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Esercizi di teoria
Es. 1 esame Gennaio 2011
f: [2,4] → ℝ
F(x)= ?
F(x) = ∫xf(t)dt + ∫2f(t)dt , x3/3 - 8/3 , F'(x) = 3x2/3 - x2/2 = f(x)
Es. 3 esame Gennaio 2011
A = [2,4] ∖ [5,?]
DA = {2,4,5,?}
Es. 1 esame Gennaio 2010
f(x) = x - 2/4
f: [2,4] → ℝ
A1/2 , A4/2 , x3 + 4x + 64 , 16, - 8/3 , 56/3 , 8 , 56 - 24/3 , 32/3
A4 = A2 - 4 = 2 ∫ f(c)
2 ∫(c) = 32/3
f(c) = 16/3
x - 4 = 16/3
x = 23/3 → 28/3
Es. 3 esame Gennaio 2010
f(x,t) = cos(y/x)
fx = -sin(y/x)
fy = -x3 f(y,x)
Es. 1 esame Luglio 2015
f: [0,2] → ℝ
f(x) = { 3 se 0 ≤ x < 1 | x + 2 se 1 ≤ x ≤ 2
∫3 1, fx + 1 = 3x (x + 2)t/x F(x) = { 3x se 0 < x < 1 | x2/2 + 2x - x2/7 , x - 5/2 se 1 ≤ x ≤ 2Es. 3 esame luglio 2015
f(x) = x2+3x
f(xo) = 2x0+3 → verificare
lim [x0(x)2 + 3x(x0)] -(xo)2+3xo] =
h»0
-lim [(xo + h)2+3(x0 + h) -(xo)2+3xo)] =
h»0
lim h(2x0 +h + 3)
h»0
2xo + 3
Es. 1 esame giugno 2016
f(x) = x2 + 4x
[3, -1, 2] → ℝ
- x2 +4x |
- x3 + 2x2 |
- 8 |
- -2 |
- 9
- 3 |
- 3 |
- 3 |
- 3 |
- 3 |
- 3
x2 + 4x = 3
...
x = -2 ± √17/2
c = -2 ± √17
Es. 1 esame 7 Gen 14
f(x) = x/1+x
f(x) [1, 2] → ℝ
f(c) = 1
...
x2 + 2x - 5 = 0
x = -2 ± √17/2
c = -1 ± √6
es. 3 esame giugno 2011
f: [1, 2] → ℝ
f1(x) = |x2-x|
ce = ℝ
lim x→+∞ x2-x = +∞
lim x→+∞ x2+x = +∞
f(0) = 0
f(x) = { x2-x se x ≥ 0
x2+x se x < 0
f'(x) = { 2x-1 ≥ 0 2x > 1 x > 1/2
2x+1 ≥ 0 2x > -1 x > -1/2
min relativo = 0, punti di min relativo → x1 = 0, x2 = 1
max relativo = 2, punto di max relativo → x3 = 2
- B = [2,3) ∪ (3,9)
- min B = 2 inf B = 2
- max B = 7 sup B = 2
- L’insieme è limitato
- C ∈ ℚ
- min C = 7 inf C = 7
- max C = 7 sup C = 7
- L’insieme nn è limitato
- D = [2,3) ∩ (ℝ \ ℚ)
- min D = 7 inf D = 2
- max D = 7 sup D = 3
- L’insieme è limitato
- F = { x ∈ ℝ, x2 < 2 } = (-√2, √2)
- min F = 7 inf F = -√2
- max F = 7 sup F = √2
- L’insieme è limitato
3.6
- A = {n ∈ ℕ: n ≤ 10} = (-∞,10]
- min A = 7 inf A = 7
- max A = 10 sup A = 10
- L’insieme è limitato solo superiormente
4.3
|x + 2| < 3
- x + 2 < 3 x < 1
- x - 2 < 3 x < 5
- x > -5
-5 < x < 1
- f(0) = 2
- f'(x) = 2x - 1
- -2x - 1 > 0
- -2x > 1
- x < -1/2
f(x)=9/4
Non è iniettiva, non è suriettiva, non è biettiva.
2o metodo ➔ f(x) = -x2 - x + 2
Vettice della parabola ➔ -b/2a -1/2
(-1/2, 9/4)
7.8
f(x): [0,1] ➔ [2,12] Biettiva
f(x) = 10x + 2
2.6
f(x) = { x/2 se x < 2 2 - x² se x ≥ 2
-x/2 x = 2y
-2x²=y
-x² + y + 2 -x² + y - 2
x ≤ ±√y + 2
f(-1) = {-2y se y ≥ 1 y - 2 se y < -6
3.4
f(x) = 3 - x²+x f(x) = -x²+x+3
Verice → -2/2(1) = 3/4
[...]
maxf = supf 13/4 punto de max = 1/2
minf ? inff ?
3.5
f: (−∞,3) → ℝ f(x) = 1/x
maxf ? supf ? inf f = min f = 0 punto de min = 1/8
3.6
f: (−∞,3) → ℝ f(x) = 2/(3-x)
maxf ? supf ? minf ? inff ? imf = (0,+∞)
b) d = 1/2
f(x) = 1/2x - 2 se x ≤ 2
f(x) = 4 log(2x + 3) se x > 2
1/2x - 2 = y 1/2x = y + 2 x = 2y + 4
4 log(2x + 3) = y
log(2x + 3) = y/4
2x + 3 = ey/4 2x = ey/4 - 3 x = ey/4 - 3/2
f-1(y) = {
2y + 4 se y ≤ -1
ey/4 - 3/2 se y ≥ 4 log 7
Es. 6 - Gennaio 2014
|x-2| < 3
x ≠ 2
-1 < x-2 < 3
1 < x < 5
x < 2 ∪ x > 7/3
Es. 4 - Gennaio 2013
|x-1| > 3
-x-1 > 3 x > 2
x < -2 ∪ x > 4
Es. 4 - Giugno 2011
|x| < 3
x ≠ 0
1/3 < x ≤ 1
Es. 4 - Luglio 2015
|x - 1/2| < 3
-x < 3 x > 7/2
-5/2 < x < 7/2
Esercizi della quinta settimana di corso.
1. Intorni
- 1.1 Determinare un intorno del punto 2 e un intorno del punto 3 in R aventi intersezione vuota.
- 1.2 Esistono due intorni di 5 che hanno come intersezione il solo punto 5 ?
- 1.3 Per ogni x ∈ (0,1) determinare un suo intorno in modo tale che l’unione di tutti gli intorni così ottenuti dia ancora l’intervallo (0,1).
- 1.4 Determinare un intorno del punto (2,1) e del punto (2,3) in R2 aventi intersezione vuota.
2. Determinare i punti interni, di accumulazione (in R), di frontiera (in R), isolati dei seguenti insiemi:
- 2.1 A = (-∞, -4).
- 2.2 B = R \ Q.
- 2.3 C = (0, √2) ∩ Q
e stabilire se gli insiemi sono aperti o chiusi.
Determinare i punti interni, di accumulazione (in R2), di frontiera (in R2), isolati dei seguenti insiemi:
- 2.4 D = {(x,y) ∈ R2 : x + y > 1}.
- 2.5 E = {(x,y) ∈ R2 : -1 ≤ x + y < 1}
- 2.6 Verificare che per ogni insiemi A ⊂ Rn ∃ A ∩ ∅ = ∅
- 2.7 Verificare che per ogni insiemi A ⊂ Rn Ac ∩ A0 = A0
- 2.8 Determinare un sottoinsieme infinito di R privo di punti interni, un sottoinsieme infinito di R privo di punti di accumulazione, un sottoinsieme infinito di R privo di punti isolati, un sottoinsieme infinito di R privo di punti di frontiera.
3. Verifiche di limiti.
Stabilire in ogni caso seguente il limite e verificare il risultato tramite la definizione di limite:
- 3.1 limx→2 = -x2.
- 3.2 limx→2 x2 = 3.
- 3.3 limx→0 c⁄4x
- 3.4 limx→2 x+1⁄4x .
- 3.5 limx→π 4+π5⁄2
- 3.6 limx→+∞ 2⁄1+3+x2
- 3.7 limx→2 -3⁄|2 - x|
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