Esercitazioni Scienza delle Costruzioni

Esercizi per Edile/Architettura

Dal 2001/2007

Lenci Gennaio 2008

Esercizi del Foglio

Dimensionare le aste AC e BC. La loro sezione è quadrata di lato a.

• σ_T = 141,1 Kg mm^-2
• τ_C = 16 Kg mm^-2

Per avere l'equilibrio si devono invertire le frecce.

L'asta AC è compresso.

• σ_C = N = 1000x10√2 < 16 a x 2 2 x a
• a² = 10√2 = 883 mm² 16

a = 29,7 mm = 2,97 cm ≈ 3 cm

L'asta BC è teso.

• τ_T = N = 1000 . 10 < 141,1 = 7 09 ,2
• a² = 10 = 709 ,2 141,1
• a = 26,6 mm = 2,66 cm ≈ 3 cm

(7) Determinare la σ_mix

Determinato il baricentro per verificare se l'asta di flessione deviata è compressione o solamente compressione.

Y_G = 40·30·85 + 70·30·35 40·30 + 70·30 = 1020000 + 735000     = 175500      = 53,20 cm 3300                                           3300

X_G = 40·30·20 + 70·30·15 40·30 + 70·30 = 24000 + 31500     = 55500      = 16,82 cm 3300

σ_z = N  +  M_x · Y  +  M_y · X A      I_x     I_y

Dove N = 100000 Kg

A = 40·30 + 70·30 = 3300 cm²

M_x = 400000 · (100 - 53,20 - 15) = 100000 · 31,8 = 3180000 Kg·cm

I_x = 30·100³ + 10·30³          12        3 + 300 · (100 - 53,20 - 30)² = 2500000 + 20000 + 84672 = 26746472

Y_t= (53,20)    oppure    Y = 46,8

M_y = 100000 (16,82 - 10) = 100000·6,82 = 682000 Kg·cm

I_y = 30·10³ + 70·30³          12          42 = 160000 + 157500 = 317500 cm⁴

X=(16,82)    oppure    X = 23,18

σ_z(1) = 100000 + 3180000       - 53,20 - 682000          16,82   =   51,08 Kg/cm²          3300              26746472              317500

σ_z(2) = 100000 + 3180000       - 66,80 + 682000        23,18   =   133,14 Kg/cm²          3300              26746472          317500

La σ_z è maggiore nel punto esterno (2).

Capitolazione al momento nel tratto E-B

M(z₂) = X + (x - p/l)⁹/₂ (x + z₂) - pz₂ = -X * X * Xz₂ - p/l * z₂ - pz₂

M(z₂) = X - p/l * (x - 3p/l)²z₂

E₁ d_y₁(z₂) => X - p/l * (x - 3p/l)²z₂

E₁ dy₁(z₂) => X - p/l * z + (x - 3p/l) z₂ + c₁

E₃ M(z₂) => X + p/l * z₂ + (x - 3p/l) z₂ + z₂ + C₃ + C₄

Sappiamo che in E abbiamo questi vincoli:

y₁(p/l) - y₂(0) => C₄ - x(p/l)⁴(x - p/l)³ = 4 - 10x/l * p³

d_y₁/dz₁ = dy₂/dz₂ => C₃ - p/l + (x - p/l)² => C₂ - 6x/l - p²

Sappiamo che in B abbiamo questi vincoli:

y₁(p/l) => (x - p/l) p² + - (x - 3p/l) p³ - -> x - 10x² p³

y₂(p/l) => (x + p/l) / (x - 3p/l) (p³/p²) - (6x/l + p²) - 4

Quindi X = -10p/l /32 - 3/16 -> p⁴

Ora faccio la verifica con il teorema di Mohr

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5 α_px + 1,30 α_py = 0

-11,30 α_pz = 0

α_pz = 0

α_px = 0,252

α_py = 0,368

(^1,30⁄₅)² α_py² + α_py² = 1

Ora trovo la direzione principale (ortogonale a quest’ultima) relativa alla 2^a tensione principale: σ_p2.

-8 + 9,30   5   0   α_px   0

5   10 + 9,30   0   α_py   0

0   0   9,30   α_pz   0

5 α_px + 19,30 α_py + 0   α_px = 0

9,30 α_pz = 0

α_px = -^19,30⁄₅ α_py

α_px = -0,369

α_py = 0,251

α_p2 = 0

(15)

Calcolare il fattore di taglio X

Impostare la soluzione con il P.L.V.

n = 3 l = 9

V_e = 5 V_s = 5 V_l = 10

V-L = 1 è una volta iperstatica

ridisegniamo il sistema vero isostatico + di progetto

Struttura Equivalente

MA VA HA

Struttura Principale

VA HA H0 HD VD

Struttura di Servizio

ORA ANDIAMO A RISOLVERE LA STRUTTURA PRINCIPALE:

• VA + VB = 0
• HA + H0 - ph = 0
• CD VA l - ph² - ph²/2 = 0

da qui si ricava:

VA = ph²/2l

VD = -ph²/2l (cambio verso)

ora scomponiamo la struttura per trovare HA e HD.

Impostare la soluzione con il PLV.

n = 3   L = 9

V_e = 6   V_i = L   V = 10

V - L - 1 > 1 v.le iperstatico

Ridisegniamo il sistema isostatico con l'ipotesi

ANALIZZIAMO LA STRUTTURA PRINCIPALE

→ V_A + V_B - P_t + R_D / √2 = 0 → V_A = P_t

• → - R_D / √2 = 0 → R_D = 0
• C_Z V_B l = 0 → V_B = 0

Ora posso impostare il PLV.

Le = 1.8

L₁: 1/EA ∫₀¹(N'Nd + N'N d₂ + N'N d₃ + N'N d₄ + N'N d₅)

L₂: 1/EA ∫₀^l[⎯P/2√2 l + ⎯P/2√2 l + ⎯P/4 + P/4 + P/2√2 l]+ ...

Δ = 1/EA * P/2√2

Impostare la soluzione con il PLV.

n = 2L = 6V_E = 5V_I = 2V = 7V - l = 11 volta iperstatica.

Ridisegniamo la struttura evidenziando l'iperstaticità.

Str. equivalenteStr. principaleStr. Di servizio