Esercizi Analisi 2

S

. feli funzioni

di

prodotto C

perché composizione e

Andiamo Proviamo

studiare direttamente C'

punto

la regolarità nel vedeze

pil è

a

a se :

.

* Resty az x X2

(y (m +

x - + (

2xf(y

X 2x +

+ +

= =

- -

. 1 - (1

+

( /2

-p - x2

+ y

x2 +

-1/2

(4

+ -

Quindi

dition continuità Fed

estendere

Ex

che ea punto E all

ponendo

al pi

serviamo o

o :

posso con =

: =

fu

fu X(y 1

per

reversa -

: = definita

/2 è 20

x

+ y non

x 1

/

+ in

/ (y

+ ,

- + grado 2

o x(y

Fy Im 1

-

= (x 1)

-(0 2

4) x 1)

(y

- x 11

, (y

+

/ 1 + +

- -

grado grado

limitata

a

esend--

Post

da sent

cosa o

= -= =

e

22

ecos'A 20

sen

+

Anche continuità

prolungabile fy

fu ponendo

1011

è := 0

ori

con in RI

tutto

fed'(R2)

to Ra derivabile differenziabile

fa fuee quindi

ottenuto continua

che su

ovvero e

, ,

, S

(x

Joef ke

y 1

E +

- =

= - 100}

2

03

(x

Somf fy y y =

+

- =

=

+x x3 y3

a +

+

y xy

=

, pti

Somf R2 critici

Cerchiamo :

:

= .

((x 3x 0

+ y

= =

fy 342 0

+ x =

= sostituisco

3x2 nella 2

0

3x y

+ equazione

Y :

= = -

27x"

3x2) x(27x3

3 0 1 x jy 3

0x

+

+ 0

x 0

x y

+

=

- - =

=

= =

= = -

trovato

to ?

pti 915

01

critici 0

2 -

. .

Ne studio la natura sella

max min ,

mateice 2x

E

-(

Cakolo H(x

la : 4

essiona y

= =

. , by

↑

↑

pti

Andiamo critici

vedeze nei

a Let ↑

+ P sella

Hloo

400 loor e

0 0

+

0 una

-1 -

= =

= = ↑

. &

↑ detH1-5

+ Pl

fx

H)

(B e

20

4

2

f) 30

5 -t

ma un

=

t max

1

=

-

=

= - =

- -

:

- ,

2

1 - 32

Jomf =

-21x2 12 2(x2 y2)

fx +

+ 2x y2)

+ 4x2 -

4xe

+ ye

ye 1 D

xy =

- =

= -

y2/

2(x2 2(x2 2(x)

+ yz)

y())

fy (1

+ +

xy( 4y2(xe

- -4ya - -

x e + 0

=

= - =

(1 (x 0 ↑

y =

-

11 4y2(x 0 -

- = restituiscono

sostut I

↑ X 1 &

/ n

= Pa

42 F

=

Y

X = / 1

=

= .

2 Pl

ottengo or

se o

Reversa 0

y = = . i

Passiamo all'llessiano : y4

42)

2(x

2(x 2x

-21 +

42) 42/ +

fax + /1

+ 4x(e

4x/y) -

11 - 4x2/ye 4x2(xyq

+

8xye -

Ox 1

2 +

-

=

-

- -

=

= -

2(x2 y2

+

-

4x 34xye

-

= 2(x

2(x

fxy 42)

2x 2(x)

42) y2) y2) +

+ +

+ (1

Dy((1 (1 4x3/))

y) -

4x2(ye bye

4x2) - 4y2y

+

y

- -

-

= -

- =

=

fyy 2(x y2)

+

(4y2 3/4xye -

-

= y

(x2

2(x y2 -2

(x

+ +

+ (1 4x2//1

(4x 3/4xye 4y2/e

+

y = - -

, 242

yz)(4y2

2(x

4x(() 3/4xye

+yz/e +

-

(1 + -

-

Sostituiamo pti critici :

i P

fax=e

dethiplate-aveo

+ (P) = - è

/t o

D

E massimo

2e

=

- .

,

-1

D 2e

- E

fazze

dethlei-e

H(P) 2 vetto è

o minimo

z

= z = =

·

- ,

-1

2e Pe

HP dethiple sella

H(0 0) 0 o è

↑

= =

, D del quadrato

diagonale

della

lunghezza

la

Calcolare orie

Esercizio ?

parametrizza

Come di di

x

Da 1 1

po a

Ip .

- basta -t-1

cartesiana +

UI H

scegliere o

con

ep y x

= =

.

I velocità

vettore "Speed" U

Ul /11

è 1)

la 2

è

e =

=

=

=

Si +

cht i

2 =

= Unitaria

della

lunghezza circonferenza

la

Calcolare

Esercizio 20 Ul cost D-T-2

sent

j = ↑

,

Ult -sent cost 01 01 /

+

+

1

+

- = , cost

otiamo sent sent

cost

Ult 8

che o

+

. = - =

cost

10'It/1 Sen ++ 1

1

= =

=

veroitemente

dell'ellisse

lunghezza X

la

Calcolare i

Esercizio =

+

↳

b ellittiche

coordinate

semiassi

a 3

2 =

= , t

zcostissent

Ut bsent

acost

- O 2

= :

= - -

,

Ult lasent scost la lunghezzo-

calcoliamo

e

= ,

. =Se etcost

S Integrale

d elittico

da do El

Abi

= esenatiacos't =

"R

Data f of

di differenziale

l'integrale

:2 classe lungo

del A

Ulal

C calcolare

Esercizio U :

suo =

,

U(b) B

=

Urbl B

= gf(x qx

df

w

~ = +

=

A

Val = = =S

Gu Sfx f(xHyH)d

fudy fyxy)

+Hik fond calcol

He

xyH) 1

+ + =

= l

fixityiti fu fua f(B) flay

= - =

= -

Zovaze o

1x

xya

potenziale de D

sul

Esercizio xya

per w semprano

un +

= =

-

esatta

Come che

faccio ?

è

se ga lu non

so

Procediamo potenziale

formalmente nella di Vi

ricerca un

?

(V

Supp V

-Ver F 4

w

: =

= =

. x2 yz

+

Vy Fz xyz

=

=

Quindi trova ?

si

come

: Sy

S arty(y

axtoy cy vixy

xy(x

↓ y1 + cy)

+

x =

= +

-

+

= -

= -

-

. y(

Uso la 2 equazione : x

& ++

-azy c()

c() ( =

= c(4)

cy) y 0

+ +

+ + = +

= =

- -

Cy/ costante esempio 0

c

= =

,

potenziale VIX aztg

41

zovo = -

,

dipende del

l'esattezza geometria dominio

dalla !

sservazione Fr Ez (xyo

Son GonF

w =

=

Y tutta

Ugace quadrante che semplicemente

nel è

l connesso .

erifichiamo chiusa

è

se un :

E = & /(xy

((xy

y(y(xy) yxy +

y 2

+ + +

1 +

= = uguali !

EE x(g(xy) x kyy

(

( x (xy

+

x y)

+

x +

+

1 2

= =

= !

semplicemente esatta

chiusa

W e e

su concesso w

Quindi Ux

-Ver youlg

Ve-cioé Xy

==

:

ntegro la and

rispetto parti

Xi

prima per

Sy Sy +y(x

V( x +y(x

y(g xy(xy xy xy)

c(y

+ c(y

+

xy

y + xy

+ +

x y

= =

=

= -

, (V xyb cryp

Jerivo +

xy

and =

aspetto y : Vy

= xyycy dal 2

cylkyx

xgxyxy

By x +Cyxxyx +

= · .

c'1y1 costante

~ <(y)

0 0

= = =

V(x xy(gxy

y =

,

Per trovo

l'integrale curvilineo

calcolare A Bi

e

A 14 B

: 2i4

Y = -X-2 =

=

Allora :

& Vibl g

2(gz

V(2 2gk)

-VA) 2(z 2(gz

V2( 4

w = - = =

= : -

= -

direttamente

Calcoliamo

etodo :

Ult Tipi t

2 2

= -

-

A u2B 02

= =

Sk

Sa + +

14

ht +

+

L + -

+ + k

= + .

S d

26

29 2

+ +

= =

+ -

-

-Sik Pe

d

h +

+ =

= Si Stsigists,

gisids 21k

22 21gk =

= = = - -

etodo

Il :

Usare da ad

altra /4 retto

2

2 4

cueva esempio una

. 03

[1 24

Som(w y)

(x

+ =

= - =

I ?

chiusa

e

w

s

i in y12

yz

E 1

42x

+ y

+

- x

x x - - -

= I y(22

(x

y/22

(x +

+ 1

1 -

- -

=

x y

G - 4-x2x y

- -

= y22

(x

y22 +

1

1 x

+ -

- su

chiusa semplicemente

e

W connesso

esatto :

Ver

è

W -

? Ux F Integriamo ad

rispetto

x 4 x

-

=

= y/2

+x

1 + -

Vy Fz 4

x

= -

= - y/2

+ x

1 -

S

V Ea yz

(g) cy

+

= +

x

= .

& c(

x -

(4)

Eur +

2 +

- x =

y =

= -

- .

+ ya y

C'(y) D

C(y

0 =

=

Ux y2

2(g(1

41 (x

+ -

=

,

Quindi il dato

integrale da

e

mio :

13

(2x /

Aro

y 0 1 ,,

x y =

= =

- - B 1

1 p

x y 1

=

= ,

La curi

Su Vibr 2

Vi

-Val -wav 29j 22

=

-

= - = - [x

Jom 12-970] RC circonferenza

C

+

w = =

= , centro 10 0

,

e zaggo 3

=

T "

Ulti 1

+ u A

!

1

+ 1

- - +

= =

=

. (1 1)

U1 B

= =

,

di semplicemente

all'interno

B

A che

C è connesso

giacciono

e

A

= 2

X 4x4

= -

943

y2 1x2 993

x y2

+

- -

In

42

2x

Fz 9(2x

4

2 4x4

+ -

.

= -

- =

( qx3 (x -93

x2

2x yz yz

+ - esata

chiusa semplicemente y le

su connesso

W = Ver?

-

Tale che

y3 0

/

x2 + -

stegro rispetto ad x :

S

Vix g(2dx

x <(4) y2

2x y2 cryp

y = +

= +

=

. - -

yz

(x 2(x

a) a)

+ + +

c(4) Y

V x =

+

= (x yz

-( ap

+ -

(y

c 0

c(y

0 =

=

V(x ↑

y) =

, - 9

2(x2 yz

+ - dato

integrale cercato da

è :

Su Vibi-valur. V 1 i

( 0

+

= - =

- =

- x 0

0 x 0

4 = -

- ,

45 d

d beenoull )

4

:

q

= =

=

.

. y 21b

2 z 2) az

(1

y 11

z + - =

= -

= del ordine

lineare

z 2z p

ep.

2

=

-

aix S

Arx &4x 2(gx 19 /

- = = =

-

- bx x (((x

Setkb(x)dx

e a( 2(x x x

x 2x

-

z(x c =

e

= +

= = = - -

Sayy i 3

z( 1zi c

c

= 1 1 =