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RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI (slide 36, lezioni 23-24-25/09/2019)
1) per la parte intera:
0 0 = > 0
per la parte decimale:
- 0,1875
- 0,375
- 0,75
- 1,5
- 1
= > 0,0011
= > il numero 0,1875 si scrive 0,0011 infatti ho:
(0,2-3)(0,2-20.2-1+1 2-1-2) = 0,(1 1) = 0, (1/8,16 0,125 0,0625) = 0,1875
= > nella rappresentazione IEEE si scrive 1,1.2-3
2) per la parte intera:
- 32
- 2 1
- 1 6
per la parte decimale:
- 0,25
- 0,50
0
= > 0,01 = 0,2-1 + 4 2-2 0,25
= > il numero 37,25 si scrive 1,0010101, che nella rappresentazione IEEE diventa 4,0010101.25
3) per la parte intera:
- 128 0
- 64 0
- 32 0
- 16 0
- 8 0
- 4 0
- 2 0
- 1 0
= > 128 = 10000000
per la parte decimale:
- 0,000625
- 0,00125
- 0,0025
- 0,005
- 0,01
- 0,02
- 0,04
- 0,08
- 0,16
- 0,32
- 0,64
0,148
0,68
1,36
1,52
1,04
0,64
0 -> da qui torna periodico
=> 0,148 000625 = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4)
per la parte intera:
- 2 3
- 1 1
- 1
- 5
- 2
- 0
- 1
- 1
- 0
- 1
- 0
=> 23 = 1 0 1 1 12 :
= 24 + 22 + 21 :
-16 + 4 + 2 + 1 = 23
=> 23,375 = 1 0 1 1 1,0 1 1 0 1 12
per la parte decimale
- 0,375
- 0,75
- 1,5
- 1
- 1
- 0
=> 0,375 = 0,0 1 12 = 1 * 2 -2 + 1 * 2 -3 + 1 * (1 / 8) + 0,2510
+ 0,125 + 0,375
CONDIZIONAMENTO
(slide 92, lezioni 23-24-25/09/2019)
f(x) = 2x => f'(x) = 2 => C(x) = ∣ x ⋅ 2 / 2x ∣ = 1 => il problema è ben condizionato
f(x) = √x => f'(x) = 1 / 2 √x => C(x) = ∣ x ⋅ 1 / x / 2 √x / 1 √x ∣ => il problema è sempre ben condizionato
f(x) = mx => f'(x) = cos x => C(x) = ∣ cos x / mx x ∣ => il problema è mal condizionato se x = π / 11
f(x) = log(x) => f'(x) = 1 / x => C(x) = ∣ x ⋅ 1 / x ⋅ 4 / log x ⋅ 1 / log x ∣
=> se x = 1 è mal condizionato
se x = 0 è ben condizionato
f(x) = √x2 + x => f'(x) = ... 2 x / 2 √x2 + x => C(x) = ∣ x ⋅ ... (1 / x2 + 4 / √x2 + 1 / x √) √∣
=> C(x) = ∣x ...
=> è mal condizionato se x = 0
ben condizionato se x
Metodi di Linearizzazione (Slide 89, lezioni 01-02-07-08/10/19)
Esercizio 4.6
f(x,d) = d exx-x = 0; x ∈ [0.04, 1] d > 0
R(0.04,d) = d e0.004d - 1
R(1,d) = d e0
f'(x,d) = 21/2 [ e-x/sqrt(x) + ex/sqrt(x) ] - d ex/sqrt(x) [ x1/2 + 1 ]
=> per avere un'unica radice in I, siccome f'>0, allora devo avere R(0.04, d) < 0 e f(l, d) > 0, monotono.
d e-1 > 0 => d > 1/e
=> 1/e < d < 1e0.004/0.04
=> per applicare il metodo di Newton, devo avere f ∈ C2 e f"≠0 in I e f' soddisfa entrambe le condizioni.
x-1[ e-1/x - e1/x ] + d e1/x[ 1/x - 1 ]
f'(x)=d [ e-x/sqrt(x) + 1/sqrt(x) ] = f''(x) = d e[ -1/2sqrt(x) ] + de[ 1/2sqrt(x)] x ( 1/(2x) - 1/(2x)) [ 1/2sqrt(x)3/2 ] + de[ 1/2sqrt(x) x (1/2sqrt(x) - 1) ]
f''(x) è continuo ma si azzera per 4 x2+2x-1 > 0 anna
x1/2, 2 - < 4 vi + 4 / 2 - 72, 3 v2 = 74 ; 1 + 2 v2/2 = 12 ; 1 + 72 v2 è in I e
pertanto la convergenza non è garantita per ogni x0
Esercizio 1
g(ξ,ξ)1 . (ξ. - 1) esqrx = 0
I = [0.02, 0.07]
g(0.02ξ) = (ξ-1) e0.002 ξ0.01 -1 = 0
h'(y) = (ξ -1) e1/sqrt(3)
=> in base alla forma della funzione stessa, siccome ho che esqrt(1/x) < 1
allora devo avere che (ξ-1)< 1
φ₃(x) = 3⁄√6
⇒ φ₃(x) < 0 e quindi
⇒ φ₃(x) → 3⁄√8
→ dim I = [1,1.5]
φ₃(x) genera un procedimento iterativo convergente in I = [1,1.5]
→ mostra φ₃(x) ≠ 0 ∀ x ∈ I, quindi p = 1
quindi la convergenza non è monotona.
→ la costante di contrazione è k = 1⁄3maxx∈I|φ₃'(x)| = |φ₃'(1.5)| = 0,6363.
⇒ φ₂(x) converge più velocemente di φ₃(x).
esercizio (1,2.5)
p(x) = x + e-x In [1, +∞)
→ quindi φ'(x) < 0
⇒ φ''(x) < 0
→ inoltre x₀ = 1⁄2 log(2)
→ per I = (1,∞) ho che φ(I) ⊆I
esercizio 3)
Bx = ex ⇒ ex - Bx = 0
1) essendo ex > 0 ∀x∈ℝ, affinché esista almeno unaradice devo avere B > 0, inoltre
lim (Bxe-x) = ∞ (∞ se B > 0, ∞ se B < 0)x→∞
lim ........ (3_Bxe-x) = ∞x→-∞
⇒ si vede chiaramente che per B > 0, i grafici fx intersecano una sola voltamentre per B < 0, questo non si avvererà. Difatti:
d/dx (Bxe-x) = B + x ⋅ e-x = 0 ⇒ x = log(-B)
⇒ esiste un estremo f'x=0 solo se B < 0, e pertanto ciò è verificato.
2) per B = 1 ho x ⋅ e-x = φ(x) ⇒ f(x) => 0:
⇒ ma φ(x): we-xx ⇒ x ⇒ x(1+w) = wexx ⇒ x + wx = wex + xx ⇒ d(xe-x∀x∈I)
⇒ quindi x = f di iterazione di f(x), e quindi se converge, converge ad x*:
⇒ φ(0) = we-x < 0 e f(1) = 1 + 1 ⋅ x < 0 ⇒ prendendo I = [0, 1]
φ(x) = we-x + ........ φ'(x) = 1 - w ⋅ e-x)
⇒ devo verificare che | φ(x) | < 1 m∈I ;
1 + we-x < 1 + w ⇒ ⇒ w1.we-x > 0 ∀x∈I
⇒ devo verificare che φ(I)⊆I :
φ(x): we-x/(1+xw)
e = φt we-x + w = x < w. (e-λ) < 2 ∀x∈I ⇒ w(e-x, 1 ⋅ e-x)⇒ w.e-λλ ⋅ e-x < 0
⇒ devo verificare che φ(I)⊆I :
φ(1+w) = (1 + w ⋅ e-x) ⇒ 0 e-x + exx < ex
w2 <
xex ⇒ ...........
⇒ ...........
m⇒ ⇒ x ........
1 + mSp ...........
w ........... ex ⇒ ........... w)(}x e-x ⇒ we-x =
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