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Es. 1.1.5

δ: R → R2 δ(t) = (t2 - 4t, t2 - 4) = (t(t-4), t2 - 4)

È di classe C∞; s: x = t2 - 4t, y = t2 - 4 ⇒ x = t(t-4) ⇔ t = x/t y = t2 - 4 ⇔ y = x/t

Il sostegno di δ non può essere il sostegno

Es. 1.1.6

δ: R → R2 δ(t)=(3t/(1+t2), 3t2/(1+t2))

È una curva parametrizzata di classe C∞ iniettiva. π(t) = ( -3/(1+t2), -31/(1+4t2) ) δ è una funzione continuaC∞

Disegni di una funzione R → R

Disegni di una curva parametrizzata R → R2 syms t real; sigma1= (t2, t3); t1 = 3; t2 = 5;

Es. 1.2.4

δ(t) = (t2, t3) x = t2 y= (x1/2 = x3/2) Il sostegno di δ non può essere il sostegno di una curva regolare.

Rette tangenti ad una curva piana e vettore normale ad una curva piana

1) Se è data y = f(x) come funzione e (X,Y) il punto in cui si vuole calcolare il vettore tangente, in forma di equazione si ha:

t = t(X) = Y'-f'(X)(x-X)

syms x real; x = x1/2; x1 = x2 = x; f = @(x) f(x); ezplot(f, [x1,x2]); hold on m = 20; for i = 0:m; X = x1 + (x2-x1) * i/m; T = subs(f + f' * (x - X), x, X); ezplot(T, [x1, x2]); end;

2) Data adesso il vettore normale alla curva, scritta da come forma parametrica se (X,Y) è l'equazione:

Y = f(x) il punto ellisse

N(X) = (X Y) + 1 f'(x) / sqrt(1 + f'(x)2)

N = [-f, F'] + k * [f, 1]/sqrt(1 + fx'2)

m = 20; for i = 0:m; X = x1 + (x2-x1) * i/m; VN = subs( N, x, X ); ezplot(VN(1), VN(2), [0, 1]); end;

Es. Cicloide

C(t) = (t-sin(t), 1-cos(t)) C'(t) = (1-cos(t), sin(t)) I = [0, 4*pi] = [t1, t2]

La curva non è regolare in t = 2k*pi

In forma parametrica

Nf(x) = (x Y) x 1 / C1(x) + C1(x)

T(x) = (X Y) / sqrt(C12(x) + C22(x))

syms t, s real; c = [t-sin(t), 4-cos(t)]; cP = diff(c,t); t1 = 0; t2 = 4 * pi; h = ezplot(c(1), c(2), [t1, t2]); set(h, 'color', 'k'); hold on N = [-cP(2), cP(1)]; m = 20; for i = 0:m; T = t1 + (t2-t1) * i/m; n = subs(c + s * N / sqrt((cP(1)2) + cP(2)2), t, T); tT = subs(t + s * cP / sqrt(cP(2)2 + cP(1)2), t, T); ezplot(T(1), T(2), [0, 1]); pause(0.2); end;

Es. Curva di Viviani

V(t) = [R cos(t), R cos(t) sin(t), R sin(t)]

V't = [2 R cos(t) sin(t), R cos(t) - R sin(t), R cos(t)]

syms t, s real; R = 1; m = 20; t1 = 0; t2 = 2 * pi; S = linspace(-1, 1, 20); %
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Publisher
SARLANGA
A.A. 2012-2013
15 pagine
2 download
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/03 Geometria
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher SARLANGA di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Geometria differenziale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Schlesinger Enrico Ettore Marcello.