Esercitazioni di Idrologia ed Infrastrutture Idrauliche

ESERCITAZIONE 11: PROPAGAZIONE DELLE PIENE

• ESERCIZIO 1: Modello cinematico

A partire dall'idrogramma fornito, relativo alle portate osservate nella sezione di monte di un tratto di alveo, risolvere il problema della propagazione dell'onda di piena utilizzando il metodo cinematico analitico; il tratto di alveo considerato è lungo complessivamente L = 10 km, si suggerisce una discretizzazione spaziale con ∆x = 1 km. La sezione ha una base costante B=60m, pendenza longitudinale costante i=0.001 e coefficiente di scabrezza di Gauckler Strickler ks=29. Si considerino come condizioni iniziali una portata costante.

• Risolvere il problema della propagazione di piena per il caso precedente utilizzando il metodo cinematico numerico.

DATI

Idrogramma x = 0 3Q [m /s] T [min]

0 50

10 50

20 70

30 90

40 110

50 130

60 150

70 170

80 150

90 130

100 110

110 90

120 70

130 50

Il modo di propagarsi delle onde di piena lungo le aste fluviali dipende dalle forze agenti (forza peso e resistenza al

moto dovuta alla scabrezza dell'alveo)e dalla geometria dell'alveo.

Esistono due forme limite in cui può propagarsi un'onda di piena: puratraslazione (l'idrogramma che si forma è lo stesso che trasla rigidamente pertutto il percorso, quindi mantiene la stessa forma) o di laminazione(l'idrogramma che si forma in una sezione a monte si presenta a valle con una forma schiacciata).

Grazie alle equazioni di De Saint Venant si può studiare il moto gradualmente variato nelle correnti a superficie libera. Infatti, queste descrivono come varia la portata e il battente idrico nello spazio e nel tempo sotto le ipotesi di corrente gradualmente variata, schema monodimensionale, pressioni idrostatiche sulla verticale, assenza di immissioni laterali, contorno bagnato indeformabile e sezione trasversale rettangolare.

Aggiungendo l'ulteriore ipotesi secondo cui la variazione del tirante idrico in x sia trascurabile rispetto a i e J, si ottiene un modello

semplificato dettomodello cinematico.

METODO CINEMATICO ANALITICO

Partendo dall'idrogramma delle portate osservate in una sezione a montedell'alveo si studia la propagazione dell'onda di piena.

La soluzione analitica è:

Quindi per risolvere il problema bisogna calcolare la celerità c (velocità con cuii valori della portata Q e dell'altezza h si propagano verso valle) e integrarenello spazio e nel tempo la portata.

la celerità definisce la velocità con la quale se ci si muovesse con questavelocità potremmo osservare la portata costante nel tempo. La celer dipendeda due parametri α e β che dipendono a loro volta dalle caratteristiche dellasezione, e si possono determinare con:

La celerità è proporzionale alla portata, segue che nello stesso idrogramma, avalori maggiori di portata corrisponde una più elevata velocità dipropagazione. Quindi l'onda non sta traslando rigidamente, il

fronte si stairripidendo: questo è fisicamente impossibile, al massimo il fronte può spanciare. Quindi ogni valore di portata osservato ha un valore di celerità con cui si propaga, se L è la distanza tra le sezioni di monte e quella di valle, allora la portata i-esima che si propaga con velocità ci raggiunge la sezione di valle dopo un tempo:

I tempi di propagazione dell'onda di piena nell'alveo:

L'onda si irripidisce, il colmo si sposta all'indietro, con un tratto ascendente più ripido e un tratto discendente con pendenza minore (il colmo di piena si presenta prima rispetto alla sezione di monte).

METODO CINEMATICO NUMERICO

Il metodo numerico risolve tramite le differenze finite le equazioni di continuità in una griglia spazio-tempo (questo è possibile solo se sono note le condizioni iniziali e al contorno).

La condizione iniziale è: Q (t = 0) = 50.

Le condizioni iniziali sono in i e in j

Come nel caso precedente

si calcola la celerità per ogni valore di portata, equindi i due parametri α e β: (i risultati sono ovviamente gli stessi del caso precedente: α = 2.72 ; β = 0.6)

Con la condizione di Courant si sceglie un Δt che garantisca la stabilità del metodo (la capacità di un algoritmo di convergere alla soluzione corretta): dalla condizione risulta Δt ≤ 3,48 minuti quindi si sceglie Δt = 2 minuti (ipotizzando che negli intervalli di 10 min c’è una variazione lineare della portata).

Ora si crea una tabella, che corrisponde alla griglia delle differenze finite (ogni cella è un nodo), che ci fornirà i valori delle portate nello spazio e nel tempo:

... Man mano che si procede verso valle, si osserva uno smussamento dell’idrogramma, che viene attenuato. Tuttavia questo è solo un artefatto numerico, non avviene nella realtà.

Il picco è ritardato rispetto a quello dell’idrogramma registrato

• ESERCIZIO 2: Metodo di Muskingum
• A partire dagli idrogrammi forniti relativi alle portate osservate nella sezione di monte (I) e nella sezione di valle (Q) di un tratto di alveo,

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stimare iparametri K, X del metodo di Muskingum per la propagazione delle piene.

• Supposto noto l'idrogramma delle portate osservate di monte (Ib),relativamente ad un altro evento di piena, utilizzare il metodo di Muskingumcon i parametri determinati in precedenza per valutare le portate in uscitadalla sezione di valle, ipotizzando di avere nota solo la prima osservazionenella sezione di valle.

Le ipotesi fondamentali per applicare il modello di Muskingum sono: alveoprismatico a sezione costante, pendenza del fondo costante; se il moto èpermanente allora il pelo libero è parallelo al fondo, invece se il moto è varioil pelo libero è rettilineo, ma non parallelo al fondo. Quindi in quest'ultimocaso tra la sezione di monte e quella di valle si ha del volume invasato, il qualepuò essere schematizzato come la somma di due volumi: un primo volumesempre positivo, costituito dal volume del solido compreso tra il contornodell'alveo e il

piano parallelo al fondo passante per il pelo libero nella sezione di valle; un secondo volume, positivo o negativo, pari al volume del solido compreso fra il piano parallelo al fondo e il profilo del pelo libero. Questo secondo volume sarà positivo nella prima fase dell'onda di piena, quando la pendenza del pelo libero è superiore a quella del fondo, e negativo nella seconda fase, quando avviene il contrario.

Siano Q1 e Q2 rispettivamente le portate defluenti dalla sezione di monte e di valle, allora i due volumi saranno proporzionali a Q1 e a Q1-Q2: quindi il volume invasato totale è la loro somma:

dove K è un coefficiente che dipende dall'alveo ed esprime il tempo che l'onda impiega per percorrere un tratto di alveo lungo ∆x e X è un coefficiente di peso, che solitamente si pone 0<X<0.5

Quindi il volume invasato nel tronco di alveo di lunghezza ∆x nell'intervallo di tempo ∆t è pari a:

o se calcolato con il metodo delle

differenze finite:

Eguagliando i due Δw si trova la portata in uscita Q2(t+Δt):

Quindi per risolvere il problema della propagazione dell’onda di piena bisogna stimare i due parametri K e X.

Note le portate nella sezione di monte e di valle:

In entrambi i metodi si calcola il volume invasato Δw (usando le formule precedenti) ipotizzando un primo valore per X e imponendo K=1. Si crea un grafico che ha in ordinata i valori di Δw trovati con il metodo delle differenze finite e in ascissa quelli del metodo classico, ora si fa variare la X fino a quando i punti graficati non sono pressoché allineati. Il coefficiente K sarà il coefficiente angolare della retta che interpola i punti allineati.

I punti si allineano per X= 0,2421. Dall’equazione della retta che interpola i punti K= 32236.

Infine si può calcolare il valore della portata uscente dalla sezione di chiusura:

ESERCITAZIONE 12: VALUTAZIONE DELLE PIENE IN BACINI NON STRUMENTATI

• ESERCIZIO

1: Valutazione delle portate in bacini non strumentati

• Note le caratteristiche morfometriche e climatiche di un piccolo bacino non strumentato (tabella 1), calcolare le portate al colmo di piena per i tempi di ritorno pari a 5, 10, 20, 50, 100, 200 e 500 anni utilizzando sia il metodo razionale che quello proposto dal SCS.
• Per entrambi i casi, si calcoli il tempo di corrivazione del bacino con le formule proposte da Kirpich, Ventura e Giandotti.
• Per la determinazione della pioggia di progetto si faccia riferimento alla legge a tre parametri, considerando che il parametro a segue la distribuzione di probabilità di Frechet.
• Per il calcolo delle portate di piena secondo il metodo del SCS, calcolare le perdite per infiltrazione con il metodo del Curve Number.
• Si costruiscano gli idrogrammi di piena associati (per tutti i tempi di ritorno e tutti i tempi di corrivazione determinati): per il metodo razionale si consideri un idrogramma triangolare simmetrico (isoscele).

• Si calcolino, per tutti i tempi di ritorno e per tutti i tempi di corrivazione, i volumi sottesi ad ogni idrogramma determinato.
• Si trascuri il ragguaglio della precipitazione all'area.