/disperzione

• Varianza campionaria:

S² = 1/n-1 Σ_{i = 1}ⁿ (X_i - ^x)²

• Deviazione standard (scarto quadratico):

S = √S²

• Campo di variazione (Range/distanza interquartile):

Range = X_max - X_min

• Differenza interquartile:

IQ = Q₃ - Q₁

• Coefficiente di variazione:

CV = S / |^x|

• Frequenza assoluta: n volte in cui è osservata una modalità
• Frequenza percentuale: freq rel. 100
• Freq. cumulate: somma freq. ass. di quella classe e precedenti
• Densità di frequenza:

freq rel / ampiezza classe di riferimento (NO TOT)

istogramma: Y: densità / X: x_i

44

-2

16

19

20

22

24

26

26

28

29

31

32

33

34

34

36

39

40

a) Diagramma scatola a baffi:

X_0.25 = 24

X_0.75 = 31

X_0.50 = 27

IQ = 31 - 24 = 7

X_max = 40

X_min = 13.5

STATISTICA

Es 14

B₁ = [la prima pallina estratta è rossa]

B₂ = [la seconda pallina estratta è rossa]

1. Ω : (i, j)
   • i, j = 1, 2, 3, 4, 5
   B₁ : (i, j)
   • i, j = 1, 2, 3
   B₂ : (i, j)
   • i, j = 1, 2, 3
2. P(B₁) = ¹⁵/₂₅
3. P(B₂) = ¹⁵/₂₅
4. P(B₁ ∩ B₂) = ⁹/₂₅
5. c) La pallina non viene reinserita
6. Ω : (i, j)
   • i, j = 2, 3, 4, 5
   • i ≠ j
   B₁ : (i, j)
   • i = 2, 3
   • j = 1, 2, 3
   • i ≠ j
   B₂ : (i, j)
   • i = 1, 2, 3, 4, 5
   • j = 1, 2, 3
   • i ≠ j
7. P(B₁) = ¹²/₂₀
8. P(B₂) = ¹²/₂₀
9. P(B₁ ∩ B₂) = ¹²/₂₀

Es 15

A = [la persona ha la pressione alta]

B = [la persona beve alcolica]

P(A) = 0.05

P(BA) = 0.5

1. P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - 0.05 = 0.95
2. P(B | A) = 0.75

a) P(A ∩ B) = P(B | A) P(A) = 0.75 · 0.05 = 0.0375

b) P(A | B) = (P(B | A) P(A)) / (P(B | A) P(A) + P(B | Ā) P(Ā))

= (0.75 · 0.05) / (0.0375 + 0.5 · 0.95) = 0.0732

Pag. 28 es. 4

DA FARE

A: {Entro il n-esimo lancio compare T esattamente 2 volte}

P(A) = ²/_x

B: {Entro il n-esimo lancio compare T almeno 2 volte}

P(B) = ^x+2/_2^x con x > 0

Pag. 28 es. 5 (Teorema di Bayes)

A: {B, B, B, N, N} B: {B, B, B, N, N, N, N, N}

P(BA) = ³/₅

P(NA) = ²/₅

a) BA: dalla urna A si pesca una pallina bianca

NA: dalla urna A si pesca una pallina nera

b) NB: dalla urna B pesca una pallina bianca

NB: dalla urna B pesca una pallina nera

P(NB|BA) = P(NA|BA)

P(BA|NA) = ^{P(NB|NA) P(BA)}/[P(NB|BA) P(BA) + P(NB|NA) P(NA)]

= ³/₅ * ³/₅ / ⁹/₂₅ + ⁷/₂₅ 5

P(NA|NB) = ^{P(NB|NA) P(NA)}/_{{P(NB|NA) P(NA) + P(NB|BA) P(BA)}}

= ⁷/₁₀ * ²/₅ / ³/₁₀ * ²/₅

= ²⁵/₁₆ = ⁷/₁₆

b) P(Na | N₃) = ⁷/₁₆

Pag. 28 n° 10

Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

A: {è stato estratto il 5}

P(A) = ¹/₆ (con reimmisione)

P(A) = ¹/₄₉ (senza reimmisione)

B: {La somma dei due numeri estratti è pari}

P(B) = ²⁵/₄₉ (con reimmisione)

C: {La somma degli estratti è dispari}

P(C) = ²⁵/₄₉ (con r.)

D: {Il primo estratto è maggiore del secondo}

P(D) = ²⁴/₄₉ (con r.)

^ESTR|I° ESTR