Esercitazioni Fisica 2

Esercizi introduzione

Calcolare il flusso di una superficie

Calcolare il flusso di una superficie: ∯_S →V →dS = Φ_S

Da notare che, essendo S costante, il vettore →V ha tre componenti, nasce il prodotto scalare di →V tra le 3 componenti di ^n -> il risultato lo moltiplico per S.

Calcolare il flusso di un volume

Calcolare il flusso di un volume: ∭_U(div(→V))dV = Φ_S

Calcolo la divergenza dei vettori come ∇·→v e quindi come prodotto scalare -> (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) · (V_x, V_y, V_z) =(∂/∂x V_x + ∂/∂y V_y + ∂/∂z V_z) · V (se è costante) = Φ_S

Densità, continuità e flusso

Data la densità: calcolare il flusso uso la relazione di continuità: ∇·(ρ →v) = -∂ρ/∂t -> Φ_S = ∭_U(∂ρ/∂t)dV

• La divergenza del vettore densità di flusso -> dall'equazione di continuità (∇·→j) = -∂ρ/∂t

Dato densità e velocità: calcolare la divergenza del vettore densità di flusso: ∇·(ρ →v)

∇·→j : (jx, jy, jz)

• Calcolo il flusso uscente -> Φ_S = ∭_U(∂ρ/∂t)
• Stima la densità del gas ad un certo tempo: ρ₀ + ∂ρ/∂t t = ρ₀ - ∇·→v t.

Esercizi introduzione

Calcolare il flusso di una superficie

Calcolare il flusso di una superficie:

Da notare che, essendo S costante, il vettore →V ha tre componenti.

Faccio il prodotto scalare di →V per le 3 componenti di ^i → il risultato lo moltiplico per S.

Calcolare il flusso di un volume

Calcolare il flusso di un volume:

Calcoliamo la divergenza dei vettori come ∇→i e quindi come prodotto scalare (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) (Vx, Vy, Vz)= ∂/∂x Vx + ∂/∂y Vy + ∂/∂z Vz • V (se è costante) = Φ_S

Densità e relazioni di continuità

Data la densità:

Calcolare il flusso uso le relazioni di continuità: ∇(ρ →v )= -∂ρ/∂t → Φ_S = SSS(_{SS(S →v) dV}

• La divergenza del vettore densità di flusso → delle equazione di continuità ∇(ρ →v)= -∂/∂t

Dato densità e velocità:

Calcolare la divergenza del vettore densità di flusso: ∇ (S →j)

→ • ^i(X, Y, Z)

Idem il flusso uscendo;

Inserire le densità del gas ad un certo tempo:

S₀ + ΔS/Δt t = S₀ - ∇ S →v t (S)

Equazione differenziale esponenziale

Equazione differenziale esponenziale

s(t) = s(0) e^λt

→ Faccio l’inversa e trovo t

Calcolare la circolazione di una superficie su un piano

Calcolare la circolazione di una superficie su un piano

∮_C Â ̂ d = ∬_S (∇ ∧ Â) d

So che ∇ ∧ Â = | î ĵ ̂ | | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z | | A_x A_y A_z | = î ( ∂Az/∂y - ∂Ay/∂z )- ĵ ( ∂Az/∂x - ∂Ax/∂z )+ ̂ ( ∂Ay/∂x - ∂Ax/∂y )

Se la superficie è su xy allora ∮_C Â ̂ d = ∬_S ( ∂Az/∂x - ∂Ax/∂z ) dxdy

Se la superficie è su xz allora ∮_C Â ̂ d = ∬_S ( ∂Az/∂x - ∂Ax/∂z ) dxdz

Se la superficie è su yz allora ∮_C Â ̂ d = ∬_S ( ∂Az/∂y - ∂Ay/∂z ) dydz

Calcolare se la divergenza del rotore è nulla

Calcolare se la divergenza del rotore è nulla:

Devo calcolare div| î ĵ ̂ || ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z || A_x A_y A_z |= 0

Calcolare dove le componenti di un campo vettoriale hanno rotore diverso da 0

Calcolare dove le componenti di un campo vettoriale hanno rotore ≠ 0

Devo risolvere il campo vettoriale vedere come è definito e vedere dove conviene il campo, il rotore è ≠ 0

Calcolare dove la circolazione di un campo vettoriale è diversa da 0

Calcolare dove la circolazione di un campo vettoriale sono diverso da 0

Devo risolvere e porre dove le circolazioni rotore diverso da 0

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Gradiente nell'origine

Noto una certa proprietà in un punto come varia di valore calcolando approssimativamente il gradiente nell'origine.

Si ha che:

∇ = ( ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z )

Disegno su un piano XY i punti a cui si riferiscono i valori e valuto ogni ( ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z, come modulo