Esercitazioni di Misure meccaniche e termiche

ESERCITAZIONE 1

13/3/14

STATISTICA - fenomeni aleatori (casuali) con condizioni iniziali uguali e finali diverse. Se risultati regolari si dice :

es. DADO 6 facce:

• prob. 1 = 1/6
• prob. 2 = 1/6
• prob. 1 o 4 = 2/6
• prob. 2 più di 4 = 0

X=1:

P(X=≤ 1) = 1/6

P((X=1) ∪ (X=2)) = P(1) + P(2)

= 2/6

Eventi favorevoli: E

Prob. ottenere evento favorevole: P

Eventi equi-probabili possibili: N

P(E) =

FUNZIONI STATISTICHE:

funz. densità di prob. DISCRETA

¹/₆

f_x(x) =     {       P(X=x_i)            &om; x=x_i      &barredO;       se x=x_i         &om; x≠x_i    }

x variabile casualex_j possibili eventi singoli

CUMULATA

F_x(x) =  j≤x f_x(x_j)

 j≤x f_x(x_j)

Valore Atteso:

E[X] = Σ_i x_i · f_X(x_i)

es. dado: E[X]=3,5

Varianza E Dev. St. :

Var[X] = Σ_i (x_i − E[X])² · f_X(x_i)

σ_X = √Var[X]

Prob. Su Variabili Continue:

P[^✖E/_✖N] = 1/∞ = 0

(modo errato)

M = n° osservazioni appartenenti all'intervallo (frequenze)

a = ampiezza intervalli

N = n° osservazioni totali

Se N = 100,000 :

f_X(x) = M / a · N

T-Student: osservazioni < 20

f(x | T)

M gradi libertà

per M → ∞ (n > 100)

T = N

Esistono tabelle su cui trovo dati tabulati:

1-2[1-F(z)]

F(z) = 0,975 → z = 1,96

es.:

• X: misura
• S: dev. st. delle misure
• ?: int. in cui cadono 95% misure

Intervallo (X - 2S, X + 2S) = (X - 1,96·S, X + 1,96·S)

ESERCITAZIONE:

es.1:

y(t) = ³/₂ + 2 cos (20πt + π/2) [volt]

ADC 12 bit

±0.1 V, ±2.5 V, ±5 V, ±10 V

1. F S ottimale - evitare aliasing e risoluzione grossolana

oscilla tra 3.5 e 0.5

scegliero' un F S

pari a ±5 V

(e non avrò questo

accetta scendo il valore medio)

2. ? = risoluzione convertitore

RLSB = FS / 2^b = 10 V / 2¹² = ? 4 mV

A_osc [m/s²] = A_spot [m/s²]

ESERCITAZIONE: Trasformata Fourier

numero punti N = T_acq f_camp

numero periodi C = T_acq f_s

step in freq. Δf = 1/T_acq

freq. Nyquist f_Ny = f_camp/2

interv. campion. Dt = 1/f_camp

leakage --> quando non compiono un numero intero di periodi

Es. 1: smorzamento

K = Uscita statica / Impresso = 3 mm / 3 mm = 1

f_am = f_n (ξ) quindi ξ = 1/2π i log (A_n/A_n+1)

Cerco un valore di confronto per verificare la misura.

d

M_F = F⋅l

E = mod. elastico (noto)

W = mod. resistenza a flessione = 1/6 ⋅ b ⋅ h²

E_FM = M_F ⋅ l

E ⋅ W E ⋅ 1/6 ⋅ b ⋅ h²

Attenzione: Ricerca incertezze

es:

F

? = F

L = 300 mm l = 100 mm

Dati: struttura acciaio → E = 206 GPa

sez. quadra

ta di ∅ = 0,3

20 mm (=b)

abbiamo i

E₀ = 10 V

R = 120 ± 0,5%

K = 2,0 ± 0,5%

B_x = 6.10^-6 °C^-1

K_Temp. effettio

interfer.

→ → condizioni

allocazione ponte Wheatstone e struttura

M_F

M_F → def. maggiori vicin

anza incarto (sol. migliore)

d (CL)

altro

1 3 2 4

E2: parole

disegnare nel dominio w modulo, fase + 90^o

w = 2πf

mod veloci

φ

f

φ

f

90

f

esercizio: dato un tavolo vibrante, ho:

v = 100 mm/s

s_max = 25 mm

f_min = 3 Hz

f_max = 200 Hz

Δs_fmin = v / 2πf_min = 100 / 2π・3 = 5,3 mm < D_max (fattibilità)

Δs_fmax = v / 2πf_max = 0,08 mm

ESERCITAZIONE:

12/06/14

es. 1:

τ = 30 s

T_infinito = 20°C

a).   t = 45 s

T(t) = 85°C

? = T_prima

T(t) - T_infinito

------------ = 1 - e^-t/τ

T_prima - T_infinito

→ T_prima =

T(t) - T_infinito

---------------- + T_infinito

1 - e^-t/τ

= 103.7°C

b). l'errore < 2°C?

(T(t^*) = T_prima - 2°C)

t^* = -τ log _e (

    T_prima - T(t^*)

--------------------

T_prima - T_infinito

) = 112 s

es. 2:

? = τ

ζ = log _e (

     T(t) - T_infinito

--------------------

T_prima - T_infinito

)

= -t/τ

→ τ = 1/m

Segue acc. dip. da contrazione

\[ \ddot{X} = \ddot{X}_1 + \ddot{X}_2 = 5,5 \, \text{m/s}^2 \] — pero numerare perché sono in fase

\[ \ddot{X} = \omega^2 X \Rightarrow \frac{\ddot{X}}{\omega^2} = \frac{5,5 \, \text{m/s}^2}{(2 \pi \cdot 5 \, \text{Hz})^2} = 5,5 \, \text{mm} \]

es. 2 del 05/06: processo aggiungendo un amplificatore

\[ R_s = 150 \, \text{k}\Omega \quad R_o = 350 \, \Omega \]

\[ V_m = 2 \, V \quad E_o = 10 \, V \]

\[ G = \frac{V_{mn}}{\Delta V} \quad \text{GUADAGNO} \]

? sbilanciamento di R_s:

\[ \Delta R = \frac{R_s \cdot R}{R_s + R} - R_o = -0,815 \, \Omega \]

\[ \Rightarrow \Delta V = \frac{E_o}{4} \frac{\Delta R}{R_s} = -5,821 \, \text{mV} \quad \Rightarrow \quad G = \frac{V_{mn}}{\Delta V} = -343,6 \]

quindi nuovo sens.:

\[ S' = G \cdot S = \left(0,3852 + 0,0011 \right) \frac{V}{kg} \]

TARAT:DES:BASE

(guarda mod.)