Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 2

POLITECNICO DI TORINO

Docenti:

Proff. Bernardino Chiaia, Giuseppe Ferro

Esercitazioni di

Scienza delle Costruzioni 2

2 Ottobre 2013

Avviso: esercitazioni del giovedì nel lab.

Metodo degli spostamenti

Iniziamo con un'introduzione inerente a un ripasso e confronto.

Metodo Forze

(Numero condizionale _(N-g)): grado di indeterminazione statica o iperstaticità.

Incognite:

• N-g reazioni vincolari
• ipercariche

Equazioni:

• Tra le N-g soluzioni staticamente equilibrate, si sceglie l'unica cinematicamente ammissibile.
• Si scrivono N-g equazioni di congruenza, duali delle reazioni vincolari incognite.

N.B.: Occorre conoscere gli spostamenti di alcuni schemi elementari isostatici per effetto di forze e coppie (trave doppiamente appoggiata)

Metodo Spostamenti

S: grado di indeterminazione cinematica.

Incognite:

• S spostamenti
• modali generalizzati (traslazioni e rotazioni) della struttura.

Equazioni:

• Tra le S soluzioni cinematicamente ammissibili, si sceglie l'unica equilibrata.
• Si scrivono S equazioni di equilibrio duali degli spostamenti nodali incogniti.

N.B.: Occorre conoscere le reazioni di alcuni schemi elementari cinematicamente determinati per effetto dei cedimenti vincolari (trave doppiamente incastrata).

M_i = -^6EI⁄_e²

M_j = -^6EI⁄_e²

T_i = ^12EI⁄_e³

T_j = -^12EI⁄_e³

Per caso trovare gli spostamenti flessionali

Per lo spostamento assiale

d²W⁄dz² = -^F⁄_EA

• <M>_i = ^EA⁄_l
• <M>_j = -^EA⁄_l

EI

1. • 4⁄e²
   • -6⁄e²
   • 0
   • 12⁄e³
2. • 1⁄e²
   • 0
   • 6⁄e²
   • 12⁄e³
3. 0
4. 0

N.B. ^[K] è simmetrica per Betti

Simoniamo: con cedimento interno del sistema

T_i(e) = V_i = H_i(b)⋅<Φ_i>

T_i(e)

K₁₂ = K₂₁

Qualizziamo

Equilibrio alle rotazione nel nodo B.

-^2EI⁄_l φ_B - ^4EI⁄_l φ_B - ^EI⁄_l φ_C - ^qℓ2⁄₃ = 0

φ_C = -φ_B

2EI φ_B

φ_B = -¹⁄₁₅ qℓ³

φ_C = ¹⁄₁₅ qℓ³

→ tratto AB

{Q} = [K]{δ}

M_A = M_i M_B = M_j Q_B = q_j

M_A = ^2EI⁄_l · φ_B = -²⁄₁₅ qℓ² orario

M_B = ^4EI⁄_l · φ_B = -⁴⁄₁₅ qℓ² orario

Mercoledì 9 Ottobre 2013

Scienza delle Costruzioni II

Esercitazione 3.

Telai a nodi fissi.

I nodi possono al massimo, ruotare.

Metodo dei telai = metodo delle forze

Si simulano gli incastri interni ed esterni con cerniere.

Es.

Incastro interno di continuità

f = 3

v = 5   (v - f ) = 2 x ip.

Struttura reticolare associata.

• Se essa è iperstatica o isostatica => il telaio è a nodi fissi.
• Se essa è labile => il telaio è a nodi spostabili.

N.B. Attenzione alle maldisposizione dei vincoli.

Equazioni di congruenza

• φ_AB = 0
• φ_BA = φ_BC

Inclinazione in B nel tratto AB.

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Schemas noted:

φ_A=^-qL3/_24EI

φ_A=^qL3/_24EI

φ_A^*=xL^*/_3EI

φ_B=-xL_/6EI

Treat A3:

• 9(L³) – ^xL/_3EI = -^xL/_3EI
• -xL^* = (x₁ + x₂)L/_3EI
• qL² = x₁ - x₂
• x₁ + x₂ = 0

x₁ = ²/₅ qL²

x₂ = -qL²/₅

• ^4ql/₅
• ²/₅ qL²
• qL²/₅
• qL²/₅
• qL²/₅

se ci fosse nodo

x

moq c'e il carico distribuito q - 2e q - 2e

Scienza delle Costruzioni II

16/10/2013

Esercitazione

Telai a Nodi Spostabili

I nodi ruotano e traslano. Da questo fatto seguono modifiche nelle equazioni risolventi (congruenza ed equilibrio).

γ = 6ν = 3 + 2 + 2 = 7

Riodianuo il metodo dei telai: ret. associata

Dallo schema a nodi bloccati (4) rianuano i componenti di

Dal cinematicismo (2) vediamo: il moto del telai e contributo di φ.

ν = 8

γ = 9

(1)

(2)

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Il metodo

Si basa sul fatto che la struttura (suolo escluso) è simmetrica soggetta a cedimento.

(a)

(b)

(c)

η_o/2

η_o/2

η_o/2

η_o/2

Come disegnato sopra la struttura (a) si può assimilare alla somma di due schemi (b) e (c) rispettivamente simmetrico e antisimmetrico.

Lo schema (c) causa solo moto rigido -> sollecitazioni nulle.

Lo schema (b) si riduce al telaio a nodi fissi (b¹).

b¹)

B x₁

l

C¹

−x₁l

−η_o 3E I

2E I

5 x₁l

6 E I = −η_o 2E I

x₁ = −η_o3 EI

A

m

η_o/2

e

2

E₁

B

C

A

3 I₃ E₁

e

Deformata termoelastica

36/23 ΔT_l

36/23 α ΔT_c

46/23 = 2α' ΔT_c

10/23 ΔT_l

Variazione termica differenziale

+ ΔT

e

e

- ΔT

e

+ ΔT

È simmetrica caricata antisimetricamente

+ ΔT

e

− ΔT

e

Schema bloccato

23/10/2013 Esercitazione di S.d.C. II

Es 1

È, infine, caricata antisimetricamente.

Schema e nodi bloccati

ret. associato

Cinematismo metodo delle catenarie invariabili:

PLV

S.O.

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