Esercizi Algebra e geometria lineare con svolgimento

Vettori in R³

Nello spazio euclideo tridimensionale R³ col variare del parametro k ∈ R, si considerino i seguenti vettori:

• v_k = (k, 0, k²)
• w_k = (-k, k, k-2)
• w = (0, 3, 2)

• w_k ∧ v_k, w₃ = det | k 0 k² | = k(2k - k²) + (k + 2)(-k)
• | -k k k-2 | = k(0 + k²) - k² - 2k
• | 0 3 2 |

-3k ≠ 0

-u∧k, v_k sono L.I. (u∧k, v_k) ≠ 0 = -k, 0, k² - k, v, k, k-2)

-k² + k² - k 2k - k -2.

u∧k, w_k sono L.I. se esiste uno multiplo degli altri, questo moltiplica k = 0.

Per k = 0 → w_k = (0, 0, 2) //v_k = (0, 0, 0) [per k ≠ 0 w_k L.I.]

Dimensione Spazio Vettoriale

Nello spazio vettoriale R[x] si consideri il sottoinsieme W:

• spun {2 + x + x², 1 + x, 4 + x, x + x²}
• a(2 + x + x²) + b(1 + x) + c(4 + x, x) = 0 m.c. a + b + c = 0

Det = 2 4 4, a + b + c = LI.

(b_l + b + c) (a + c)x = (a + c)x²

Det | 2 1 4 | ≠ 0 2 ∙ 1 - c (2, c) 1 | ≠ 0

| 1 1 1 | 1 3 le prime sono L.I.

| 3 0 1 |

dim W=3

Determinazione R₃ poc@ retta

Si considerano le rette a) 3 − r & b) di quotizione cartesiana:

• Rx + 2y + 3 = 2 3 | 3
• (x -2y out z) = 0 1 2 (3x - t) 4y - t) z +1
• (x - 2y - 2 = 3 2.3 | T1)
• det ( 4 7 )

1 2 3 R 2 = R 1

3 1 4 L P 3 = 3 R 2

2 3 3 0 L R 2 | 0.0 |

R 4 = L R 4 = R 2

1 0 -2 Rac.| R 4 - R 1

(1 2) 3 3 1 3 = 0 0 0 1 3

In ho retto = () atabix(tb = 3 T.)

Il halte sono ⟂ incidenti

Vettori in R³

Nello spazio euclideo tridimensionale R³ al variare del parametro <...>

Si considerino i seguenti vettori:

u_K = (K, 0, K+2) u_K = (-K, K, K-5) w = (0, 3, 2)

wK = u_K ν_K, w₃ = det

= K(2K - K+5) +

(K+2) (-K)

K (K(1+3) - K² - 2K)

K ≠ 0

-3K <0

K, 1, ν_K salvo (1-5) 3K ν_K >0

-K, 0, K+2, K, K, K-5, -K² + (K+2)(K-5)

-K² + K² - K = 2K. - K - K, K = 0

u_K ≠ ν_K salvo (1-5)

k = 0

u_K = (0, 2, 1) ν_K = (0, -9, 5)

(a_K ≠ u_K )

Dimensione spazi <...>

Nello spazio vettoriale R[x] si considera il sottospazio W=

sp <x² + x + 2, 1 + x, 4, x + x³>

< 2(x + x²) * <...

α(x + x²)

β= x

<a, b+c x>

3 primi elementi sono LI

dim W = 3

det

≠ 0: 2 - 11 + α +(2)

3 primi elementi sono LI:

dim W = 3

Proiezione ortogonale

Si considerano 6 rette ... di ... cartesian

1(x), 3(x + y + 2 = 3)

s) <-2,1,3>

Prodotto scalare dei vettori generatori

0 - 5 - 5 - (2)

Rango e Immagine

1) Sia A = _{0 -2 5 1 -1 2 1 0 -2 -3 1} e B = _{1 -1 0 0 2 2 0 1 1 1 0 1} Si considera l'applicazione...

rango(A) = 3; rango A = 2

Terapia di molteplicità, rango e equilibrio

...soggetto a ... sottospazio lectional di ...

dim... 5

• dim ker ...
• dim R

Rango di Matrici con Parametro

A = k² 1 k² 0 ( delle matrici in discussione, effetti su rango A, ecc...) ...

• rango A = 3 per k = 2
• K = 2

Conclusione

Esistono esattamente 2 valori per cui rango A = 2

20) Diagonalizzazione

Traccia e determinante

Sia A:

\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]

B = A − A^T

A^T = \[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \]

\[\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \] è simmetrica e diagonalizzabile usando una base ortonormale di autovettori.

21) Diagonalizzazione con parametri

Si consideri la matrice AR:

\[\begin{pmatrix} 5 & 0 & 9 \\ -1 & K - 5 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix} \]

P(AK(λ)) = (A - λI) =

\[\begin{pmatrix} 5 - λ & 0 & 9 \\ -1 & K - λ & -5 \\ -2 & 0 & -4 - λ \end{pmatrix} \]

= (K - λ) det\[\begin{pmatrix} 5 - λ & 9 \\ -2 & -4 - λ \end{pmatrix} \]

PAK(ω) = (K - λ) (λ - 2) (λ + 1)

& K ∈ {−2, 2}

La matrice è diagonalizzabile se K = −1

d1 = 2 molt alg = 1 molt geo

d2 = 1 molt alg = 2

Per λ = −1

\[\begin{pmatrix} 6 & 0 & 9 \\ 1 & 0 & 5 \\ 2 & 3 & 3 \end{pmatrix} \]2R2 → R1

\[\begin{pmatrix} 6 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 21 \\ 2 & 3 & 3 \end{pmatrix} \]3R3 → R4

Per λ = 2

18 - 1 molt alg = molt geo = 3

d2 = 2 molt alg = 2

Per λ = 2

\[\begin{pmatrix} 3 & 0 & 9 \\ -1 & 0 & -5 \\ -2 & 0 & -6 \end{pmatrix} \]3R2 → R4

\[\begin{pmatrix} 3 & 0 & 9 \\ 6 & 0 & 6 \\ 6 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Traccia A = 2

3 - 2 = 1 per λ = 2

Esistono esattamente 2 URORI del K per cui AK non è diagonalizzabile.

(26) PIANI E RETTE

Si consideri il piano π₁ passante per P(3, 0, 1) e parallelo all'asse x:y=z:0 P(π): x = k z = 0, e il piano di passaggio per i punti Q(4,0,-1) ed R(6,0,1) parallelo al vettore (u, 4, 1) [3,1,1,2]

Vr = ^a = 0

x = (x - 3), (y - 1), (z - 1) x + y + z = 0 x + y - 2 + z = 0

π

x ed y sono mutuati ortogonale. Verificare per quali punti nello spazio è il punto di intersezione

• x - y - 1
• y + z = 0
• x
• per la retta

per il piano x + y - z + 1 = 0

1. 1/3
2. 2/3
3. 2/3

1. SISTEMI LINEARI CON PARAMETRO

si considera il sistema lineare:

• 1x + 2y - z = 2
• 2x + 3y + z = k
• 4x + 5y = k²

1. 8 < k = 2 raggio A = raggio A|B = 2 ⇨ del sistema ha soluzioni.
2. 8 k = 2 raggio A ≠ raggio A|B ⇨ non soluzioni
3. 3-2 = 1 la dimensione delle soluzioni = uno spazio affine di dimensione 1 che ha una retta passante per l'origine.

AUTO VALORI E AUTO VETTORI

S.G. A = (1 0 1 | 3 2 0 | 3 1 0)

raggio A - 1 ⇨ molt. geo = 3-1 = 2 = molt. geo

criterio di diagonalizzabilità rispettato

Verifichiamo 8 (1 0 | 1 0 | 1 3) di nelle risposte rimanenti possibili e sono accettabili.