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Si riportano i risultati per 7 punti equispaziati

A parità di punti si ottiene la migliore approssimazione utilizzando questo metodo e inoltre, pur non

essendo in generale K simmetrica come nel metodo dei minimi quadrati, combinata alla

formulazione debole del problema permette di ottenere sempre una matrice simmetrica. Per questi

motivi il metodo di Galerkin è il più utilizzato per la scelta delle funzioni di peso nel metodo agli

elementi finiti. 14 di 26

b) Funzioni di forma

Viene risolto il problema utilizzando il metodo agli elementi finiti: STRONG FORM (2)

Si ottiene la seguente formulazione debole (3) dove, utilizzando il metodo di Galerking, le funzioni

di peso V vengono scelte uguali alle funzioni di forma N:

Dove in ordine troviamo: matrice di rigidezza K, vettore delle temperature nodali incognite a,

vettore delle condizioni al contorno e vettore dei carichi.

Nella risoluzione si utilizza il codice fornito FEMheat1d.m che, definiti i dati del problema, esegue i

seguenti passi:

discretizzazione dominio

• per ogni elemento:

• vettore dei carichi

• condizioni al contorno

• matrice di rigidezza

assemblaggio

• vincolamento

• temperature nodali a=K\f

• soluzione approssiomata

Il codice, che utilizza elementi con funzioni di forma lineari è stato modificato per utilizzare funzioni

paraboliche e di grado superiore e per permettere l’uso contemporaneo di diverse funzioni di

forma. 15 di 26

Per ricavare i diversi termini derivanti dalla funzione di forma N scelta si è creato un codice di

calcolo MuPAD phi_FEM.mn

dove per la funzione di forma N si utilizza la formula interpolatoria di Lagrange

per elementi di lunghezza L e definiti da nodi equispaziati in modo da ottenere un’espressione

semplificata dei termini da implementare in FEMheat1d.m. 16 di 26

LINEARE PARABOLICA

N

intN

K=N’N

Essendo la soluzione esatta del problema:

in seguito non saranno riportati i risultati per funzioni di forma di grado superiore.

Si riporta uno schema riassuntivo dei passaggi da eseguire nella risoluzione del sistema 17 di 26

Lineari e paraboliche

Dopo aver definito i dati del problema viene richiesto

in input il numero di elementi (di stessa lunghezza)

da generare e il loro grado.

Vengono calcolati i punti per elemento, creato il

vettore dei nodi equispaziali e la matrice di

connettività degli elementi. Utilizzando 3 elementi

lineari si ottengono: 18 di 26

Viene richiamata la funcion formStiffness1Dheat.m che tramite un ciclo su ogni elemento

determina il suo grado e calcola la sua matrice di rigidezza come K=ka/xa*C con conduttività

k ,area a, lunghezza xa dell’elemento e C matrice di coefficienti (ottenuta con MuPAD) scelta con

un comando switch in base al grado della funzione di forma dell’elemento.

Infine procede all’assemblaggio

con la matrice globale in

corrispondenza dei gradi di libertà

dell’elemento. 19 di 26

Procede allo stesso modo per il calcolo dei vettori dei carichi e delle condizioni al contorno:

In seguito al vincolamento

e dopo la correzione del vettore delle forze per via del vincolo imposto

la sottomatrice di K ottenuta eliminando riga e

colonna corrispondente al nodo vincolato

diventa invertibile e si ottiene la temperatura

nodale come soluzione del sistema tramite la

funcion: 20 di 26

Imponendo il valore nel nodo vincolato si ottiene:

mentre Ia funcion: permette di ricavare il flusso incognito al nodo 1 dovuto

all’eliminazione della della prima riga di K nel

vincolamento 21 di 26

l’andamento approssimato della temperatura sull’elemento viene tramite le relative funzioni di

forma e le temperature nodali: 22 di 26

Per ottenere una migliore approssimazione si utilizzano 7 elementi finiti,

sempre con funzioni di forma lineari, ottenendo i seguenti risultati: 23 di 26

Si riportano i risultati per 2 elementi finiti con funzioni di forma paraboliche 24 di 26

Si può notare che all’aumentare del grado delle funzioni di forma si ottiene un’approssimazione

migliore anche utilizzando meno elementi, questo perchè se il polinomio è completo si ha un

aumento della velocità di convergenza alla soluzione esatta nel raffittirsi della mesh.

Nel caso in esame anche utilizzando un solo elemento la soluzione approssimata viene a

coincidere con quella esatta essendo quest’ultima proprio con andamento parabolico. 25 di 26

Uso contemporaneo

E’ stato creato il nuovo codice mix_FEMheat1d.m che permette l’uso contemporaneo di elementi

finiti con differenti funzioni di forma, del tutto simile al precedente ma con l’inserimento manuale

dei nodi e della matrice di connettività degli elementi.

Come esempio di riportano i risultati utilizzando

un’elemento lineare e uno parabolico di diversa lunghezza 26 di 26

ALMA MATER STUDIORUM - Università di Bologna

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Metodi Numerici per l’Ingegneria Civile

A.A. 2016/2017

Esercitazione 3

TRASMISSIONE DEL CALORE 2D

Nome: Federico

Cognome: Camiletti

Matricola: 0000805015

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Dominio A 2

• Quadrangolare 4 nodi 3

Triangolare 3 nodi 4

• Triangolare 6 nodi 5

• Quadrangolare 8 nodi 6

• Quadrangolare 9 nodi 7

Dominio L 8

Quadrangolare 4 nodi 9

• Quadrangolare 8 nodi 11

• Quadrangolare 9 nodi 13

• Elementi diversi 1 15

• Elementi diversi 2 18

• Elementi diversi 3 20

• Pagina 1 di 22

Dominio A

Lo scopo dell’esercitazione è di analizzare la trasmissione di calore in un dominio bidimensionale

utilizzando il metodo agli elementi finiti, che prevede la discretizzazione del dominio tramite diverse

tipologie di elementi.

Dopo aver definito i dati del problema, le condizioni al contorno, le coordinate dei nodi e la matrice

di connettività degli elementi Il problema viene risolto

utilizzando il codice matlab

heat2d.m, che stabilisce tipo di

elemento utilizzato in base ai nodi

che lo definiscono in LCOG. In

output viene riportata la

discretizzazione del dominio,

l’andamento della temperatura, la

direzione del flusso e il suo valore

in direzione x e y. Pagina 2 di 22

• Quadrangolare 4 nodi dominioA_4n.m Pagina 3 di 22

Triangolare 3 nodi

• dominioA_3n.m Pagina 4 di 22

Triangolare 6 nodi

• dominioA_6n.m Pagina 5 di 22

Quadrangolare 8 nodi

• dominioA_8n.m Pagina 6 di 22

Quadrangolare 9 nodi

• dominioA_8n.m Pagina 7 di 22

Prima del vincolamento la matrice di rigidezza è singolare e per poter risolvere il problema è quindi

necessario imporre le condizioni al contorno. Si può notare che imponendo la temperatura nota nei

nodi vincolati la matrice riduce il numero di elementi non nulli e diventa invertibile. In entrambi i

casi risulta simmetrica e a banda, più o meno ampia a seconda della numerazione utilizzata per i

nodi. All’aumentare dei nodi utilizzati per ogni elemento o il numero degli elementi la matrice K

aumenta le sue dimensioni e il numero degli elementi non nulli essendo aumentate le incognite del

nostro problema (temperature nodali).

Com’era prevedibile dalla simmetria il flusso in direzione X è nullo, inoltre essendo imposta la

temperatura al bordo superiore e inferiore e non essendo presente un carico termico, l’andamento

della temperatura in direzione Y è lineare e quindi il flusso costante pari a -1, ovvero diretto dalla

zona a temperatura maggiore a quella minore.

Per via della semplicità del problema la soluzione ottenuta è proprio quella esatta e con tutti gli

elementi si ottengono gli stessi risultati.

Dominio L Viene risolto il dominio a L in

figura sottoposto a un carico

termico q=1 e ad una

temperatura imposta nei nodi

di bordo T=1 Pagina 8 di 22

Quadrangolare 4 nodi

Il dominio viene discretizzato in 16 elementi quadrangolari a 4 nodi. Pagina 9 di 22

dominioL_4n.m

Pagina 10 di 22

Gli elementi quadrangolari a 4 nodi, cosi come i triangolari a 3nodi, sono definiti da funzioni di

forma che approssimano linearmente la temperatura lungo i lati dell’elemento. Per l’elemento

utilizzato si ha una descrizione della temperatura lineare anche lungo le direzioni parallele ai lati

dell’elemento. Come si può vedere dai grafici questo comporta una valore costante del flusso

lungo le direzioni X e Y. Per via della geometria del problema e del carico, gli elementi lineari non

riescono a rappresentare la soluzione cercata.

Quadrangolare 8 nodi

• Discretizzazione in 4

elementi quadrati a 8

nodi Pagina 11 di 22

dominioL_8n.m

Pagina 12 di 22

Quadrangolare 9 nodi

Discretizzazione in 4 elementi quadrati a 9 nodi Pagina 13 di 22

dominioL_9n.m

Pagina 14 di 22

Negli ultimi due esempi si sono utilizzati elementi di tipo parabolico. Si può notare come

all’aumentare del grado si ottiene una rappresentazione simile al caso primo caso, anche

utilizzando un minor numero di elementi. Per l’elemento quadrangolare a nove 9 nodi, grazie alla

funzione di forma del nodo centrale si ottiene una migliore approssimazione e inoltre, essendo il

polinomio di grado completo, abbiamo un aumento della velocità di convergenza al ridursi delle

dimensioni dell’elemento.

Elementi diversi 1

In seguito vengono riportati delle possibili discretizzazioni utilizzando elementi triangolari a 6 nodi e

quadrangolari a 9 nodi di diverse dimensioni. Utilizzando diverse tipologie è importante mantenere

la compatibilità tra elementi adiacenti. Pagina 15 di 22

Pagina 16 di 22


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AUTORE

icamo

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria civile
SSD:
Università: Bologna - Unibo
A.A.: 2017-2018

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher icamo di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Metodi numerici per l'ingegneria civile e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Bologna - Unibo o del prof Custodi Alberto.

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