Esercizi, Matematica generale

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Tutti gli appelli svolti e corretti del corso A di matematica generale del professor Margarita, economia aziendale TO. Gli argomenti trattati sono i seguenti: la disequazione, il dominio della …

Esame Matematica generale

Facoltà Economia

Dal corso del Prof. Margarita Sergio

Università Università degli studi di Torino

A.A. 2014-2015

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3 LUGLIO 2012

DISEQUAZIONE
|x - 2| > 2x
{ x > 2
x - 2 > 2x
{ x > 2
x < -2
NO SOL.
{ x < 2
-x -2 > 2x
{ x < 2
-3x > -2 → x < 2/3
²⁄₃ 2
x < 2/3
DOMINIO DELLA FUNZIONE INVERSA
f(x) = \frac{x+2}{x+1}
CE x ≠ -1
y(x+1) = x+2
yx + y = x + 2
yx - x = -y + 2
x (y-1) = -y + 2
x = \frac{-y+2}{y-1}
y = \frac{-x+2}{x-1}
x ≠ 1 , ℝ \ {1}
SOLUZIONE DELL'EQUAZIONE
log₃ (x + 1) = 0 → log₃ x = -1 |x|
1 SOLUZIONE

3 Luglio 2012

Disequazione
|x - 2| > 2x
- x ≥ 2
- x < 2
x < 2/3
Dominio della Funzione Inversa
f(x) = (x + 2) / (x + 1)
CE x ≠ -1
- y(x+1) = x + 2
- yx + y = x + 2
- yx - x = -y + 2
- x(y - 1) = -y + 2
x ≠ 1, &Real; \ {1}
Soluzione dell'Equazione
log₃ (x + |x|) = 0 → log₃ x = - |x|
1 soluzione

4) Dominio della funzione

f(x, y) = log(1/x²) + 1/y

x² > 0 → Sempre, eccetto x = 0y ≠ 0

f(x, y) ∈ ℝ² ; x ∈ ℝ \ {0} ; y ∈ ℝ \ {0}

5) Per quali valori la funzione è continua

{ 2^x - 1 / 4^x , x ≠ 0 0 , x = 0

lim_x→0⁺ a^x / 4^x - 1 = 0

[ e^x - 1 / x ] notevole

Se a = 4e^x/4^x - 1/x → 1 - 1 = 0

6) Matrice simmetrica (per quali valori di x?)

A ( ^{1 1}_{0 x} )B ( ^{1 x}_{0 1} )

A * B^T simmetrica per...

A * B = ( ^{1 + 2x} ²₂ _x )

1 10 x1 2

[ +2x ]0 1 2

Simmetrica 2 / x + 1 = 2 → x = ±1

7) Retta tangente al grafico

f(x) = x^1/2( x² / (7x²)^1/2)

→ f(x) = x^-6/2 / 7

x^-6/7

1/7x⁶

Y - Y₀ = m (x - x₀)

⇒ Y - f(x₀) = f'(x₀)(x - X₀)

8) MASSIMO/MINIMO

D f(x) x^3 / (x^2 - 1)

FAI IL DOMINIO x ≠ ±1

f'(x) = 3x^2(x^2 - 1) - x^3(2x) → 3x^3 - 3x - 2x^4 / (x^2 - 1)^2

f'(x) = x(x^2 - 3x^2) / (x^2 - 1)^2 = 0

x^2(x - 3) = 0

f'(x) ≥ 0

x^4 - 3x^2 / (x^2 - 1)^2 ≥ 0

PUNTI STAZIONARI

x = 0

x = ±√3

(ENTRANO NELLO SCHEMA) SE APPARTENGONO AL

N ≥ 0

x ≤ -√3 ∨ x ≥ √3

N (PERCHÉ TENDE A ZERO)

N_2

D > 0

SEMPRE PERCHÉ È ALLA SECONDA TRANNE

x^2 - 1 = 0, x ≠ ±1

(-1 ∉ )

x ∈ ℝ

−√3 ... √3

MASSIMO RELATIVO IN -√3 (PERCHÉ TENDE A ZERO)

9) LIMITE

lim_x→2 log₂(5-x^2) / (4-x^2)

log₂1 = 0 / 0

→ HOPITAL

→ −2x / (5−x^2)

−2x

lim_x→m f'(f(x))

y ← lim_x→m f(x)

y' = 1 / f'(x)

1 / 5−x^2

10. INSIEME IMMAGINE

f(x) = ^x/_|x|

x > 0
x < 0

x/x = 1

x/(-x) = -1

{-1, 1}

11. DERIVATA PARZIALE RISPETTO A Y

f(x,y) = ^x²/_y

f'(y) = ^{0・y - 1・x²}/_y² = -^x²/_y² = -^{(^x/_y)²}

RICORDA:

y = ²/_x

y²・0・x - 1・2 = ^-2/_x²

y = ^-x/₂ → y = ¹/₂・x → y = ¹/₂

12. DISEQUAZIONE

√(x² + 2x + 5) > 3 - x

x² + 2x + 5 > 9 - 6x + x²

2x + 6x > 9 - 5

8x > 4 → x > ¹/₂

22 Gennaio 2013

Insieme Immagine
f(x) = ^3x+2/_x+1
Asintoto Orizzontale = ^a/_c → 3
Asintoto Verticale = -^d/_c → -1
Insieme Immagine = ℝ \ {^a/_c} → ℝ \{ 3 }
Dominio di f(x) = -log₃(log₃(x²))
(
log₃(x²) > 0

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