Esercitazioni di Idrologia ed Infrastrutture Idrauliche

Idrologia ed infrastrutture idrauliche

Esercitazione 1: Idrostatica e calcolo della spinta

Esercizio 1: Calcolo della spinta su una superficie piana verticale

Calcolare la spinta sulla parete verticale di un recipiente parallelepipedo contenente acqua (γ = 9810 N/m³) per un’altezza h = 1,5 m e di larghezza b = 2 m.

Dati:
γ = 9810 [N/m]
h = 1.5 [m]
b = 2 [m]

La spinta su una superficie piana è diretta normalmente alla superficie stessa con modulo pari al prodotto della pressione nel suo baricentro per l’area della superficie, ovvero: S = γ * h₀ * A = p₀ * A, dove: h₀ è l’affondamento del baricentro rispetto al piano dei carichi idrostatici (h₀ = h/2).

A = 3 [m²]
h₀ = 0.75 [m]
p₀ = 7357.5 [N/m²]
S = 22072.5 [N]

Resta ancora da individuare il punto di applicazione della spinta, il centro di spinta. Si può affermare che l’asse delle x è di simmetria per la superficie A, quindi η = 0. La coordinata ξ si calcola uguagliando il momento risultante con l’integrale del momento della spinta elementare rispetto all’asse x: S * ξ = γ * senα * I, dove: I è il momento d’inerzia della sezione pari a I = (b * h³)/12 (considerando assi baricentrici).

Si ricava inoltre che: S = γ * M * senα dove: M è il momento statico di A rispetto alla retta di sponda pari a M = x₀ * A.

Si ottiene quindi: ξ = I/M
I = 0.56 [m⁴]
M = 2.25 [m³]
ξ = 0.25 [m]

Esercizio 2: Calcolo della spinta su una parete piana inclinata

Calcolare il peso G della paratoia rettangolare incernierata in C e larga b = 1 m affinché rimanga in equilibrio nella posizione indicata in figura (inclinata di α = 45° rispetto all’orizzontale) considerando un tirante idrico h = 1,2 m.

Dati:
γ = 9.81 [kN/m³]
h = 1.2 [m]
b = 1 [m]
α = 0.79 [rad]

Come l’esercizio 1, si calcola il valore della spinta esercitata dal fluido sulla parete inclinata mediante la seguente relazione: S = γ * h₀ * A = p₀ * A dove: A = CR * b

CR = 1.7 [m]
x₀ = 0.85 [m]
A = 1.7 [m²]
h₀ = 0.6 [m]
p₀ = 5.8 [m]
S = 9.99 [m]

Anche per le coordinate del centro di spinta sono valide le considerazioni dell’esercizio precedente: I = (b * CR³)/12; M = x₀ * A; ξ = I/M

I = 0.41 [m⁴]
M = 1.44 [m³]
ξ = 0.28 [m]

Infine, per il calcolo del peso si ha: Sy = Sx = 7.06 [kN]
b = 0.6 [m]
G = b * 0.4 [m]
SG = 9.42 [kN]

Esercizio 3: Calcolo della spinta su una superficie curva

Calcolare la spinta dell’acqua sulla paratoia cilindrica di raggio r = 0,5 m e larga L = 4 m.

Dati:
γ = 9.81 [kN/m²]
r = 0.5 [m]
L = 4 [m]
BE = h = 1 [m]

Si deve calcolare la spinta lungo una superficie curva. Si prende come volume di controllo il semi-cilindro ABC. Poiché la superficie curva rivolge la convessità verso il fluido, il volume isolato con la superficie piana non contiene in realtà fluido; possiamo però immaginare di sostituire alla parete curva la parete piana e di riempire il volume di fluido. Con questa sostituzione non cambiano ovviamente le condizioni di equilibrio del fluido e per il volume racchiuso fra la superficie curva e piana vale la seguente relazione: G + Π₀ + Π₁ = 0 dove: Π₀ è la spinta che la superficie curva esercita sul volume sopra definito; Π₁ è la spinta della superficie piana sul volume; G è la risultante delle forze di massa.

La spinta S che il fluido esercita sulla parete curva è proprio uguale a Π₀ e si ha perciò: S = Π₀ = -G - Π₁

La spinta S sulla porzione ABC viene calcolata mediante le sue componenti verticale ed orizzontale (normale all’asse del cilindro). In questo caso è nulla la componente orizzontale diretta secondo le generatrici del cilindro.

La spinta S è pari a:
S₀ = 0.5 * γ * h² * L
La spinta verticale è uguale al peso del volume del semi-cilindro ABC:
S = γ * W_{v ABC}

A = 0.39 [m²]
S₀ = 19.62 [kN]
W semi-cilindro = 31.57 [m²]
S_z = 15.41 [kN]

Esercitazione 2: Richiami di idraulica applicata

Esercizio 1: Calcolo delle portate effluenti a luci a battente

I due serbatoi rappresentati in figura sono collegati da due luci circolari a spigolo vivo L1 e L2, entrambe di diametro D = 0.5 m, caratterizzate da un coefficiente di contrazione Cc = 0.61. Il serbatoio A è alimentato da una portata entrante costante QE, mentre dal serbatoio B defluisce una portata costante QU. In entrambi i serbatoi la superficie libera è a contatto con l’atmosfera e il suo livello rimane costante nel tempo.

• Calcolare la portata entrante e quella uscente, ipotizzando che i serbatoi siano in condizioni stazionarie.
• Ripetere il calcolo quando la superficie libera nel serbatoio B ha raggiunto il livello B’.

Dati:
h₁ = 3 [m]
h₂ = 2 [m]
D = 0.5 [m]
C_c = 0.61

Il primo punto riguarda una luce a battente rigurgitata in cui le portate effluenti delle luci dipendono solo dalla differenza fra i peli liberi nei due serbatoi A e B. Poiché nel sistema la portata in ingresso e quella in uscita sono costanti, i livelli nei due serbatoi si mantengono costanti nel tempo. Per la continuità della massa risulta che: Q_e = Q_u = Q₁ + Q₂

Dato che entrambe le luci L₁ e L₂ si trovano in condizioni di vena rigurgitata e sono delle stesse dimensioni, le portate effluenti delle due luci sono uguali:
Q₁ = Q₂

Applicando l’equazione di Bernoulli per il caso di luce a battente rigurgitata si possono calcolare le portate effluenti dalla luce a battente:
Q₁ = Q₂ = μ * A * sqrt(2 * g * h)
dove: μ è il coefficiente di efflusso ovvero il prodotto tra il coefficiente di contrazione C_c e il coefficiente di velocità C_v

H = 5 [m]
Q_a = 0.52 [m³/s]
Carico idraulico h₃ = 4 [m]
Q_b = 0.52 [m³/s]
Dislivello d = 1 [m]
Q_e = 1.04 [m³/s]
Coeff. Velocità C_v = 0.98
Coeff. Efflusso μ = 0.6

Nel secondo punto il serbatoio B ha raggiunto il punto B’, e quindi si passa ad un efflusso libero nell’atmosfera in cui l’affondamento h è dato dalla differenza di quota fra il pelo libero della superficie e il baricentro della luce. In questo caso le portate effluenti sono diverse poiché i loro baricentri si trovano a quote diverse, pur avendo le stesse dimensioni. La portata entrante è pari alla somma di Q₁ e di Q₂ e per il principio della conservazione della massa vale ancora Q_u = Q_e.

h₃ = 3 [m]
Q_a = 0.90 [m³/s]
Affondamento h₃ = 2 [m]
Q_b = 0.74 [m³/s]
Coeff. Velocità C_v = 0.98
Q_e = 1.64 [m³/s]
Coeff. Efflusso μ = 0.6

Esercizio 2: Regolazione di una paratoia

La paratoia piana di figura ha lo scopo di regolare la portata defluente in un canale rettangolare posto a valle di essa, avente larghezza B = 4m, uguale a quella della paratoia. Si consideri un coefficiente di contrazione per la paratoia pari a C_C= 0.65 e un carico a monte h_m = 3m. Determinare l’apertura a della paratoia tale che la portata defluente nel canale sia Q = 5 m³/s.

Dati:
h_m = 3 [m]
Q_e = 5 [m³/s]
B = 4 [m]
C_c = 0.65

È il caso di una luce a battente con vena parzialmente contratta in cui la portata in uscita dalla luce, come nell’esercizio precedente, dipende solo dalla differenza del pelo libero nel serbatoio di monte e di quello di nel canale a valle della luce. Poiché è nota la portata effluente ed incognita l’altezza della luce allora si deve risolvere la seguente equazione di efflusso: Q = μ * a * B * sqrt(2 * g * (h_m – C_C * a)) dove: a è l’altezza incognita della luce.

Per fare questo si utilizza la funzione “Ricerca obiettivo” di Excel.
Coeff. Velocità C_v = 0.98
Coeff. Efflusso μ = 0.64
a = 0.26
Q(a) = 5.00
F.O. = 0.00

Esercizio 3: Dimensionamento luce a stramazzo

La vasca A è alimentata da un canale C di larghezza B = 1m ed è allo stesso tempo in comunicazione con la vasca B attraverso una luce in parete sottile. La vasca B è a sua volta in comunicazione con l’atmosfera attraverso un tubo addizionale. Sia la luce tra le vasche A-B che il tubo in uscita dalla vasca hanno diametro D = 0.25m. Il carico h_m a monte dello stramazzo Bazin è, invece, pari a 0.25 m. Assumendo che il regime di moto è permanente, che la velocità nelle vasche sia trascurabile e che il livello nelle vasche resti costante, calcolare la portata effluente dallo stramazzo Bazin q_C, il carico h_B nella vasca B e il dislivello fra i peli liberi h_A e h_B nelle vasche A e B.

Dati:
h_m = 0.25 [m]
D = 0.25 [m]
B = 1 [m]
C_c = 0.61

In questo caso abbiamo una luce a stramazzo, luce a battente nullo; cioè luce in cui il contorno non sia completamente lambito dalla vena effluente. Lo stramazzo più diffuso è il cosiddetto stramazzo Bazin, rettangolare, con contrazione completa alla base e contrazione soppressa sui fianchi. I livelli nelle vasche A, B e nel canale C rimangono costanti per ipotesi, quindi la portata effluente dallo stramazzo Bazin q sia la stessa che fuoriesce dalla luce a parete sottile q_a e dal tubo addizionale q_b:

q_a = q_b = q_c

La portata richiesta si calcola applicando l’equazione di efflusso dello stramazzo a parete sottile del tipo Bazin:
Q = μ_s * (L + sqrt(2 * g * h_s)) dove: μ_s è il coefficiente di efflusso calcolato per via sperimentale ed è pari a μ_s = (2/3) * μ, con μ il coefficiente di efflusso da una luce a battente in parete sottile; h in questo caso è h_m.

Quindi, per lo stramazzo Bazin si ha:
C_v = 0.98
μ = 0.6
μ_s = 0.4
q_s = 0.22 [m]

Nota la portata effluente dallo stramazzo e, quindi, dalle portate successive, è possibile calcolare il carico nella vasca B utilizzando la legge di efflusso per luci a battente con tubo addizionale esterno, risolvendola rispetto all’affondamento h_B, ovvero:
Q = 0.8 * A * sqrt(2 * g * h_B)
C_v = 0.98
μ = 0.60

A = 0.05 [m²]
h_B = 1.63 [m]

Infine, è possibile calcolare il dislivello d fra i peli liberi delle due vasche A e B:
Q = μ * A * sqrt(2 * g * d)
C_v = 0.98
μ = 0.60

A = 0.05 [m²]
d = 2.84 [m]

Esercitazione 3: Correnti a superficie libera

Esercizio 1: Calcolo delle portate di moto uniforme

Parte 1

Calcolare le portate di moto uniforme transitanti nel canale a sezione composita di figura per intervalli di altezza della superficie libera variabili da un minimo di h₁ = 0.1 m fino al completo riempimento della sezione (h_r = 2.5 m). Si supponga che la larghezza della sezione rettangolare del canale sia pari a b = 3 m e la sua altezza sia α = 45°. L’altezza totale della sezione, valutata a partire dal fondo è h_R = 2.5 m. La pendenza longitudinale del canale è pari a i = 0.001. Per il calcolo della scabrezza si utilizzi la formula di Strinckler-Manning, con un valore del coefficiente di Strickler pari a K_s = 65.

Dati:
b = 3 [m]
α = 0.785398 [rad]
LG = 3 [m]
Sezione trapezia m = 1
B_min = 9 [m]
h = 2.5 [m]
Sezione composita K_s = 65 [m^1/3 s^-1]
i = 0.001

Le correnti a pelo libero sono caratterizzate dall’avere una parete della loro superficie di contorno, e precisamente quella superiore, non a contatto con una parete solida, ma con un gas, che nella più grande generalità dei casi è l’atmosfera. Finché il livello di h si mantiene inferiore o uguale all’altezza della sezione rettangolare del canale, la scala di deflusso può calcolarsi con le formule per la sezione rettangolare, ovvero:

AREA BAGNATA: A_b = h_i * B_i
CONTORNO BAGNATO: C_b = B + 2 * h_i
RAGGIO IDRAULICO: R_b = A_bi / C_bi
CHEZY: X = k_s * (R_bi)^1/6
PORTATA: Q = X * A_bi * (R_bi * i)
dove: i è la pendenza; x è un coefficiente (indice di scabrezza)

La formula della portata lega in modo univoco quest’ultima all’altezza h in condizioni di moto uniforme; la chiameremo “Scala delle portate”. Quando il livello di h supera l’altezza della sezione rettangolare del canale, si deve considerare anche l’area del trapezio, con le seguenti formule:

AREA BAGNATA: A_b = A_{b max(rettangolo)} + dh (b + h / m)
CONTORNO BAGNATO: C_b = C_{b max(rettangolo)} + 2 * L_g + 2 * dh * sqrt(1 + 1/m²)
Dove: A_{b max} e C_{b max} sono i valori massimi ottenuti a h = 1.5 m, b è la base minore del trapezio, m è la pendenza dei lati obliqui.

Scala di deflusso

h: 3.00, 2.50, 2.00, 1.50, 1.00, 0.50, 0.00

Q: 0.00, 5.00, 10.00, 15.00, 20.00, 25.00, 30.00, 35.00

Parte 2

Calcolare la scala di deflusso del collettore fognario a sezione circolare con diametro D = 0.5 m. La pendenza longitudinale del collettore pari a i = 0.001. Per il calcolo della scabrezza si utilizza la formula di Strickler-Manning, con un valore del coefficiente di Strincler pari a K_s = 65.

Dati:
D = 0.5 [m]
i = 0.001
K_s = 65 [m^1/3 s^-1]

Anche nel secondo caso si può calcolare la portata in moto uniforme con la “Scala delle portate” facendo sempre uso della formula di Chezy:

Q = X * A_bi * (R_bi * i)
Per procedere con il calcolo bisogna considerare anche le seguenti formule matematiche (formule caratteristiche delle sezioni circolari):

φ = arcos(1 - (2 * h)/D)
A = (r²/2) * (φ - sinφ)
C = r * φ
R = A/C

Si disegna infine la scala di deflusso del collettore fognario a sezione circolare riportando in ascissa i valori delle portate Q e in ordinata i valori delle h.

Scala di deflusso

h: 0.60, 0.50, 0.40, 0.30, 0.20, 0.10, 0.00

Q: 0.00, 0.02, 0.04, 0.06, 0.08, 0.10, 0.12

Esercizio 2: Passaggio della corrente attraverso una paratoia piana

Si consideri la situazione di figura (non recuperabile), in cui in un canale rettangolare di larghezza B = 3 m e pendenza longitudinale i_F = 0.0007 m/m viene inserita una paratoia di luce a = 0.5 m. Siano Q = 3 m³/s la portata transitante nel canale, C_c = 0.60 il coefficiente di contrazione della paratoia e k_s = 60 la scabrezza del canale. Determinare qualitativamente le condizioni e i profili di moto che si instaurano a monte e a valle della paratoia. Nel caso in cui si formasse un risalto idraulico, calcolarne le altezze di moto coniugate.

Dati:
B = 3 [m]
a = 0.4 [m]
C_c = 0.60
k = 60 [m^1/3 s^-1]
i = 0.0007
Q = 3 [m³/s]

Per studiare il possibile comportamento della corrente quando influenzata dalla presenza di una paratoia bisogna conoscere il tipo di alveo che si sta considerando: nel caso di un alveo a debole pendenza si verificherà un risalto a valle della paratoia, mentre nel caso di alveo a forte pendenza si avrà un risalto a monte della paratoia. Per capire in quale delle due situazioni precedenti ci troviamo bisogna calcolare l’altezza di moto uniforme (relativa ad una sezione a monte o a valle della paratoia, sufficientemente lontana da non essere influenzata dalla presenza della paratoia stessa) e confrontarla con quella critica k.

Si avranno, così, due casi:
- Se h₀ > k allora l’alveo è a debole pendenza;
- Se h₀ < k allora l’alveo è a forte pendenza.

Iniziamo con il calcolare l’altezza di moto uniforme per la sezione e la portata date mettendoci nella sezione di monte dove il moto è uniforme, ovvero dove non si sente ancora della paratoia. Per fare ciò usiamo la Funzione Obiettivo di Excel. Siamo in una sezione rettangolare in quanto B >> h quindi:

h₀ = 0.92 [m]
E = 0.98 [m]
A(h₀) = 2.75 [m²]
k = 0.65 [m]
C(h₀) = 4.83 [m]
R(h₀) = 0.57 [m]
χ(h₀) = 54.62 [m^1/3 s^-1]
Q₀(h₀) = 3.00 [m³/s]
F.O. = 0.00 [m³/s]

Si è trovato così che si tratta di un alveo a debole pendenza perché k < h₀.