Esercitazioni Matematica per l'economia

Prova scritta di Matematica per l'Economia e Matematica Generale - 9 settembre 2015

NUMERI PARI

1. Risolvere il seguente integrale:
   1. ^√π∫₀ x⁵sen x²dx.

   (Sugg. Si ponga x² = t e poi si integri per parti)

2. Calcolare il seguente limite:

   lim_x→0 log(1 + sen²x)/x(e^x - 1).

3. Studiare la seguente funzione

   f(x) = (x - 2)/2 ^3/4

   e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l'equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x₀ = 1.

4. Dire per quali valori di x e b la funzione g: R→R, definita ponendo

g(x) = {ax³ + bx² - x + 1, se x < 1, log x² + x - e, se x ≥ 1

soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo [0,e].

5. Enunciare i teoremi di Torricelli-Barrow e della regola di De l'Hospital e utilizzarli per calcolare il seguente limite:

lim_x→0 ∫^x₀ 1 - cos t dt / x³.

6. Data la funzione

f(x,y) = (x + 1)(y² - 4),

determinarne il dominio, calcolare le derivate parziali prime e seconde e dire se f è differenziabile, giustificando esaurientemente la risposta; individuare, infine, gli eventuali punti di estremo locale.

1^o)

∫₀^√2π x⁵ senx² dx

∫₀^√2π (sen x² - x² cos x²) dx

= ∫₀^√2π sen x² dx - ∫₀^√2π x² cos x² dx

= [∫₀^√2π 1+cosx²] dx

= [x + senx x]^√2π₀ - x² sen x² dx

= 2π² + [−2π² sen x²] - ex senx² dx

= −2π² + [cos x²]₀^√2π = −2π²

L'integrale può essere risolto anche ponendo x^3/2 = t e procedendo con

l'integrazione per parti

x^2t dx = 1^2√t

∫ x⁵ sen x² dx = ∫ t^3/2√t sen t * 1/2√t dt = ------

2^o)

lim_x→0 log(1+sen²x)= 1 poiché

lim_x→0 x tgx (e^tgx −1)

log(1+sen²x) ~= sen²x² per x→0

e^tgx − 1 ~= tgx ~= x per x→0

Quindi

lim_x→0 log(e^tgx-1) = lim_x→0 x²/x² = 1

Prova scritta di Matematica per l'Economia e Matematica Generale - 9 settembre 2015

NUMERI DISPARI

***************

1. Risolvere il seguente integrale:
   • ^√π∫₀ x⁵ cos x² dx.

   (Sugg: Si ponga x² = t e poi si integri per parti)

2. Calcolare il seguente limite:
   • lim_z→0 ^{arctg(ez - 1) - senz}/_{log(1 - 3z²)}.
3. Studiare la seguente funzione
   • f(x) = ^{3 - x/₃}/_e^½

   e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l'equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x₀ = 1.

4. Dire per quali valori di a e b la funzione g : R → R, definita ponendo
   • g(x) = { ^{ax3 + b2 - x + 1}/_{√2x - 1 + x - e,} se x < 1,
   • se x ≥ 1

   soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo [0,e].

5. Enunciare i teoremi di Torricelli-Barrow e della regola di De l'Hospital e utilizzarli per calcolare il seguente limite:
   • lim_x→0 ^{∫x₀ tg(t3) dt}/_x⁴.
6. Data la funzione
   • f(x, y) = (x² - 4)(y + 1),

   determinarne il dominio, calcolare le derivate parziali prime e seconde e dire se f è differenziabile, giustificando esaurientemente la risposta; individuare, infine, gli eventuali punti di estremo locale.

7. ^bis. (Riservato agli studenti il cui programma di riferimento non prevede lo studio di funzioni reali di due variabili reali)
   • Dare la definizione di funzione continua in un punto e in un intervallo; illustrare, quindi, i casi di non continuità (in un punto), definendo i diversi punti di discontinuità anche tramite opportuni esempi. Enunciare, infine, e dimostrare un teorema a scelta sulle funzioni continue.