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Esercitazione n.1

Esercizio 2: GIACITURA DELLE DISCONTINUITA’

1. Rappresentare il complesso dei poli dei piani sul reticolo polare equiareale.

Dai dati forniti di immersione/inclinazione dei 30 piani si determinano le direzioni/inclinazioni

dei corrispondenti poli, mediante le equazioni:

= ± 180°

= 90° −

Di seguito si riportano le giaciture dei poli dei piani, calcolate con un foglio Excel.

ID. IMMERS. INCLIN. ID. IMMERS. INCLIN.

1 235° 55° 16 420° 5°

2 235° 45° 17 415° 15°

3 250° 60° 18 425° 2°

4 410° 65° 19 240° 35°

5 420° 15° 20 245° 59°

6 450° 70° 21 420° 2°

7 240° 10° 22 245° 45°

8 230° 10° 23 420° 5°

9 410° 30° 24 420° 5°

10 405° 10° 25 240° 25°

11 425° 10° 26 245° 29°

12 460° 65° 27 240° 31°

13 390° 0° 28 241° 32°

14 410° 0° 29 240° 40°

15 260° 15° 30 230° 50°

La rappresentazione dei poli sul reticolo polare equiareale consiste nel sovrapporre un foglio

di carta lucida al reticolo, ricalcare il cerchio fondamentale individuando il centro e i 4 punti

cardinali. In seguito, per ogni polo e partendo dal Nord, si individua la direzione (in senso

orario) segnandola sul cerchio fondamentale; infine si entra nel reticolo di un valore pari

all’inclinazione del polo.

I punti così individuati rappresentano i poli dei piani e costituiscono la mappa di densità dei

poli. Esercitazione n.1

2. Identificare le possibili famiglie e individuare la giacitura media; rappresentare

le corrispondenti ciclografie dei piani medi sul reticolo equatoriale.

Osservando la mappa di densità dei poli si individuano 3 famiglie:

FAM.1 FAM.2 FAM.3

ID IMMERS. INCLIN. ID IMMERS. INCLIN. ID IMMERS. INCLIN.

5 420° 15° 1 235° 55° 4 410° 65°

7 240° 10° 2 235° 45° 6 450° 70°

8 230° 10° 3 250° 60° 12 460° 65°

9 410° 30° 19 240° 35°

10 405° 10° 20 245° 59°

11 425° 10° 22 245° 45°

13 390° 0° 25 240° 25°

14 410° 0° 26 245° 29°

15 260° 15° 27 240° 31°

16 420° 5° 28 241° 32°

17 415° 15° 29 240° 40°

18 425° 2° 30 230° 50°

21 420° 2°

23 420° 5°

24 420° 5°

Per rappresentare la ciclografia di ogni famiglia si deve rappresentare la sua giacitura media.

A partire dai poli, si calcola il versore di ogni singolo polo della famiglia, di componenti:

; ;

= = =

L’orientazione del polo medio coincide con quella del vettore di componenti:

=( , , ),

= , = , = , = °

FAM.1 FAM.2 FAM.3

wx wy wz wx wy wz wx wy wz

5,34 6,95 2,30 -4,29 -7,55 7,89 0,20 1,08 2,75

Ottenuto il vettore w della famiglia 1, 2, 3, si calcola il polo medio di ogni famiglia:

direzione: , (Q: tabellato)

= +

 Esercitazione n.1

inclinazione: =

 FAM.1 FAM.2 FAM.3

α φ α φ α φ

n n n n n n

50° 16° 240° 42° 80° 68°

A questo punto è possibile calcolare immersione/inclinazione del piano di ciascuna famiglia e,

con i valori ottenuti, rappresentare su un foglio di carta lucida le ciclografie.

immersione: = ± 180°

 inclinazione: = 90° −

I valori dei piani, approssimati all’unità, sono:

FAM.1 FAM.2 FAM.3

α φ α φ α φ

g g g g g g

230° 74° 420° 48° 260° 22°

3. Rappresentare l’istogramma di frequenza della direzione dei piani in un

diagramma a rosetta.

A partire dagli angoli di immersione si calcolano gli angoli di direzione dei piani (aggiungendo o

togliendo 90°). Dato che per ogni angolo di immersione si hanno 2 angoli di direzione, si sceglie

un intervallo compreso tra 0° - 180°, si divide l’intervallo in classi di ampiezza 15° e si contano

quanti angoli ricadono in ciascuna classe. In questo modo è possibile disegnare un istogramma

di frequenza della direzione dei piani (in allegato).

Classi Frequenza

0° - 15° 0

16° - 30° 0

31° - 45° 0

46° - 60° 0

61° - 75° 0

76° - 90° 0

91° - 105° 0

106° - 120° 1

121° - 135° 1

136° - 150° 18

151° - 165° 7

166° - 180° 2

Esercitazione n.1

4. Rappresentare le tracce che i piani appartenenti alle diverse famiglie formano

sul fronte di scavo di una galleria orizzontale scavata in direzione N-S.

La traccia è l’intersezione tra il piano del fronte (che è un piano verticale) ed il piano della

discontinuità.

Dato che la galleria è scavata in direzione N-S, il fronte è un piano verticale che coincide col

diametro W-E e ne rappresenta la ciclografia.

La rappresentazione stereografica della traccia, cioè l’intersezione tra i 2 piani, è un punto. Si

hanno quindi 3 punti, ognuno dei quali rappresenta l’intersezione tra il piano medio di ogni

famiglia e il piano del fronte.

Osservando le ciclografie, realizzate al punto 2.2, si misura la distanza angolare rispetto

all’Ovest (o analogamente rispetto all’Est) che rappresenta l’inclinazione della traccia rispetto

all’orizzontale. In questo modo si determina l’inclinazione apparente di ciascuna delle 3

famiglie, riportata nel disegno sottostante, i cui valori angolari sono:

( )

; ;

≅ 78° ( ) ≅ 51° ≅ 22° ( )

Esercitazione n.2

1. Determinazione del valor medio del peso dell’unità di volume e della densità.

Con l’ausilio di un foglio di calcolo si è determinato il volume dei 34 campioni, la densità ed il

peso dell’unità di volume. All’interno del foglio Excel sono state riportate le seguenti formule

ottenendo i risultati in tabella: ID. V (mm3) Densità (kg/m3) Peso V (N/m3) Peso V (kN/m3)

= ℎ [ ] 1 86408,34 2660,62 26090,07 26,09

2 86294,48 2657,53 26059,72 26,06

= 3 89069,15 2668,15 26163,89 26,16

4 87966,17 2667,28 26155,30 26,16

∙ 5 86510,63 2670,31 26185,04 26,19

= 6 86419,73 2673,35 26214,85 26,21

7 86170,05 2669,37 26175,87 26,18

8 86226,22 2677,49 26255,48 26,26

∑ 9 25107,68 2662,13 26104,88 26,10

= 10 24972,70 2692,14 26399,12 26,40

11 86396,97 2661,20 26095,77 26,10

= 12 86613,02 2662,07 26104,27 26,10

13 86453,83 2671,02 26192,03 26,19

14 88317,71 2670,70 26188,87 26,19

15 86692,68 2661,12 26094,99 26,09

16 88899,81 2667,95 26161,89 26,16

17 88476,82 2667,37 26156,18 26,16

18 88318,67 2666,37 26146,40 26,15

19 86351,51 2671,52 26196,95 26,20

20 86544,61 2665,79 26140,76 26,14

21 89298,01 2664,56 26128,69 26,13

22 87169,84 2671,22 26194,00 26,19

23 86056,64 2669,99 26181,88 26,18

24 86816,50 2670,34 26185,40 26,19

25 84292,13 2684,83 26327,44 26,33

26 86135,43 2683,45 26313,90 26,31

27 86158,17 2664,29 26125,99 26,13

28 89717,30 2670,05 26182,54 26,18

29 88420,00 2670,66 26188,52 26,19

30 86340,11 2677,09 26251,52 26,25

31 86362,85 2661,91 26102,67 26,10

32 87488,58 2627,43 25764,56 25,76

33 89753,09 2665,31 26136,05 26,14

34 89330,69 2668,06 26163,04 26,16

MEDIA 2668,02 kg/m3 26162,6 N/m3 26,16 kN/m3

Esercitazione n.2

2. Istogramma, valor medio e deviazione standard della porosità.

La porosità si può esprimere usando la densità totale e la densità del materiale solido:

[%]

=1 − = 2.76 ∙ 10

Il valore medio e la deviazione standard si ricavano dalle formule:

∑ ∑

( − )

[%]

= = [%]

ID. Porosità n (%) ID. Porosità n (%)

1 3,601 18 3,392

2 3,713 19 3,206

3 3,328 20 3,413

4 3,360 21 3,458

5 3,250 22 3,217

6 3,140 23 3,261

7 3,284 24 3,248

8 2,989 25 2,724

9 3,546 26 2,774

10 2,459 27 3,468

11 3,580 28 3,259

12 3,548 29 3,237

13 3,224 30 3,004

14 3,236 31 3,554

15 3,582 32 4,803

16 3,335 33 3,431

17 3,356 34 3,331

Valore medio 3,333

Deviazione Standard 0,364

Esercitazione n.2

Per graficare gli istogrammi di frequenza della porosità si sono scelte 34 classi di

, ,

rappresentazione, di ampiezza: = = = 0,069

°

ID. Classe Estr. sup. Freq. n(%) Freq. relativa (%) Freq. cumulata (%)

1 0-2,530 2,530 1,00 2,941 2,941

2 2,531-2,600 2,600 0 0,000 2,941

3 2,601-2,670 2,670 0,00 0,000 2,941

4 2,671-2,740 2,740 1 2,941 5,882

5 2,741-2,810 2,810 1,00 2,941 8,824

6 2,811-2,880 2,880 0 0,000 8,824

7 2,881-2,950 2,950 0,00 0,000 8,824

8 2,951-3,020 3,020 2 5,882 14,706

9 3,021-3,090 3,090 0,00 0,000 14,706

10 3,091-3,160 3,160 1 2,941 17,647

11 3,161-3,230 3,230 3,00 8,824 26,471

12 3,231-3,300 3,300 7 20,588 47,059

13 3,301-3,370 3,370 5,00 14,706 61,765

14 3,371-3,439 3,439 3 8,824 70,588

15 3,440-3,509 3,509 2,00 5,882 76,471

16 3,510-3,579 3,579 3 8,824 85,294

17 3,580-3,649 3,649 3,00 8,824 94,118

18 3,650-3,719 3,719 1 2,941 97,059

19 3,720-3,789 3,789 0,00 0,000 97,059

20 3,790-3,859 3,859 0 0,000 97,059

21 3,860-3,929 3,929 0,00 0,000 97,059

22 3,930-3,999 3,999 0 0,000 97,059

23 4,000-4,069 4,069 0,00 0,000 97,059

24 4,070-4,139 4,139 0 0,000 97,059

25 4,140-4,209 4,209 0,00 0,000 97,059

26 4,210-4,279 4,279 0 0,000 97,059

27 4,280-4,349 4,349 0,00 0,000 97,059

28 4,350-4,419 4,419 0 0,000 97,059

29 4,420-4,489 4,489 0,00 0,000 97,059

30 4,490-4,559 4,559 0 0,000 97,059

31 4,560-4,629 4,629 0,00 0,000 97,059

32 4,630-4,699 4,699 0 0,000 97,059

33 4,700-4,769 4,769 0,00 0,000 97,059

34 4,770-4,839 4,839 1 2,941 100,000

Esercitazione n.2

Frequenza della porosità

8

7

6

(%) 5

Frequenza 4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Classi

Frequenza relativa

25

20

(%) 15

Frequenza 10

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Classi

Frequenza cumulata

100

90

80

70

(%) 60

Freaquenza 50

40

30

20

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Classi

Esercitazione n.2

3. Porosità idraulicamente connessa.

La porosità idraulicamente connessa si calcola considerando l’acqua che viene assorbita dal

campione: ( − ) ∙

= [%]

n(%) idraulicamente n(%) idraulicamente

ID. ID.

connessa connessa

1 1,389 18 1,200

2 1,414 19 1,274

3 1,201 20 1,340

4 1,182 21 1,232

5 1,133 22 1,078

6 1,099 23 1,464

7 1,381 24 1,417

8 1,090 25 0,759

9 - 26 0,964

10 - 27 1,242

11 1,319 28 1,037

12 1,374 29 1,154

13 1,122 30 0,961

14 1,110 31 1,343

15 1,315 32 1,314

16 1,159 33 1,237

17 1,221 34 1,153

4. Valori medi e deviazioni standard delle velocità longitudinali Vp in condizioni

asciutte e sature.

Le velocità di propagazione delle onde in un mezzo elastico, isotropo ed omogeneo sono

associate alle caratteristiche di rigidezza dinamica del mezzo stesso.

La velocità delle onde longitudinali v possono essere considerate un indice della qualità

p

dell’ammasso roccioso in quanto la velocità diminuisce all’aumentare del numero di famiglie di

discontinuità ed aumenta all’aumentare della resistenza a compressione.

Condizioni asciutte Condizioni sature

[m/s]

[m/s] σ (v ) [m/s] σ (v ) [m/s]

,

, p dry p sat

3381 828 5841 132

Esercitazione n.2

5. Valore medio e deviazione standard della resistenza a compressione

monoassiale. Rappresentazione della resistenza a compressione monoassiale in

funzione della porosità.

I valori di resistenza a compressione uniassiale sono stati determinati portando a rottura

provini cilindrici sottoposti ad una carico assiale. [ ]

[ ]

74,56 5,814

Compressione monoassiale - Porosità

100

(MPa)

f 90

σ

compressione 80

70

a

Resistenza 60 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

Porosità n(%)

Si nota come la resistenza a compressione uni assiale dipende dalla porosità: più il materiale è

poroso e meno è resistente. Esercitazione n.2

6. Rappresentazione di Deere – Miller.

Sull’abaco di Deere – Miller si individuano 2 punti (indicati in rosso), relativi agli unici 2

campioni dei quali si conosce il modulo di Young tangente.

In accordo con quanto proposto da Deere – Miller per le rocce metamorfiche, il marmo in

esame ricade in classe C, cioè roccia di resistenza media con valori di resistenza a

compressione uniassiale compresi tra 50 e 100 MPa.

7. Breve relazione delle caratteristiche del materiale roccioso.

Il campione di marmo toscano analizzato è caratterizzato da un peso dell’unità di volume

3 3

medio pari a = 26,16 kN/m , densità media = 2668 kg/m ed una porosità media n = 3,33%.

γ ρ

Il valore medio della velocità longitudinale v fornisce un’indicazione sulla qualità del materiale

P

roccioso e vale, in condizioni asciutte, v = 3381 m/s; mentre in condizioni sature v =

p(dry) p(sat)

5841 m/s.

Per quanto riguarda la resistenza a compressione monoassiale si è ottenuto un valore medio

pari a = 74,56 MPa.

σ

f

Infine, sfruttando la classifica di Deere – Miller, si è classificato il marmo come roccia di

classe C (resistenza a compressione media), diagrammando le coppie di punti – E , .

σ

f t 50

Esercitazione n.3

Stima dell’RMR

La stima dell’RMR consiste nel determinare 5 indici + 1 parametro correttivo, secondo la

classifica RMR89.

Si utilizzano le tabelle di seguito riportate.

1) La resistenza a compressione uniassiale data, pari a 110 MPa, ricade nella classe

compresa tra 250-100 MPa. Pertanto si assume un valore pari a 12.

2) L’RQD dato, pari al 63%, ricade nella classe compresa tra 75-60. Pertanto si assume un

valore pari a 13.

3) Per la valutazione della spaziatura media è stato fornito un grafico che permette di

stimare tenendo conto dei 3 valori di spaziatura (uno per ogni famiglia).

Entrando nel grafico con i valori di spaziatura minima e media si individua un punto, che

viene proiettato sulla diagonale principale. La retta orizzontale passante per il punto

interseca la verticale passante per il valore si spaziatura massima, fornendo il valore di

spaziatura media. Questo valore deve essere scalato di 2/3 dato che il grafico è

impostato su un valore massimo di 30, mentre la classifica RMR si basa su un valore

massimo di 20. Esercitazione n.3

Pertanto il valore assunto è: 11 ∙ = 7,33

4) Per valutare la condizione delle discontinuità si fa riferimento alla tabella di seguito

riportata, valutando un indice per ogni famiglia di discontinuità.

Fam. 1

Circa la lunghezza delle discontinuità non si hanno informazioni, si assume un

 valore intermedio pari a 3.

L’apertura è almeno pari a 1mm (in quanto il materiale di riempimento è presente

 nella misura di 1mm ed occlude completamente la fessura). Si ricade quindi a

cavallo di due intervalli, tra 4-1 con valore pari a 4 e tra 1-5 con valore pari a 1.

Si prende un valore intermedio pari a 2.

La scabrezza è definita come liscia, con valore pari a 1.

 Lo spessore del riempimento è di 1mm, si ricade quindi nella classe <5, con un

 valore pari a 2.

L’alterazione delle pareti non è stata specificata. Considerando che per le altre

 due famiglie è riportata invece l’indicazione, si ritiene ragionevole assumere che

l’omissione è dovuta all’assenza di alterazione: si assume un valore pari a 6.

L’indice totale per la famiglia 1 è 14.

Fam. 2 e 3

Circa la lunghezza delle discontinuità non si hanno informazioni, si assume un

 valore intermedio pari a 3.

L’apertura è almeno pari a 2mm. Si ricade quindi nella classe compresa tra 1-5,

 con valore pari a 1.

La scabrezza è definita come scabra, con valore pari a 3.

 Esercitazione n.3

L’apertura è di 2mm con materiale di riempimento attritivo che occlude

 parzialmente la fessura. Si ricade quindi nella classe <5, con un valore pari a 4.

L’alterazione è definita come parziale. Si assume quindi un valore pari a 3.

L’indice totale per le famiglie 2 e 3 è 14.

L’indice medio riguardante le condizioni delle discontinuità delle 3 famiglie è quindi

assunto pari a 14.

5) La valutazione delle condizioni idrauliche non prende in considerazione i dati relativi

all’afflusso d’acqua in galleria né delle condizioni delle pareti, in quanto non si hanno

informazioni in merito.

Si valuta invece il rapporto tra la pressione d’acqua e lo sforzo principale verticale.

Considerando che la falda è a 50m dal piano campagna, la colonna d’acqua da

considerare è:

(150 50)

= − ∙ = 100 ∙ 10 = 1000

= ∙ = 27 ∙ 150 ≅ 4000

Il valore rientra nella classe compresa tra 0,2-0,5 a cui

⟹ = = 0,25 ⟹

corrisponde un valore pari a 4.

L’RMR intrinseco è dato dalla somma dei 5 indici: 12 + 13 + 7,33 + 14 + 4 = 50,33

A questo punto si valuta il parametro correttivo che tiene conto della

favorevole/sfavorevole inclinazione dell’opera rispetto alla discontinuità.

Si rappresenta sul reticolo stereografico la giacitura del fronte della galleria: rispetto

al Nord l’inclinazione è di 10° e direzione ortogonale all’asse della galleria.

La rappresentazione delle ciclografie delle 3 famiglie si effettua come di consueto e si

valutano le immersioni rispetto all’asse della galleria.

Esercitazione n.3

Fam. 1

La ciclografia immerge in direzione opposta al Nord (direzione di avanzamento). Dalla

tabella si ricava, per un inclinazione di 40° ed un’immersione contro l’avanzamento, il

fattore correttivo pari a -10.

Fam. 2

La ciclografia immerge in accordo con la direzione del Nord (direzione di avanzamento).

Dalla tabella si ricava, per un inclinazione di 35° ed un’immersione verso l’avanzamento,

il fattore correttivo pari a -2.

Fam. 3

La ciclografia è circa parallela alla direzione del Nord (direzione di avanzamento). Dalla

tabella si ricava, per un inclinazione di 65° ed direzione parallela all’asse, il fattore

correttivo pari a -12.

Si effettua una media pesata (sulla spaziatura) dei 3 valori ottenuti, ottenendo il

fattore correttivo medio:

(1 0,5) (1 0,8) (1 0,8)

−10 ∙ − + −2 ∙ − + −12 ∙ − = −8,67

0,5 + 0,2 + 0,2

L’RMR totale è dato dall’RMR intrinseco tenuto conto del fattore correttivo:

50,33 − 8,67 = 41,66

Dalle classi di qualità della roccia, sulla base della classifica RMR, si determina che

l’ammasso roccioso ha qualità discreta tendente allo scadente.

Esercitazione n.3

Tempo di autosostentamento

Entrando nel grafico suggerito da Bieniawski con la larghezza della galleria non sostenuta

(diametro della galleria) e l’RMR appena calcolato, si determina il tempo di autosostentamento,

che risulta essere inferiore al giorno: nell’arco di qualche ora si deve stabilizzare il cavo della

galleria.

Stima del GSI

Per la stima del GSI si fa riferimento alla tabella proposta da Hoek di seguito riportata.

Esercitazione n.3

1) L’indice relativo alla resistenza a compressione uni assiale non cambia rispetto alla

classifica RMR. Il valore adottato è pari a 12.

2) L’indice relativo all’RQD non cambia rispetto alla classifica RMR. Il valore adottato è

pari a 13.

3) L’indice relativo alla spaziatura media è lo stesso individuato precedentemente, ma

senza applicare il valore di scalatura in quanto la presente tabella e quella usata per

ricavare la spaziatura media hanno entrambe valore massimo di 30. Il valore adottato è

pari a 11.

4) L’indice relativo alle condizioni delle discontinuità, in questo caso, è lo stesso

individuato precedentemente, ma scalato di 25/30, in quanto la presente tabella si

basa su un valore massimo di 25 e quella usata nella classifica RMR considerava un

valore massimo di 30. Il valore adottato è pari a 14(5/6) = 11,67.

5) L’indice relativo alle condizioni idrauliche è assunto pari a 10.

Sommando i 5 indici si ottiene: GSI = 57,67, corrispondente ad un ammasso roccioso discreto.

I valori ottenuti dalle due classifiche sono leggermente diversi, con GSI > RMR, perché la

classifica GSI tiene conto solo delle caratteristiche intrinseche dell’ammasso roccioso e non,

per esempio, della presenza dell’acqua o di come sono orientate le discontinuità. Di questi

aspetti si dovrà tenere conto nella fase di calcolo.

Esercitazione n. 4

i risultati delle prove uniassiali e triassiali nel piano σ σ

1. Rappresentare -

1 3

Le 11 prove uniassiali si collocano sull’asse delle ordinate (in quanto caratterizzate da σ = 0),

3

mentre le restanti prove triassiali si collocano nel piano σ - σ .

1 3

Effettuando una regressione lineare dei dati sperimentali e visualizzandone l’equazione si

ricavano i parametri di resistenza nel piano σ - σ :

1 3

σ = 76,6 MPa

f

N = 3,52 Prove uniax e triax - piano σ -σ

1 3

200

175

150

(MPa) 125 Dati sperimentali

100

75

1

σ 50 Lineare (Dati

25 sperimentali)

0 y = 3,5164x + 76,627

0 10 20 30 40 R² = 0,9641

σ (MPa)

3

2. Determinare i parametri di coesione ed angolo di attrito (legge di resistenza di

Mohr-Coulomb); la resistenza uniassiale e la resistenza a trazione stimate sulla

base del criterio; la resistenza a trazione sulla base del ‘tensile cut-off’; la

resistenza a trazione sulla base delle prove di trazione indiretta.

Per determinare i parametri di resistenza secondo il criterio di Mohr-Coulomb, si utilizzano le

formule: ( ) ,

= = 34° = = 20.4

( ) ∗

La resistenza uniassiale risulta essere: = 76,6

La resistenza a trazione stimata sulla base del criterio di Mohr-Coulomb è pari a:

= = 30.4

La resistenza a trazione stimata sulla base del criterio “tensile cut-off” è pari a:

= = 10.2 Esercitazione n. 4

La resistenza a trazione stimata a partire dai risultati sui dati sperimentali (prova Brasiliana) è

pari alla media dei due valori, cioè: = 3.9

Risulta evidente come il criterio di Mohr-Coulomb sovrastimi la resistenza a trazione che, nel caso

in esame, risulta essere ben 10 volte il valore ottenuto dalle prove Brasiliane. Con il “tensile cut-

off”, invece, la resistenza a trazione è dello stesso ordine di grandezza del valore ottenuto dalle

prove sperimentali.

3. Rappresentare l’andamento del criterio di resistenza nel piano -

 

1 3

(unitamente ai punti sperimentali) e nel piano - .

 

n

Criterio M-C - piano σ -σ

1 3

200

175

150

125

(MPa) 100 Dati sperimentali

1

σ 75 M-C

50

25

0 0 10 20 30 40

σ (MPa)

3

Criterio M-C e tensile cut-off

piano τ-σ n

60

50

40

(MPa) 30 M-C

τ 20 Tensile cut-off

10

0

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60

σ (MPa)

n

Esercitazione n. 4

4. Determinare i parametri m e (legge di resistenza di Hoek-Brown); la

i ci

resistenza uniassiale e la resistenza a trazione stimate sulla base del criterio.

Al fine di determinare i parametri di resistenza secondo il criterio di Hoek-Brown si effettua una

2

linearizzazione del criterio stesso, rappresentandone l’andamento sul piano (σ -σ ) - σ .

1 3 3

ci2

Dalla retta di regressione si ottengono i parametri = 5580,2 ed m = 548,6 e quindi si

 

i ci

ricavano: = 74.7 MPa ; m = 7.34

ci i

La resistenza uniassiale è pari a = 74.7 MPa; mentre la resistenza a trazione secondo il criterio

ci

di Hoek-Brown risulta essere: .

= = 10.17

E’ evidente come il criterio di Hoek-Brown stimi al meglio la resistenza a trazione del materiale

roccioso, essendo un criterio non lineare.

Criterio H-B linearizzato

30000

25000

20000

2

)

3 15000

-σ Criterio H-B

1

(σ 10000 Lineare (Criterio H-B)

5000 y = 548,6x + 5580,2

R² = 0,9502

0 0 10 20 30 40

σ (MPa)

3

5. rappresentare l’andamento del criterio di resistenza nel piano -

 

1 3

(unitamente ai punti sperimentali).

Criteri di M-C ed H-B

300

250

200

(MPa) 150 M-C

H-B

100

1

σ Punti sperimentali

50

0

-20 -10 0 10 20 30 40 50 60

-50 σ (MPa)

3

Esercitazione n. 4

6. diagrammare gli andamenti delle deformazioni medie assiali e radiali della prova

“NUOVA PROVA 1” in relazione alla tensione assiale applicata e calcolare i

moduli di Young tangente (Et,50) e secante (Es,50) in corrispondenza del 50%

del carico di rottura.

Deformazioni assiali e radiali

σ (MPa)

a

70

60

50

40 Deformazione assiale

30 Deformazione radiale

20 ε , ε

10 a r

0

-7500 -5000 -2500 0 2500 5000

-10

Per determinare il modulo elastico secante in corrispondenza del 50% del carico di rottura, si

considera la σ relativa al campione “nuova prova 1” (σ = 61.7 MPa) e, in corrispondenza del valore

f f

al 50% pari a 30.85 MPa, si calcola la pendenza della curva rispetto all’origine secondo la formula:

.

, % .

= = = 23.4

, , %

Per il calcolo del modulo elastico tangente in corrispondenza del 50% del carico di rottura, si

considerano due valori di tensione e di deformazione presi 10 punti prima e 10 punti dopo rispetto

alla deformazione σ , calcolando la pendenza della curva secondo la formula:

f

. . .

= = 48.4

, 7. calcolare i moduli di Young tangente (E ) e secante (E ) ed il modulo di Poisson

t s

( ) durante tutto il percorso deformativo della prova. Diagrammare infine

l’andamento di E , E e con la tensione assiale.

t s

Per il calcolo del modulo di Young tangente si è applicata la formula vista prima, iterata però tra

due punti successivi, per tutti i valori sperimentali.

Allo stesso modo per il modulo di Young secante, si è calcolata la pendenza di ogni punto rispetto

all’origine.

Per il calcolo del modulo di Poisson, invece, si è applicata la formula .

= −

Esercitazione n. 4

I diagrammi seguenti riportano l’andamento dei 3 moduli durante il percorso deformativo.

Modulo tangente

70

60

50

(MPa) 40

30

a

σ 20

10

0 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000

E (MPa)

t

Modulo secante

70

60

50

(MPa) 40

30

a

σ 20

10

0 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

E (MPa)

s

Modulo di Poisson

70

60

50

(MPa) 40

30

a

σ 20

10

0 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

ν

Esercitazione n. 4

Assumendo un valore dell’indice GSI pari a 55 e di D = 0.5, si richiede di:

8. determinare il criterio di resistenza dell’ammasso secondo Hoek-Brown.

Il criterio di resistenza dell’ammasso roccioso secondo il criterio di Hoek-Brown è dato dalla

relazione: .

= + ( )

I parametri m , s, a sono calcolati come segue:

b − 100

= ∗ exp ( )

28 − 14

− 100

= exp 9 − 3

1 1 20

= + ∗ exp − − exp −

2 6 15 3

Criterio H-B - Ammasso Roccioso

120

100

80

(MPa) 60

1

σ 40

20

0

-10 0 10 20 30 40 50 60

σ (MPa)

3


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria civile
SSD:
Università: Bologna - Unibo
A.A.: 2015-2016

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher ellis_c di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Opere in sotterraneo e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Bologna - Unibo o del prof Boldini Daniela.

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