Esercizi di Matematica generale

Eserciziario

di

Matematica Generale

Indice

1. Classificazione delle funzioni
2. Funzioni iniettive e inverse
3. Funzioni composte
4. Continuità
5. Limiti e teoremi
6. Derivate
7. Derivate – Casi particolari
8. Applicazione teoremi
9. Massimi e minimi
10. Con cavità
11. Punti di flesso
12. Asintoti
13. Le funzioni in 2 variabili
14. Massimi e Minimi per le funzioni in 2 variabili
15. Studi di funzione

f(x): R → R

funzione definita ∀ x ∈ R

y = f(x) = x^2 - 1

La funzione non è iniettiva

f(x1) = f(x2)

Dominio: R

Codominio: y ≥ -1

• Per y < -1 → non si trovano alcuni valori di k
• Per y ≥ -1 →
  • x = ±√(y+1)

Soluzione di relazione iniettiva considerando gli insiemi

• A = {x ∈ R, x ≥ 0}
• B = {x ∈ R, y ≥ -1}

Ramo Dx

oppure

• A = {x ∈ R, x ≤ 0}
• B = {x ∈ R, y ≥ -1}

Ramo Sx

Se consideriamo x che varia nell'insieme A e y che varia nell'insieme B

f(x), A → B → f(x) di iniettiva

→ il nuovo codominio della funzione inversa è y ≥ -1

• Ramo Dx

x = √(y+1)

x^2 = 1

√(3) - 1 = x

• Ramo Sx

x = -√(y+1)

x^2 = -1

√(3) = -√(x-1)

f(x) =

• e^-2x x ≤ 1
• x + a x > 1

La funzione è continua per x > 1 qualunque sia il valore di a, ed è continua in x = 1 se e solo se è l'operazione di una funzione elementare:

Lim e^-2x = e^-2 x → 1

Occorre studiare la continuità f₀x in x = 1: Lim f(x) = Lim (x+a) =? x → 1^- x+1 x → 1⁺

Indurre f(1) = e^-2 → f(x) risolve continuità in x = 2 se e solo see^-2 = 2

Applichiamo la logaritmica di entrambe le parti dell'equazione, si ha:Log e^-2 = Log x → a = Log x , ovvero a = - Log x

y = e^-(-log)x

3.

Stabilire per quali valori del parametro intero positivo a la seguente funzione è continua: f(x) =

• (e^3x-1)/4+x x ≠ -1
• x a x = -1

La funzione per X ≠ ±6 continua sicuramente, X rapporto di funzione continue.

Verifichiamo il comportamento della funzione nell'intorno di x = -1:

Lim e^3x-1 = Lim e^3x-1 = 3 x → -1^- x + x x → -1⁺ 4 + x

Per avere la continuità anche in x = -1 si deve avere f(-1) = l ovveroa -1 = 3

Tale equazione si risolve solo se a è pari, i pari. Al disegno si ha che f(.-) = (-) 4 - 3 usando logico e non discontinue eliminabile

22.

lim_x→∞ (√x+3x)/x => Forma di ind. ∞/∞

lim_x→∞ √(x²(1+9/x²)) => lim_x→∞ (x√(1+9/x²))/x => lim_x→∞ √(1+9/x²)

lim_x→∞ x/(√x²-x) => lim_x→∞ x/(x(√(1-9/x²)))

lim_x→∞ x/(3x-√x) => lim_x→∞ x/(3x-√x) = 1/3

23.

lim_x→∞ x²x => Forma di indeterminazione ∞/∞

lim_x→∞ √(x²(1+9/x²)) − lim_x→∞ x/(x(1+9/x)) = 1

24.

lim_x→∞ log x(3+e^x) + log 3/x-2 = Forma di indeterminazione ∞−∞

lim_x→∞ log ^{[2ex/[e^x/x ]=> lim_x→∞ log [3+ex 1}

lim_x→∞ log (1+e^x) = 0

25.

lim_x→0 x(2-5x/4) = Forma di indeterminazione 0/0

lim_x→0 x(1+x) = 5

26.

lim_x→4 9-x/4-x => Forma di indeterminazione 0/0

= lim_x→4 (9-x)/(4-x) = lim_x=4 1/(x− -1/3 1/4

27.

lim_x→4 2/√x => Metodo della razionalizzazione

= lim_x→4 2-√(x)/√(x 3-x) = lim_x=4 4/(4-3) = lim_x→4 1/1 = 1

lim_x→4 4 - √(x=4) = 4

28.

lim_x→±∞ (x+9) - √x² = lim_x→±∞ (x+9-√x²/(x+√x²)) =

lim_x→±∞ x(x+1-x²+9x = 0

lim x(x+1-x²+9x) = 0

Possiamo procedere graficamente, rappresentando nel piano cartesiano le parti Dx e Sx dell'equazione.

Quindi, l'equazione f(x) = y₀ = 3 presenta soluzioni in x₀ = 0.

Inoltre, f'(x) = e^x = 0. Quindi permette di applicare la derivazione della funzione inversa:

Applicazione teoremi

1. Consideriamo nell'intervallo [-3; 1] la funzione f(x) = x³ - 9x²

• Conosciamo f(x) come funzione elementare, quindi continua e derivabile su tutto R. A maggior ragione, in [a,b]:
• Continua in [a,b],
• Derivabile in (a,b)
• Trova che f(a) = f(b) dove a = -7 e b = 1, infatti si verifica che f(-3) = -3(9) ^(-9)2 = -1

2. Dato la funzione f(x) = x³ + 3x, verifica che nell'intervallo [-√3; √3]

Voglio le ipotesi del T.fate che esיסte un argumento proof le quali giustificano c.

+ Per la funzione ci sono 3 condizioni del Teorema come eilanite x₀

8.

Lim _x→∞ (x²-x) / (x³+6) = Forma indeterminata 0

Lim _x→∞ x²/x³ = Lim _x→∞ 1/x = 0

9.

Lim _x→∞ logx / x^1/3 = Forma indeterminata ∞/∞

Lim _x→∞ logx / x^1/3 = Lim _x→∞ 1/(3x^2/3)

Lim _x→∞ logx / x^1/3 = 0

10.

Lim _x→+∞ e^x / x⁶ = Forma indeterminata ∞/∞

Lim _x→+∞ e^x / x⁶ = Lim _x→+∞ e^x / 6x⁵ = Forma indeterminata ∞/∞

Lim _x→+∞ e^x / x⁶ = Lim _x→+∞ e^x / 30x⁴

Lim _x→+∞ e^x / x⁶ = 0

11.

Lim _x→0⁺ x^x3/4 = Forma indeterminata 0⁰

Lim _x→0⁺ xe^3/4x = Lim _x→0⁺ e^(3/4x)logx =

Lim _x→0⁺ xe^3/4x = Lim _x→0⁺ e^3/4x - e^3/4/x

Lim _x→0⁺ xe^3/4x = Lim _x→0⁺ e^-3/4 / -3/4

Lim _x→0⁺ xe^3/4x = e^∞

Studiamo il segno di p'(x)

Numeratore

9x ≥ 0 4x₂ - 1 ≥ 0

Denominatore

x ≠ 0

Con le condizioni sul denominatore e sul numeratore, compiliamo il quadro dei segni.

p(x) è crescente per: x ≥ -1 ¹/₂ ∨ x > 3¹/₂

Decrescente per: -1¹/₂ < x < 3¹/₂, x ≠ 0

Determinare gli intervalli di crescenza e di decrescenza della seguente funzione:

f(x) = log ^x-3/_x-2

La funzione è logaritmica quindi definita per x - 3 > 0

Numeratore

x > 3

Denominatore

x > 2

Quadrato dei segni

Studiamo il segno di f'(x):

• Il numeratore è sempre positivo, quindi il segno di f(x) sarà sempre uguale a quello del denominatore.
• Il denominatore (x-(x+2)) è una moltiplicazione con 4 fattori, che assure il positivo quindi 3 fattori hanno segno concorda.