Esercitazioni di Matematica per l'economia

Prova scritta di Matematica per l’Economia e Matematica Gen.le

N.C.M. (gruppo L-Z) - 11 Febbraio 2015

NUMERI PARI

1. Data la funzione f(x) = _{log(sqrt(x+2))}/_sqrt(x) determinare
   • il dominio di f e giustificare l’esistenza di almeno una primitiva di f(x) in I;
   • l’insieme delle primitive di f in I;
   • l’area del rettangolo relativo ad f di base [1,4]
2. Calcolare il seguente limite:

   lim_x→0 e^-x(f(x))_{arcsen^-1(g²(x))+g²(x)}

3. Studiare la seguente funzione: f(x) = log_x(^2x⁄_x²+3) e tracciare approssimativamente il grafico.

   Determinare, inoltre, l’equazione della retta tangente al grafico in (1,^1-log₂⁄₂).

4. Data la funzione g: [-π,π] → R definita ponendo
   • g(x) = cos(x) -π ≤ x ≤ 0
   • g(x) = sin(x) - k 0 < x ≤ π
   1. determinare k e fare sì che g(x) sia continua in [-π,π];
   2. verificare, che per il valore di k determinato al punto a., la restrizione g a [-π,0] soddisfa in il teorema degli zeri esplicitando, inoltre, la tesi nel caso in questione;
   3. per il valore di k determinato al punto a. calcolare la derivata di g studiando gli eventuali punti angolosi e cuspidi. Verificare quale delle restrizioni di g a [-π,0], [0,π] soddisfano le ipotesi dei teoremi di Rolle e di Lagrange, ricavando in tale caso la tesi.
5. Data h: [-1,0] → R definita ponendo
   • h(x) = (^ex+1⁄_x²) -1 -1 ≤ x < 0
   • h(x) = -1 x = 0
   1. verificare che h è integrabile secondo Riemann in [-1,0] e provare che h(x) soddisfa le ipotesi del teorema della media integrale e del teorema di Weierstrass esplicitando in entrambi i casi le tesi dei suddetti teoremi;
   2. considerare la funzione integrale di h(x), H_h(x) = ∫₁⁰h(t)dt in [-1,0] e giustificare che tale funzione H₁(x) è una primitiva di h(x) deducendo la monotonia di H₁(x), i punti di estremo assoluto e la convessità o concavità e gli eventuali punti di flesso di H₁(x).
6. Data la funzione f(x,y) = 3x³ - 4y⁴ - 3x² + 2y² determinare il dominio di f(x,y); calcolare le derivate parziali prime e seconde giustificando l’eventuale differenziabilità di f.

   Individuare infine gli eventuali punti di estremo locale.

7. Enunciare la definizione di estremo locale e dimostrare il teorema di Fermat.