Esercizi, Matematica generale

3 LUGLIO 2012

1) DISEQUAZIONE

|x - 2| > 2x

• x - 2 > 2x
• -x - 2 > 2x
• -3x - 2 → x < 2/3

x < 2/3

2) DOMINIO DELLA FUNZIONE INVERSA

f(x) = (x + 2) / (x + 1) C.E x ≠ -1

• y(x + 1) = x + 2
• yx + y = x + 2
• yx - x = -y + 2
• x(y - 1) = -y + 2
• x = (y + 2) / (y - 1) → y = (x + 2) / (x - 1) x ≠ 1, ℝ \ {1}

3) SOLUZIONE DELL'EQUAZIONE

log₃x + |x| = 0 → log₃x = -|x|

1 SOLUZIONE

4) Dominio della funzione

f(x, y) = log (1 - ^y⁄_x)

x² > 0 → sempre, eccetto x = 0

y ≠ 0

(x, y) ∈ ℝ² × ℝ \ {0} ; y ∈ ℝ \ {0}

5) Per quali valori la funzione è continua

^2x⁄_4x = 1 x ≠ 0

x = 0

lim_x→0 ^e2x⁄_4x-1 - 1 = 0

se x = e^-1 → 1 - 1 = 0

^ex-1⁄_x = 1 → limite notevole

6) Matrice simmetrica (per quali valori di x?)

A = ( ^{1 x}⁄_{0 1} )

B = ( ¹⁄_x ^-1⁄₂ )

A·B^T simmetrica per...

A·B = ( ^1+2x⁄₂ x²+1⁄_x )

( ¹⁄_x ) ( ¹⁄₂ ) ( ¹⁄_2x )

( ^1+2x⁄_x 2^x⁄_1+2x )

Simmetrica x²+1 = 2 → x = ±1

7) Retta tangente al grafico

f(x) = ^7√_xx - 1

in (0, f(0)) → in (0,-1)

f'(x) = - x^-6/7 → ¹⁄₇ x^-6/7

f'(0) = ¹⁄₀ = non esiste

y - y₀ = m(x - x₀) ⇒ y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)

5) LIMITE

\(\lim_{{x \to \infty}} (\sqrt{{x-1}} - \sqrt{{x+3}})\)

\((\sqrt{{x-1}} - \sqrt{{x+3}})\cdot \frac{{\sqrt{{x-1}} + \sqrt{{x+3}}}}{{\sqrt{{x-1}} + \sqrt{{x+3}}}} = \frac{{x-1 - (x+3)}}{{\sqrt{{x-1}} + \sqrt{{x+3}}}}\)

\(\lim_{{x \to \infty}} \frac{{-4}}{{\sqrt{{x-1}} + \sqrt{{x+3}}}} = \frac{n}{\infty} = 0\)

6) PER IL DOMINIO DELLA FUNZIONE

f(x, y) = \(\sqrt{{x^2+y^2-9}}\) IL PUNTO (3,3) È...

x^2 + y^2 - 9 \(\geq\) 0

x^2 + y^2 \(\geq\) 9 RAGGIO = 3

IL PUNTO È INTERNO AL DOMINIO

7) DERIVATA FUNZIONE INVERSA

f(x) = 2x + e^x NEL PUNTO y = 1

f(x) = 2 + e^x

f'(x)^{-1} = \(\frac{1}{{2+e^x}}\) \(\rightarrow\) \(\frac{1}{{2+1}} = \frac{1}{3}\)

1 = 2x + e^x SOSTITUISCO CON x = 0 \(\rightarrow\) 1 = e^0, 1 = 1 OK!

8) DERIVATA SECONDA

f(x) = e^{{\log x}}

f(x) = x

f'(x) = 1 f''(x) = 0

9) NORMA DEL VETTORE

\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}^T\)

\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\)

Norma del Vettore = \(\sqrt{{5^2 + 2^2}} = \sqrt{{29}}\)

6) Asintoto Obliquo

f(x) = 3 - 2x²/5x

Dominio 5x ≠ 0 {x ≠ 0} A.V.

A.O. Pimm

x → ∞ 3 - 2x²/5x = ∞

NO

A. Obl

m = Pimm

x → -∞ 3 - 2x²/5x - 1/x → 3 - 2x²/5x² = -2/5

q = Pimm

x → -∞ (3 - 2x²/5x + 2/5) x = 3 - 2x/5x ≈ n/∞ = 0 OK!

7) Vettori

Quali sono ortogonali? (Prodotto scalare = 0)

x = (2/3), y = (-2/3), z = (3/-1)

y - z = (-8/3) (3/-1) -24/3 -27 → NO

x - z = (2/3) (3/-1) 6 -6 0 → Sì!

8) Funzione Composta (f o g)(x)

f(x) = e^{4 + x}, g(x) = log(x)+1

(f o g)(x) = e^{4 + log(x) + 1} = e⁵ e^log(x) = e⁵ x

9) Una funzione è crescente

se ∀ x₁, x₂ ∈ X con x₁ < x₂ si ha f(x₁) ≤ f(x₂)

10) Derivata parziale rispetto a x

f(x, y) = log_x(x/y - 1)

f_x(x, y) = log_x x - log_y (y - 1)

f_x(x, y) = 1/x - 0 = 1/x

Mai derivare log a quozienti

7. DISEQUAZIONE

\[ \left( \frac{1}{2} \right)^2 > \left( \frac{1}{2} \right)^x \]

x^2 < x

x^2 - x < 0

x (x - 1) < 0

x (x - 1) \leq 0

0 < x < 1

8. INSIEME IMMAGINE

f \([-1,2]\) f(x) = x^2 + 1

f(2) = 5

[1,5]

9. MATRICE HESSIANA

f(x,y) = \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} \quad \text{nel punto} \ (e,1)

f_x \rightarrow \frac{1}{x} y - 0 \cdot \frac{\partial g}{\partial x} \rightarrow \frac{1}{xy} - \frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}

f_y \rightarrow 0 \cdot y - \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial x} \rightarrow -\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial g}{\partial x}\right) \frac{y^2} \right)

D(x) D(y) \] \begin{align*} & \frac{-y}{(xy)^2} & \frac{x}{(xy)^2} (e,1) \rightarrow \\ & -\frac{1}{xy^2} & \frac{2}{y} \frac{\partial g}{\partial y} \\ \end{align*} \]

-\frac{1}{(e^1)^2} & -\frac{e}{(e^1)^2}

-\frac{1}{e \cdot 1} & \frac{2 \cdot (\frac{\partial g}{\partial y}) \cdot e}{1}

10. DERIVATA PARZIALE RISPETTO A X

f(x,y) = \sqrt{2x + 3y}

• \(\frac{1}{2 \sqrt{2x + 3y}} \cdot 2 \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2x + 3y}}\)

7) Derivata

f(x) = x₀² + 4^x + 8 ^{+ 16} in x₀ = 0

f(x) = 2 . log₂ x₀ + 4 . log₂ 8 + 16 . log₂ 16

f(x) = log₂ 4 + log₂ 8 + log₂ 16 = log₂ 1024

9) Soluzioni Equazione

sqr(x²) = x³

2 Soluzioni

10) Derivata Parziale rispetto a y

f(x,y) = y | log(xy)

f_x(x,y) = 1 . log xy + 1/X . X . y

f_x(x,y) = log xy + 1

11) Norma del Vettore

(1 4/0) - 2 = (1 + 4/ -2 -1/2) = (5 -3/2)

sqr(25/9/4)

sqr(38)

12) Disequazione

log_1/2 (2x - 3) > 0

2x - 3 < 1

2x < 4

x < 2

2x - 3 > 0

x > 3/2

3/2 < x < 2

8) QUANTE SOLUZIONI

10) RETTA TANGENTE AL GRAFICO

11) INSIEMI

12) FUNZIONE INVERSA

24 GENNAIO 2012

1. INSIEME

   [−4,2\{-1,2}]∩ {1,2,3}

   IL PUNTO A È UN PUNTO DI FRONTIERA

2. DERIVATA SECONDA

   f(x) = x⁷ − log x   IN   x₀ = 1

   f'(x) = 7x⁶ − 1/x

   f''(x) = 7logx 7x⁶ + 1/x²

   f''(1) = 7(logx)² − 1

3. PUNTO MASSIMO E MINIMO

   {0,3}   f(x) = |1−x|

   m = 1   M = 0

   y = 0   y = 1

4. LIMITI

   x → 2

   log (x²−3)/(3−x) = 0/0   HOPITAL

   2x / x²−3 = −1

   3−x = −1

   −4 ⋅ 1 / −1 ⋅ 1 = −4

5. FUNZIONE

   {(−∞,−2) 2/3]

   f(x) = x−x²

   f(−x) → −x+x² NO

   f'(x) = 1−2x

   f'(x) = 0 1−2x = 0 2x = 1 x = 1/2

   f'' = −2

   MAI CONCAVA SEMPRE NEGATIVA

6. DERIVATA PARZIALE RISPETTO A x

   f(x,y) = (x²−3y) / x√2x

   3y / √2x