Esercizi di Matematica generale

Eserciziario di matematica generale

Indice

1. Classificazione delle funzioni
2. Funzioni iniettive e inverse
3. Funzioni composte
4. Continuità
5. Limiti e teoremi
6. Derivate
7. Derivate – Casi particolari
8. Applicazione teoremi
9. Massimi e minimi
10. Concavità
11. Punti di flesso
12. Asintoti
13. Le funzioni in 2 variabili
14. Massimi e minimi per le funzioni in 2 variabili
15. Studi di funzione

Classificazione delle funzioni

1. Determinare la simmetria della seguente funzione: y = x² - 6.

   Dobbiamo verificare se vale la seguente uguaglianza f(x) = f(-x) ovvero se: (x² - 6) = (-x)² - 6.

   x² - 6 = x² - 6 → La funzione è pari.

2. Verificare l'eventuale simmetria della seguente funzione: y = 3x³ + 7x / 4x.

   La funzione è definita in tutto R, ad eccezione di x = 0, ovvero il punto (0,0). Il dominio è idoneo e l'intero campo di esistenza è simmetrico rispetto all'origine:

   f(x) = 3(x)³ + 7x / 4(x)

   f(-x) = 3(-x)³ + 7(-x) / 4x

   f(-x) = - (2x/3 + 7) / 4x → La funzione è dispari.

3. Dato la funzione f(x) = e^{x2 - 3}, mostrare la simmetria.

   La condizione di simmetria dell'insieme di esistenza è rispettata: x sono convivono funzioni con dominio illimitato (la quadratica e l'esponenziale).

   f(x) = e^{(-x)2 - 3}

   f(x) = f(-x) → La funzione è pari.

4. Sia f(x) = |x-2| + x |x-1|

   Dominio:

   x > 2 | x ≤ 3 → -1 ≤ x ≤ 3.

   f(x) = 1 / 4 + x / 2 + x^3/2 ± √x³ - 1

   f(-x) = - x / 2 + x^3/2 ± √x³ - 1 → La funzione è pari.

   x² è sempre positiva, mi serve x per ottenere la radice.

Funzioni iniettive e inverse

1. f(x) = 2x+1 per x0

   Notiamo che:

   Dominio(fx) = R

   Codominio(fx) = R

   In particolare i punti dell'intervallo [0;+∞[ hanno immagini nell'intervallo [1;+ ∞] mentre i punti dell'intervallo ]-∞;0] hanno immagini nell'intervallo ]-∞;1].

2. Consideriamo separatamente le 2 funzioni:

   1. y = 2x+1 => x = y-1/2 Esplicito x
   2. y = x²+1 => x = √y-1 Esplicito x

   Quindi:

   f^-1(x) = (x-1)/2 x≤1 √x-1 x>1

3. y = Log_f(x)(3x-12)

   Le funzioni sono entrambe crescenti → y è crescente → y è iniettiva.

   Inoltre sappiamo che:

   Log f(x) = 0 per f(x) = 1

   Log f(x) risulta definito per tutte le x tali che f(x) > 0

   Quindi, si ha che: Log(3x-12) = 0 per 3x-12 = 1

   x = 13/3 x = 4,3333… → punto di intersezione con l'asse x

   Inoltre il dominio è dato da 3x-12 > 0 x > 4

   Codominio: ℜ

4. La funzione inversa è una funzione tale che:

   f^-1(x): ℜ | x > 1

   y = Log(3x-12) ⇒ e^y = 3x-12

   3x = e^y + 12

   x = (e^y + 12)/3

5. Esponenziale f(x): R → R y = f(x) = x² - 1

   La funzione non è iniettiva.

   y = x² - 1

   Dominio: R_f

   Codominio: y >= -1

   Per y = -1 → non si ricava alcun valore di x

   Per y > -1

   x → y + 1

   1. Possibile "restrizione" di f(x) a un sottoinsieme in cui diventa iniettiva.

   Considerando gli insiemi

   A = {x | x ∈ R, x >= 0}

   B = {y | y ∈ R, y >= -1}

   Ramo Dx

   Se consideriamo x che varia nell'insieme A e y che varia nell'insieme B Il nuovo codominio della funzione inversa è y >= 0

   Ramo Dx f(x) = x² - 1 f^-1(x) = √(x + 1)

   Ramo Sx f(x) = x² - 1 f^-1(x) = -√(x + 1)

6. f(x) = log x_y

   Dominio: x > 0

   x = log_y z

   f^-1(x) = e^x*y

7. f(x) = (e^x – e^-x)

   f(x) = f(x₂) ⇔ NO → iniettiva

   y = (e^x – e^-x) / 2

   (e^x – e^-x)/2 (e^x₂ – e^-x₂)/2 = 0