Esercizi, Matematica generale

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Tutti gli appelli svolti e corretti del corso A di matematica generale del professor Margarita, economia aziendale TO. Gli argomenti trattati sono i seguenti: la disequazione, il dominio della …

Esame Matematica generale

Facoltà Economia

Dal corso del Prof. Margarita Sergio

Università Università degli studi di Torino

A.A. 2014-2015

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3 Luglio 2012

Disequazione

Disequazione |x - 2| > 2x

{ x > 2x - 2 > 2x

{ x > 2x < -2

No sol.

{ x < 2-x -2 > 2x

{ x < 2-3x > -2 → x < 2/3²⁄₃

2x < 2/3

Dominio della funzione inversa

Dominio della funzione inversa

f(x) = \frac{x+2}{x+1}

CE x ≠ -1

y(x+1) = x+2

yx + y = x + 2

yx - x = -y + 2

x (y-1) = -y + 2

x = \frac{-y+2}{y-1}

y = \frac{-x+2}{x-1}

x ≠ 1, ℝ \ {1}

Soluzione dell'equazione

Soluzione dell'equazione

log₃ (x + 1) = 0 → log₃ x = -1 |x|

1 soluzione

3 Luglio 2012

Disequazione

Disequazione |x - 2| > 2x

x ≥ 2

x - 2 ≥ 2x

x ≥ 2x

x ≤ -2

No sol.

x -x + 2 -3x

x < 2/3

Dominio della funzione inversa

Dominio della funzione inversa

f(x) = (x + 2) / (x + 1)

CE x ≠ -1

y(x+1) = x + 2

yx + y = x + 2

yx - x = -y + 2

(y - 1) = -y + 2

x = (y + 2) / (y - 1) → y = - (x + 2) / (x - 1)

x ≠ 1, &Real; \ {1}

Soluzione dell'equazione

Soluzione dell'equazione

log₃ (x + |x|) = 0 → log₃ x = - |x|

1 soluzione

4) Dominio della funzione

f(x, y) = log(1/x²) + 1/y

x² > 0 → Sempre, eccetto x = 0

y ≠ 0

f(x, y) ∈ ℝ²; x ∈ ℝ \ {0}; y ∈ ℝ \ {0}

5) Per quali valori la funzione è continua

{ 2^x - 1 / 4^x, x ≠ 0

0, x = 0

lim_x→0⁺ a^x / 4^x - 1 = 0

[ e^x - 1 / x ] notevole

Se a = 4

e^x/4^x - 1/x → 1 - 1 = 0

6) Matrice simmetrica (per quali valori di x?)

A ( ^{1 1}_{0 x} )

B ( ^{1 x}_{0 1} )

A * B^T simmetrica per...

A * B = ( ^{1 + 2x} ²₂ _x )

1 1

0 x

1 2

[ +2x ]

0 1 2

Simmetrica 2 / x + 1 = 2 → x = ±1

7) Retta tangente al grafico

Retta tangente al grafico

f(x) = x^1/2( x² / (7x²)^1/2)

→ f(x) = x^-6/2 / 7x^-6/7

1/7x⁶

Y - Y₀ = m (x - x₀)

⇒ Y - f(x₀) = f'(x₀)(x - X₀)

8) Massimo/minimo

Massimo/minimo

D f(x) x^3 / (x^2 - 1)

Fai il dominio x ≠ ±1

f'(x) = 3x^2(x^2 - 1) - x^3(2x) → 3x^3 - 3x - 2x^4 / (x^2 - 1)^2

f'(x) = x(x^2 - 3x^2) / (x^2 - 1)^2 = 0

x^2(x - 3) = 0

f'(x) ≥ 0

x^4 - 3x^2 / (x^2 - 1)^2 ≥ 0

Punti stazionari

Punti stazionari

x = 0

x = ±√3

(Entrano nello schema) se appartengono al

N ≥ 0

x ≤ -√3 ∨ x ≥ √3

N (perché tende a zero)

N_2

D > 0

Sempre perché è alla seconda tranne

x^2 - 1 = 0, x ≠ ±1

(-1 ∉ )

x ∈ ℝ

−√3 ... √3

Massimo relativo in -√3 (perché tende a zero)

9) Limite

Limite

lim_x→2 log₂(5-x^2) / (4-x^2)

log₂1 = 0 / 0

→ Hopital

→ −2x / (5−x^2)−2x

lim_x→m f'(f(x))

y ← lim_x→m f(x)

y' = 1 / f'(x)

1 / 5−x^2

10. Insieme immagine

Insieme immagine

f(x) = ^x/_|x|

x > 0

x/x = 1

x/(-x) = -1

{-1, 1}

11. Derivata parziale rispetto a y

Derivata parziale rispetto a y

f(x,y) = ^x²/_y

f'(y) = ^{0・y - 1・x²}/_y² = -^x²/_y² = -^{(^x/_y)²}

Ricorda:

y = ²/_x

y²・0・x - 1・2 = ^-2/_x²

y = ^-x/₂ → y = ¹/₂・x → y = ¹/₂

12. Disequazione

Disequazione

√(x² + 2x + 5) > 3 - x

x² + 2x + 5 > 9 - 6x + x²

2x + 6x > 9 - 5

8x > 4 → x > ¹/₂

22 Gennaio 2013

Insieme immagine

Insieme immagine

f(x) = ^3x+2/_x+1

Asintoto orizzontale = ^a/_c → 3

Asintoto verticale = -^d/_c → -1

Insieme immagine = ℝ \ {^a/_c} → ℝ \{ 3 }

Dominio di f(x)

Dominio di f(x) = -log₃(log₃(x²))

(log₃(x²) > 0

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