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Esercizi di Demografia

Esercizi di Demografia per l'esame del professor Caltabiano. Gli argomenti che vengono trattati sono i seguenti: il grafico cartesiano, la crescita geometrica o esponenziale, il tasso geometrico, il tasso aritmetico, il tasso di incremento aritmetico.

Esame di Demografia docente Prof. M. Caltabiano

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Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti (fino al cap. 3 compreso) - p. 12/32

MIGRAZIONI Domande

E' data la seguente tabella:

Età Pop al Pop. al L x

31.12.1990 31.12.1991 (con l =1)

0

0 400 450 0,8

1 200 300 0,4

2 150 100 0,3

3 100 100 0,2

4 50 50 0,1

5 0 0 0

e inoltre si sa che nell'anno 1991 sono nati 500 bambini.

1. Riportare su un diagramma di Lexis i dati relativi ai nati e alla popolazione alle 2 date.

2. Calcolare i sopravviventi "teorici" per ogni età al 31.12.1991.

3. Calcolare il saldo migratorio per ogni età.

4. Scrivere l'equazione della popolazione in forma completa.

5. Qual è il tasso di incremento effettivo della popolazione?

6. Quella in esame è una popolazione stazionaria? Perché (due motivi)?

***

Data la seguente tabella, relativa a una popolazione (media) in un certo anno solare

Età Popol. Immigrati Emigrati

(1) (2) (3)

0-9 1000 10 20

10-19 2000 20 40

20-29 3000 30 90

30-39 4000 40 20

40-49 5000 50 20

50-59 4000 40 20

60-69 3000 30 20

70-79 2000 20 10

7. Cosa si può dire del saldo migratorio?

8. Eppure, l'analisi del TIT (tasso di immigratorietà totale) e del TET (tasso di emigratorietà totale)

dà un'immagine diversa. Perché questa differenza?

9. Qual è la "vera" età media alla emigrazione?

Risposte

Età Pop al Pop. al Lx (con p Immigr

x

31.12.90 31.12.91 l =0) (*) Pop. teor. .

0

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

(nati) (500) 0.80

0 400 450 0.8 0.50 400 50

1 200 300 0.4 0.75 200 100

2 150 100 0.3 0.67 150 -50

3 100 100 0.2 0.50 100 0

Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti (fino al cap. 3 compreso) - p. 13/32

4 50 50 0.1 0 50 0

5 0 0 0 0 0

900 1000 1.8 900 100

Tot. Risposte

1) Diagr. di Lexis: v. sotto. p

2) Come si vede in tabella, bisogna prima calcolare i coeff. di sopravvivenza (*) (col. 4 - NB Calcolati

x

L l L

sugli e non sugli ), che sono dati dal rapporto tra successivi. Es. per stimare i sopravviventi

x x x p =L /L

tra quelli che hanno inizialmente 2 anni, bisogna considerare il rapporto =0,2/0,3=0,67.

2 3 2

Cioè, solo i 2/3 delle persone sopravvive fino all'anno dopo. Poiché di queste persone ce ne sono 150

( P ), i loro sopravviventi attesi, o teorici sono 100 ( P ). Per chi nasce nell'anno 1991, e può quindi

90 2 91 3 =L /l

sopravvivere fino al 31.12.1991, la probabilità di sopravvivenza è data da p =0,8/1=0,8. Poiché i

N 0 0

nati sono 500, i loro sopravviventi attesi, o teorici sono 400 ( P ).

91 1

3) E' la differenza tra quelli che ci sono veramente e i sopravviventi teoricamente attesi della

risposta precedente (v. col. 6).

P= P+N-M+I-E.

4) 1 0 − −

P P 1000 900

t 0

= = = =

r 0

,

111 11

,

1 %

5) Su un solo anno, si può fare, semplicemente, t P 900

0

6) Il totale cambia, e ci sono migrazioni.

5 0 0

4 50 50

3 100 100

150 100

2 200 300

1 400 450

0 500

1990 1991 1992 ***

7) V. tabella. Il saldo migratorio è nullo, perché vi sono 240 immigrati e 240 emigrati.

TIT=Σ

i i =I /P TET=Σ

e

8) Per il calcolo del (dove ), v. col. (4), mentre per il calcolo del (dove

x x x x x

e =E /P ), v. col. (5). In entrambi i casi, ricordarsi moltiplicare per 10 (ampiezza della classe). Si

x x x TIT=0,8

trova che (cioè 8 immigrazioni ogni 10 persone che vivono per tutta la vita in questa

TET=0,96

popolazione), mentre (cioè 96 emigrazioni ogni 100 persone che vivono per tutta la vita in

questa popolazione). Vi è dunque prevalenza di emigrazioni. La differenza con la domanda

Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti (fino al cap. 3 compreso) - p. 14/32

precedente dipende dalla diversa distribuzione per età del fenomeno. Nel caso di tassi generici, la

struttura per età della popolazione incide sulle misure. Nel caso invece di tassi specifici (e delle

TIT TET),

loro somme, e la struttura per età cui si fa implicitamente riferimento è quella

rettangolare. (E (e

9) La misura si può calcolare sia sulle emigrazioni vere ) sia sui tassi di emigratorietà ). E'

x x

preferibile questo secondo calcolo, che non risente della struttura per età della popolazione.

Ex

Età Popol. Immigrati Emigrati ix ex smx x' x' Ex x'

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7 (8) (9)

)

0.02 0.10

0 - 9 1000 10 20 0.01 0 -0.010 5 100 0

1 1 0.02 0.30

0 9 2000 20 40 0.01 0 -0.010 15 600 0

2 2 0.03 225 0.75

0 9 3000 30 90 0.01 0 -0.020 25 0 0

3 3 0.00 0.17

0 9 4000 40 20 0.01 5 0.005 35 700 5

4 4 0.00 0.18

0 9 5000 50 20 0.01 4 0.006 45 900 0

5 5 0.00 110 0.27

0 9 4000 40 20 0.01 5 0.005 55 0 5

6 6 0.00 130 0.43

0 9 3000 30 20 0.01 7 0.003 65 0 3

7 7 0.00 0.37

0 9 2000 20 10 0.01 5 0.005 75 750 5

0.09 770

24000 240 240 0.08 6 -0.016 0 3

0.8 0.96 -0.157 32.1 27.1

PREVISIONI Domande

La popolazione femminile per età, al 31.12.1980, è la seguente:

Età Popolazione

0- 9 40

10-19 30

20-29 20

30-39 10

40-w 0

I rischi di morte nel corso dei successivi dieci anni di età durante il periodo 1971-80 sono stati:

a 0-9 anni = 1/4,

a 10-19 anni = 1/3,

a 20-29 anni = 1/2 e

a 30-39 anni = 100%.

Per i neonati, inoltre, si è osservato il valore L /10l =0,8.

0-9 0

I tassi di fecondità (relativi alle sole nate femmine) sono stati i seguenti: f =0,2 e f =0,1.

20-29 30-39

Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti (fino al cap. 3 compreso) - p. 15/32

Nell'ipotesi che anche per il decennio 1981-1990 le condizioni di mortalità e di fecondità non

mutino (e in assenza di migrazioni), calcolare (organizzando i dati in un tabella e in un diagramma

di Lexis): Parte a

1) la struttura per età e l'età media, mediana e modale della popolazione femminile al 1980;

2) la popolazione per età oltre i 10 anni, alla fine del 1990;

3) la popolazione femminile media nelle classi di età feconde;

4) il TFT;

5) il numero di nate femmine del periodo;

6) la popolazione femminile di età 0-9 al 1990;

7) la struttura per età e l'età media, mediana e modale della popolazione femminile al 1990;

8) l'età media al parto, calcolata sui tassi di fecondità;

9) l'età media al parto calcolata sulla distribuzione delle nascite per età della madre,

giustificando la differenza con la risposta precedente;

10) la tavola di mortalità del periodo 1981-90, distinguendo tra dati disponibili e dati stimabili

sulla base delle ipotesi più semplici (di linearità dei decessi); organizzare poi i dati su un

diagramma di Lexis;

11) l'età media, mediana e modale alla morte;

12) i tassi medi di incremento annuo (aritmetico, geometrico e esponenziale), giustificando le

differenze tra i tre.

13) il numero di morti nel decennio 1981-1990;

14) il tasso medio di incremento 1981-1990 come differenza tra tasso di natalità e di mortalità,

giustificando le eventuali differenze con la risposta 12;

15) il tasso specifico di mortalità m a tutte le età. Tale tasso verifica, a tutte le età, la relazione

x,x+9

prevista tra m e il rischio di morte q ?

x,x+9 x

16) la relazione che, in questa popolazione, si verifica tra i tassi di mortalità specifici e quello

generico; Parte b

10. Rispondere di nuovo alle domande 2-16 ipotizzando che, invece, nel periodo 1981-1990 la

fecondità e la mortalità dimezzino rispetto al periodo precedente (con q =100%).

L 40-49

Risposte

1) [Struttura per età e età media, mediana e modale della popolazione femminile al 1980.]

c =P /P.

La struttura per età è la serie dei In questo caso, il totale della popolazione è 100, per cui il

x x

peso percentuale delle singole classi di età sul totale coincide con la loro numerosità: c =40%;

0-9

c =30%; c =20%; c =10%.

10-19 20-29 30-39 x=∑

x'P/∑ P, x'

La formula per il calcolo dell'età media dove è quella "centrale" della propria classe. Per

esempio, nella classe 10-19 (che va, per la precisione, dal momento del 10° compleanno fino al momento

del 20°) il punto centrale della classe è il 15. I calcoli sono sviluppati nella tab. 1: l'età media risulta

essere di 20 anni. L'età mediana compresa tra il 10° e il 20° compleanno. Nell'ipotesi di distribuzione

lineare della popolazione tra questi due compleanni si avrebbe

mediana x= 10 + (50-40)/(70-40) = 13,3. La classe di età modale, infine, è la prima (0-9 anni).

Tab. 1 - Età media della popolazione al 31.12.1980

1980 1980 1980 1980 1980

x (medio) Pop. x Pop. Età media Cum.

Età (1) (2) (3) (4) (5)

0 9 5 40 200 40

Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti (fino al cap. 3 compreso) - p. 16/32

10 19 15 30 450 70

20 29 25 20 500 90

30 39 35 10 350 100

40 w -- 0 -- 100

Totale -- 100 1500 15

(3) = (1) x (2)

(4) = (3) / (2) [solo per il totale]

2) [Popolazione per età oltre i 10 anni alla fine del 1990].

Fig. 1 ­ Previsioni demografiche sul diagramma di Lexis

Età Persone Persone

w 0 0

40 10 10

30 20 20

20 30 30

10 40 ??

0

31.12.80 31.12.90

I calcoli sono sviluppati nella fig. 1 e nella tab. 2. Ad esempio, le 40 donne che hanno età 0-9 nel 1980

hanno un rischio di morte del 25% (0,25). Ne sopravvive quindi solo il 75% (0,75), e pertanto solo 30

saranno in vita anche nel 1990, e saranno di 10 anni più vecchie, cioè in età 10-19. Lo stesso

ragionamento si può ripetere anche per le restanti classi di età: in definitiva, si trovano 60 persone vive

nel 1990 con oltre 10 anni di età, tutte derivanti da coloro che erano già in vita nel 1980.

Tab. 2 - Previsioni demografiche per i già vivi al 1980

1980 81-90 81-90 1990

Età al Pop. qx px Pop.

L L

31.12.80 (1) (2) (3) (4)

0 9 40 0.25 0.75 ??

10 19 30 0.33 0.67 30

20 29 20 0.50 0.50 20

30 39 10 1.00 0.00 10

40 w 0 0

Totale 100 -- -- (60)

(3) = 1 - (2)

(4) = (1) x (3), con risultato 'scalato' di una riga.

3) [Popolazione femminile media nelle classi di età feconde.]

Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti (fino al cap. 3 compreso) - p. 17/32

In questo caso, le classi feconde sono quelle comprese tra i 20 e i 40 anni. La popolazione femminile

media si calcola come media aritmetica semplice tra i due anni estremi del periodo (1980 e 1990).

Poiché il numero delle donne è lo stesso nei due casi (20 e 10 rispettivamente per i 20-29 e per i 30-39

anni), identico rimane anche il numero delle donne feconde medie del periodo (cfr. tab. 3).

Tab. 3 - Calcolo della pop. femminile media in età feconda

1980 1990 81-90

Pop. Pop. Pop.

Età (1) (2) (3)

20 29 20 20 20

30 39 10 10 10

Totale 30 30 30

(3) = media tra (1) e (2)

4) [Calcolo del TFT]

Consideriamo dapprima i tassi di fecondità riferiti alle sole nate femmine specifici per età, da 20 in su,

e sommiamoli, per ottenere un indice (che si chiama R - cfr. cap. 13 del libro) R = f + f + ... + f .

20 21 39

D'altra parte f = f = ... = f = 0,2, per cui sommare questi dieci termini è come prendere 10 volte

20 21 29

29 39

∑ ∑

uno di essi, quindi =10 f =2. Analogamente, =10 f =1. Si ha pertanto che R=2+1=3.

f f

20 30

x x

20 30

R si riferisce alle sole nate femmine, che sono, in media, 100 su 206 nati totali (maschi più femmine).

Occorre quindi moltiplicare R per 2,06 per ottenere il TFT, pari a 6,18 (cfr. tab. 4).

Tab. 4 - Calcolo di R e del TFT nel 1981-90

fx

Età (1)

20 29 0.2

30 39 0.1

R = Somma x 10 3

TFT = R x 206/100 6.18

5) [Numero di nate femmine nel periodo.]

Il numero di nate femmine di ogni classe di età è dato dal prodotto P f (in questo caso, dato che la

x x

popolazione è solo quella femminile e che i tassi di fecondità si riferiscono alle sole nate femmine). I

calcoli sono sviluppati nella tab. 5, in cui si noterà anche, un'altra volta, la moltiplicazione per 10, per

ottenere non solo un valore riferito a una singola classe di età media all'interno dell'intervallo

decennale considerato (tra 20 e 29 o tra 30 e 39), bensì un valore riferito al totale della classe, 10

volte più ampia di ciascuna delle sue classi medie. Nel periodo nasceranno quindi 40 bambine da donne di

20-29 anni e 10 bambine da donne di 30-39, per un totale di 50.

Tab. 5 - Calcolo del numero delle nate femmine nel 1981-90

Pop. fx N(x)

Età (1) (2) (3)

20 29 20 0.2 40

30 39 10 0.1 10

Totale 30 3 50

(3) = (1) x (2) x 10 [Totale escluso]

5) [Popolazione femminile di età 0-9 al 1990]

Il calcolo della popolazione femminile in età 0-9 al 1990 è ora immediato (cfr. la tab. 6, che riprende e

allarga la tab. 2). Abbiamo detto che vi sono 50 nate nel periodo 1981-90 e si sa che la probabilità che

Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti (fino al cap. 3 compreso) - p. 18/32

queste hanno di arrivare vive al 31.12.1990 è, complessivamente, pari all'80% (Complessivamente,

perché vi saranno sia bambine nate proprio il 31.12.1990, che sono quasi sicure di arrivare vive sino alla

mezzanotte, sia bambine nate invece il 1° gennaio del 1981, per le quali questa eventualità è assai meno

probabile). Di queste 50 bambine, quindi, solo 40 saranno vive per allora, ovviamente in età compresa

tra 0 e 9 anni compiuti.

Tab. 6 - Previsioni demografiche per il complesso della popolazione femminile

1980 81-90 81-90 1990

Pop. ^qx ^px Pop.

Età (1) (2) (3) (4)

Nate nel periodo (50) 0.20 0.80

0 9 40 0.25 0.75 40

10 19 30 0.33 0.67 30

20 29 20 0.50 0.50 20

30 39 10 1.00 0.00 10

40 w 0 0 0

Totale 100 -- -- 100

(3) = 1 - (2)

(4) = (1) x (3), con risultato 'scalato' di una riga.

7) [Struttura per età e età media, mediana e modale della popolazione femminile al 1990]

La popolazione al 1990 è identica a quella del 1980. Di conseguenza, anche struttura per età, età media,

età mediana e età modale sono le stesse.

8) [Età media al parto, calcolata sui tassi di fecondità]

La logica del calcolo è identica a quella del calcolo dell'età media della popolazione, salvo che si

considerano gli f , al posto dei P , come "pesi". Il risultato dei calcoli (cfr. tab. 7) è a=28,3 anni.

x x

Tab. 7 - Età media al parto calcolata sugli fx nel 1981-90

x (medio) fx x fx Età media

Età (1) (2) (3) (4)

20 29 25 0.2 5.0

30 39 35 0.1 3.5

Totale -- 3 85 28.3

(3) = (1) x (2)

(4) = (3) / (2) [solo per il totale]

9) [Età media al parto calcolata sulla distribuzione delle nascite per età della madre]

La logica del calcolo (cfr. tab. 8) è identica a quella del calcolo dell'età media al parto vista sopra, salvo

che, come "pesi", si considerano le nate per età della madre, N , al posto dei tassi di fecondità f . Il

(x) x

risultato è di 27 anni, inferiore ai 28,3 calcolati prima. Per capire meglio la ragione della differenza

conviene ricordare che N = f P . Quando ci si riferisce agli f , si considera, implicitamente, una

(x) x x x

struttura per età rettangolare, con tutti i P = 1. Quando ci si riferisce agli N , invece, si considera

x (x)

una struttura per età "vera", normalmente (e anche in questo caso) con più persone in età giovani che

non in età anziane. Di conseguenza, la popolazione effettiva che si considera è più giovane di quella

"rettangolare", e così anche la sua età media al parto.

Tab. 8 - Età media al parto calcolata su N(x) nel 1981-90

x (medio) N(x) x N(x) Età media

Età (1) (2) (3) (4)

20 29 25 40 1000

30 39 35 10 350

Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti (fino al cap. 3 compreso) - p. 19/32

Totale -- 500 13500 27.0

(3) = (1) x (2)

(4) = (3) / (2) [solo per il totale]

10) [Tavola di mortalità del periodo e diagramma di Lexis].

La tavola di mortalità che è possibile ricostruire sulla base dei dati disponibili non è una tavola completa

(tab. 9). In primo luogo è una tavola abbreviata (per intervalli decennali di età) e, in secondo luogo, non

può essere definita rispetto a tutte le sue funzioni biometriche. Le uniche disponibili sono quelle

L L

riportate, e cioè la serie dei p e dei q (riferiti cioè agli L e non agli l , dette ) e la serie,

x x x x

conseguente, degli L . La somma degli L consente di calcolare la retrocumulata degli anni vissuti T e,

x x x

in particolare, T =20. Si ottiene poi e =T /l .=20.

0 0 0 0

Tab. 9 - Sviluppo della tavola di mortalità abbreviata per il 1981-90.

(tra parentesi, i valori ottenuti sulla base delle ipotesi più semplici, discusse nel testo)

lx qx px Lx,x+9 Tx ex dx,x+9 qx

L L

Età (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

0 1.00 0.20 0.80 8.00 20.00 20.00 (0.30) (0.30)

10 (0.70) 0.25 0.75 6.00 12.00 (17.14) (0.20) (0.29)

20 (0.50) 0.33 0.67 4.00 6.00 (12.00) (0.20) (0.40)

30 (0.30) 0.50 0.50 2.00 2.00 (6.67) (0.30) (1.00)

40 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 -- (0.00) --

Totale -- -- -- 20.00 -- 1.00 --

(3) = 1 - (2).

(4) [1^ riga] = (1) x (3) x 10 [ampiezza della classe].

(4) [altre righe] = Riga precedente x (3).

(1) [2^ -> ultima riga] = media semplice tra 2 righe del (4), diviso 10.

(5) = Somma retrocumulata (=dal basso) di (4)

(6) = (5) / (1).

(7) = Diffenzenze successive tra le righe di (1).

(8) = (7) / (1).

Fig. 2 ­ Tavola di mortalità del periodo 1980­90.

Corrispondente popolazione stazionaria rappresentata sul diagramma di Lexis

Età M N

0

w 0

I (0)

40 L

20

G (30)

30 H

40

E (50)

20 F

60

C (70)

10 D

80

0 A 100 B

Nota: tra parentesi, i valori ottenuti sulla base di stime.

Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti (fino al cap. 3 compreso) - p. 20/32

A questo punto sono finite le informazioni certe fornite dall'esercizio. Se, come richiesto, non ci si

vuole fermare, conviene proseguire sulla base di ipotesi semplici: la più semplice di tutti è quella di

un'evoluzione lineare dei decessi nei periodi per cui non si dispone di informazioni dirette.

Con l'aiuto anche del diagramma di Lexis della fig. 2, si vede che l'ipotesi di linearità porta ai valori di

l indicati tra parentesi. Occorre qui aprire un inciso. Di solito, l'ipotesi di linearità si avanza per

x L l

calcolare i valori di sulla base dei valori e non viceversa. Tuttavia, questa scelta non è obbligatoria:

x x l

anzi spesso è introdotta per ragioni di comodo, per passare da ciò che è disponibile ( )a ciò che non lo è

x

(L L l

). Qui, il problema è rovesciato (si conoscono gli e si vogliono stimare gli ), e appare legittimo

x x x

l L

procedere di conseguenza. Tra parentesi si può notare che l'evoluzione degli , e degli è tale che

x x

L (l +l

vale, in generale, anche la relazione consueta = )/2, con due eccezioni.

x x x+1

La prima è che risulta

L (l l

= x 1/3 + x 2/3) x 10,

0,9 0 10

cosa che non è del tutto inverosimile, data la maggior concentrazione dei decessi infantili nei primi

istanti di vita. La seconda è che risulta

L (l l

= x 2/3 + x 1/3) x 10,

30,39 30 40

anch'essa difendibile, in quanto i decessi alle età anziane (e qui siamo vicini all'età limite di questa

popolazione particolare) si concentrano di solito verso l'inizio del periodo).

l

Infine, si noti la decisione di aver supposto = 0, non 10. Questo dipende dal fatto che, nel problema,

40

L

si dice che = 0. Ma se ci fosse almeno una donna sopravvivente all'età esatta di 40 anni, sarebbe

40,49

impossibile non osservare almeno una frazione di anno vissuto da questa donna nelle età tra il 40° e il

L

50° compleanno, per cui si avrebbe che > 0.

40,49

11) [Età media, mediana e modale alla morte] e =T /l

L'età media alla morte, o speranza di vita alla nascita , è pari a 20 anni (cfr. risposta

0 0 0

precedente).

Il calcolo preciso dell'età mediana alla morte è impossibile, poiché, come si è detto, non si dispone della

l

serie degli . Sulla base delle ipotesi che si sono fatte, tuttavia, si ne dovrebbe dedurre che tale età è

x

di 20 anni, perché lì si stima sia ancora sopravvivente esattamente il 50% del contingente iniziale. Il

fatto che età media e età mediana alla morte coincidano, suggerisce una distribuzione simmetrica dei

decessi. In effetti così è: nel diagramma di Lexis della fig. 2 si vede che tutti i triangoli compresi nella

striscia tra AB e IL racchiudono 10 casi di decesso, tranne i due estremi (ABC e HIL), che ne

racchiudono 20.

Questo risponde anche all'ultima domanda, sulla (classe di) età modale alla morte. Le maggiori densità

di frequenza si osservano nei primi 10 anni di vita (e in particolare, nel triangolo ABC) e negli ultimi 10

(e in particolare nel triangolo HIL).

12) [Tassi di incremento annuo]

Come si è detto, nel periodo 1981-90 la popolazione non è cresciuta. Il tasso di incremento medio annuo

è quindi 0, indipendentemente dal modo di calcolo.

13) [Numero di morti nel decennio 1980-1990]

Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti (fino al cap. 3 compreso) - p. 21/32

Si è già detto che si tratta di una popolazione stazionaria, per cui il numero dei decessi deve essere

uguale a quello delle nascite = 50. In alternativa, si può applicare l'equazione della popolazione (chiusa),

M P P N,

per cui = - + cioè 100-100+50 = 50.

0 t

Infine, si può calcolare il numero dei decessi come somma di prodotti tra la popolazione esposta al

P

rischio ( ) e il corrispondente rischio di morte. I calcoli sono sviluppati nella tab. 12, e il totale è

x

80

ancora 50.

14) [Tasso di incremento 1980-1990 come differenza tra tasso di natalità e di mortalità]

P P P)/2,

Il numero dei nati nel decennio è 50, con una media annua di 5. La popolazione media è = ( +

t 0

cioè 100. Il tasso di natalità nel periodo è quindi del 5%. Idem per la mortalità (5%), per cui risulta

r=n- m=0%.

15) [Tasso specifico di mortalità m e relazione con il rischio di morte q ]

x,x+9 x

Ricordiamo innanzi tutto che il rischio di morte è la probabilità che si verifichi l'evento morte in un

certo intervallo di tempo, mentre il tasso di mortalità è la frequenza dell'evento morte per numero

medio di anni persona di presenza in quella popolazione.

Nella nostra popolazione (che è stazionaria) il numero medio di persone anno, ad esempio, nelle età 0-9

è pari a 40 persone mediamente presenti per 10 anni = 400 persone anno. Il numero dei decessi

(parzialmente stimato) è (10+5)=15. Il tasso di mortalità è quindi 15/400, ovvero del 38 per mille.

Analogamente si procede al calcolo degli altri tassi specifici di mortalità, secondo i calcoli indicati nella

tab. 10 (cfr. anche la fig. 3).

Tab. 10 - Calcolo dei tassi di mortalità specifici

Pop. Ampiezz. Anni Morti mx

media classe persona stimate per mille

Età (1) (2) (3) (4) (5)

0 9 40 10 400 (15) (38)

10 19 30 10 300 (10) (33)

20 29 20 10 200 (10) (50)

30 39 10 10 100 (15) (150)

Totale 100 -- 1000 (50) (50)

(3) = (1) x (2)

(4) = con ipotesi di distribuzione lineare dei decessi.

(5) = (4) / (3) x 1.000.

Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti (fino al cap. 3 compreso) - p. 22/32

Fig. 3 ­Viventi e decessi nel periodo organizzati sul diagramma di Lexis

Età Persone Persone

w 0 0

E E'

40 10

10 10

(5)

D D'

30 (5)

20 20

(5)

C C'

20 (5)

30 30

(5)

B B'

10 (5)

40 40

10

A A'

0 50

31.12.80 31.12.90

Nota: Nei triangoli sono indicati i decessi del periodo. I decessi tra parentesi sono stimati

in ipotesi di linearità del fenomeno.

La relazione teoricamente attesa tra il tasso specifico di mortalità e il corrispondente rischio di morte

2 q

=

m

m n

è data dalla formula = , dove è l'ampiezza della classe. Per tutte le età, i calcoli sono

n ( 2 q ) m

sviluppati nella tab. 11, dalla quale si vede che il valore di teoricamente atteso coincide con quello

x,x+9 l L

effettivamente calcolato solo per gli anni in cui la relazione tra gli e gli è quella teoricamente

x x

L ½(l +l

attesa, e cioè = ).

x x x+1

Tab. 11 - Confronto tra i tassi di mortalità e i rischi di morte

Ampiezz. qx mx per mille

classe per mille teorico effettivo differenza

Età (1) (2) (3) (4) (5)

0 9 10 (300) (35) (38) -(2)

10 19 10 (286) (33) (33) (0)

20 29 10 (400) (50) (50) (0)

30 39 10 (1000) (200) (150) (50)

Totale -- -- -- -- --

(3) = [2x(2)]/[2-(2)], diviso (1) [N.B. (2) considerato in frazioni di unità]

(5) = (2) - (4), con arrotondamenti.

16) [Relazione tra i tassi di mortalità specifici e il tasso generico]

La relazione che si verifica in questa, come in tutte le possibili popolazioni, è che il tasso generico è una

∑ m P

x x

=

m

media ponderata dei tassi specifici, e cioè . Per la verifica, cfr. tab. 12.

∑ P

x

Tab. 12 - Confronto tra tassi di mortalità specifici e tasso generico

Pop. Ampiezz. mx

Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti (fino al cap. 3 compreso) - p. 23/32

media classe per mille Px mx

Età (1) (2) (3) (4)

0 9 40 10 (38) (1500)

10 19 30 10 (33) (1000)

20 29 20 10 (50) (1000)

30 39 10 10 (150) (1500)

Totale 100 -- (50) (50)

(4) = (1) x (3)

(4, totale) = somma dei (4) / somma degli (1)

PARTE B

(Nota: nelle risposte a queste domande, le spiegazioni sono omesse o ridotte al minimo in tutti i casi in

cui valgono i ragionamenti condotti nella corrispondente domanda della parte a)

2b) [Popolazione per età oltre i 10 anni alla fine del 1990]

Fig. 1b ­ Previsioni demografiche sul diagramma di Lexis

Età Persone Persone

w 0 5

40 10 15

30 20 25

20 30 35

10 40 ??

0

31.12.80 31.12.90

I calcoli sono sviluppati nella fig. 1b e nella tab. 1b. Le persone vive nel 1990 con oltre 10 anni di età

sono 80 (contro le 60 del caso a).

Tab. 1b - Previsioni demografiche per i già nati

1980 81-90 81-90 1990

Pop. qx px Pop.

L L

Età (1) (2) (3) (4)

0 9 40 0.125 0.875 ??

10 19 30 0.167 0.833 35

20 29 20 0.250 0.750 25

30 39 10 0.500 0.500 15

40 49 0 1.000 0.000 5

50 59 0 0

Totale 100 -- -- (80)

(3) = 1 - (2)

(4) = (1) x (3), con risultato 'scalato' di una riga.

Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti (fino al cap. 3 compreso) - p. 24/32

3b) [Popolazione femminile media nelle classi di età feconde]

Media aritmetica semplice tra i due anni estremi del periodo (1980 e 1990) per le classi di età 20-29 e

30-39 (cfr. tab. 2b): si hanno 35 anni-donna nelle età feconde, di cui 22,5 nelle età 20-29 e 12,5 nelle

età 30-39. Tab. 2b - Calcolo della pop. femminile media in età feconda

1980 1990 81-90

Pop. Pop. Pop.

Età (1) (2) (3)

20 29 20 25 22.5

30 39 10 15 12.5

Tot. 30 40 35

(3) = media tra (1) e (2)

4b) [Calcolo del TFT]

R = 1,5 e TFT = 3,09 (cfr. tab. 3b).

Tab. 3b - Calcolo del TFT nel 1981-90

fx

Età (1)

20 29 0.10

30 39 0.05

R = Somma x 10 1.50

TFT = R x 206/100 3.09

5b) [Numero di nate femmine nel periodo]

Cfr. tab. 4b. Nel periodo nasceranno 22,5 bambine da donne di 20-29 anni e 6,25 bambine da donne di

30-39, per un totale di 28,75 (che, in fase di diffusione dei risultati, si arrotonderà a 29, mentre in

fase di sviluppo dei calcoli seguenti si terrà come numero decimale).

Tab. 4b - Nate femmine nel 1981-90

Pop. fx N(x)

Età (1) (2) (3)

20 29 22.5 0.10 22.50

30 39 12.5 0.05 6.25

Totale 35 1.5 28.75

(3) = (1) x (2) x 10 [Totale escluso]

6b) [Popolazione femminile di età 0-9 al 1990]

(cfr. tab. 5b, che riprende e allarga la tab. 1). Delle 28,75 nate nel 1981-90, con mortalità dimezzata

L q

rispetto all'ipotesi precedente (e quindi =10%), 25,875 (arrotondabili a 26) saranno

nati,10

presumibilmente vive (in età 0-9) alla fine del 1990.

Tab. 5b - Previsioni demografiche per il complesso della popolazione femminile

1980 81-90 81-90 1990 Media

Pop. qx px Pop. Pop.

Età (1) (2) (3) (4) (4)

Nate nel

periodo 28.75 0.100 0.900

0 9 40 0.125 0.875 25.875 32.94

10 19 30 0.167 0.833 35 32.50

Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti (fino al cap. 3 compreso) - p. 25/32

20 29 20 0.250 0.750 25 22.50

30 39 10 0.500 0.500 15 12.50

40 49 0 1.000 0.000 5 2.50 tasso di incr. per mille

50 59 0 0 0.00 arit geom esp.

Totale 100 -- -- 105.875 102.94 5.875 5.72522 5.7089

(3) = 1 - (2)

(4) = (1) x (3), con risultato 'scalato' di una riga.

7b) [Struttura per età e età media della popolazione femminile al 1990]

Cfr. tab. 6b. x=19,2, contro 15 del 1980: la diminuzione della fecondità e l'aumento della sopravvivenza

alle età anziane hanno provocato un invecchiamento che l'aumento della sopravvivenza alle età giovani

non è riuscito a contrastare.

Tab. 6b - Struttura per età e età media della popolazione al 1990

1990 1990

x (medio) Pop. x Pop. Età media cx

Età (1) (2) (3) (4) (5)

0 9 5 25.88 129.38 24.44

10 19 15 35.00 525.00 33.06

20 29 25 25.00 625.00 23.61

30 39 35 15.00 525.00 14.17

40 49 45 5.00 225.00 4.72

50 59 55 0.00 0.00 0.00

Totale -- 105.88 2029.38 19.17 100.00

(3) = (1) x (2)

(4) = (3) / (2) [solo per il totale]

(5) = distribuzione percentuale di (4).

8b) [Età media al parto, calcolata sui tassi di fecondità]

E' ovvio che non è mutata rispetto a 8a), perché i tassi di fecondità sono diminuiti tutti nella stessa

proporzione (si sono dimezzati). I calcoli, comunque, sono sviluppati nella tab. 7b: a=28,3 anni.

Tab. 7b - Età media al parto calcolata sugli fx nel 1981-90

x (medio) fx x fx Età media

Età (1) (2) (3) (4)

20 29 25 0.10 2.5

30 39 35 0.05 1.8

Totale -- 1.5 42.5 28.3

(3) = (1) x (2)

(4) = (3) / (2) [solo per il totale]

9b) [Età media al parto calcolata sulla distribuzione delle nascite per età della madre]

Per i calcoli, cfr. tab. 8b, e per i commenti, cfr. 8a. Si noti l'invecchiamento rispetto alla risposta 9a

(27,2 contro 27), dovuto esclusivamente al fatto che è un po' invecchiata anche la popolazione

femminile in età feconda (per i tassi si è già detto che le variazioni non provocano alterazione dell'età

media al parto). Tab. 8b - Età media al parto calcolata su N(x) nel 1981-90

x (medio) N(x) x N(x) Età media

Età (1) (2) (3) (4)

20 29 25 22.5 563

30 39 35 6.25 219


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DETTAGLI
Esame: Demografia
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in studi politici
SSD:
Università: Messina - Unime
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher cucciolina84 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Demografia e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Messina - Unime o del prof Caltabiano Marcantonio.

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