Esercitazioni di meccanica razionale - esercitazioni n° 4-5-6

Ex 10

x_eq?

Condizione di equilibrio

P + R = 0 Coulomb |T| ≤ μ_s|N|

Relazione statica di Coulomb

|T| ≤ μ_s|N|

Ricado ê e n̂ per poter scomporre P_N, P_T e P_A

Vincolo x = x y = ^α/_x α > 0

Derivo t_AX = 1 t_AY = -α/_x²

Ricavo il versore t̂ mi serve calcolare il modulo

|t| = √(t_AX² + t_AY²) = √(1 + ^α2/x4)

Mi serve il versore tangente al vincolo espressi

E = ^ε/_|t| = ^ε_X/_|t| = ^t_AX/_|t| = ¹/_{√1 - ^α2}/x²

Versore ( ε_Y = ^t_AY/_|t| )

Ricavo ora il versore n̂ a piacere io che â ê a t in modo scombrire le componenti condizione retta di oggno

m̂ = ( m̂_X = ^α/_|T(x)|x² m̂_Y = 1/|T(x)|

Ora con i versori tangente e normale posso trovare la componente tangente del peso

• P_n = P·t̂ ( _{ε1 = ^{(D1-M·g)·( 1/T(x)| - α/x2T(x)|)}} ) _{ε2 = mg·( ¹/x²|T(x)| )}
• P₁ = P·n̂ = ( O₁-M·g)·( ^{- α}/_x²·|T(x)|) ¹/|T(x)| = _{mg /|T(x)|}

Scompongo lungo versori dati da vincolo 10.23

RISCRIVO L'EQUAZIONE DI EQUILIBRIO SECONDO I

VERSORI TANGENTE E NORMALE, ANCHE RISPETTO E

PTO₁

P_i+1^*ò - (^2mg/_|t(x)|x²)t(x)

t(x) - T = 0 → T = - ^2mg/_|t(x)|²

P_i+1^*ò - (^mg/_|t(x)|) + N = 0 → N = ^mg/_|t(x)|

Inoltre a questo deve essere soddisfatta anche

la reazione di COULOMB

|T| ≤ μ_s|N|

|-^2mg/_|t(x)|x²| ≤ μ_s|^mg/|t(x)|

→ ^2mg/_|t(x)|x² ≤ μ_s^mg/_|t(x)|

^d/_x² ≤ μ_s → x² > ^d/_μs

x ≥ √^d/_μs

L'U non può essere + indietro della partenza

μ_s→0

x→+∞ scivola sempre

3) X_eq ∈ AB ⇒ M = ?

0 ≤ X_eq ≤ l ⇒ 0 ≤ ^l/₂ ≤ ^l/_2R

- ^l/₂ ≤ x ≤ ^l/₂ ⇒ - ^l/_2R ≤ X ≤ ^l/_2R ⇒ - KRL ≤ X ≤ KRL

1) M ≤ KRL

4) |T₀| ≤ μ_s |N₀|

μ_s ≥ ^|T₀|/_|N0| = ^M/_R = ^M/_mgR

attrito pari a questo

μ₀ = ^KRL/_mgR = ^U_l/_mg qui sta in equilibrio tutto che metto

Dinamica del Corpo Rigido

R_est = r ∧ ℚ_CH

dP_est/dt = V_P ∧ (λ ∧ V_CH)

P^CH = Ve vettoria d'inerzia

MOTORE ANGOLARE = g(ω)

In generale avremo:

DATI m_R, R, m_s, M_B, V_B⁰

r(0)

Ricordo di puro rotolamento in D

D PURO ROTOLAMENTO

1) x(t)²

2) R_D(t) =?

3) C_max = PURO ROT

4) ARRESTO DISCO C1-TAN

1) I cord

su ℮₁ ────> T_D = m ẍ

su ℮₁ ────> N_D - μ_s = 0

II Cord.

devo scegliere il Polo

Polo in D

R_D^est = dP d_t + V₀ ∧ ℚ_D

P₀^I = dT _dt + DB ∧ (M_VB)

I₀ ∙ ω

Il momento d'inerzia

Lamina Quadrata

Matrice d'inerzia per calcolare pari I

I_xx = ∑_i m_i (z_i² + z̅²)

= ∫ dm z̅² = ∫₀^l (m/e²) dz̅ z² = ∫₀^l (m/e²) dz z² = (m/e²) · l · [z³/3]₀^l =

= (ml² l/3)/e² = m l² /3 =

I_yy = ∑_i m_i (z̅² + x_i²)

= m l l²/3 + ∫₀^l m/e² dx ∫₀^l z²dz = 2/3 m l²/3

I_zz = ∑_i m_i (x_i² / z_i²) = m l l² /3

stesso sopra

I = (^{m l2})₃ = (2 m l e²)

I_xy = - ∑_i m_ixix_i = 0

I_zx = - ∑_i m_ixiz_i=0

I_zx = I_zx = -∫μx_ix_iz = -∫/dm xz = -/μ/e² dxdm ·x z

= -/^m/l2 ₂ x ^e₀dx ∫ zdz= -/^m/2_l - /^{x2_e 27 =}

DINAMICA CORPI RIGIDI

equazioni cardinali e TEO ENERGIA MECC

1. Eq. diff. moto
2. O distanza

Urto rotolamento puro al distacco

Condizioni iniziali :

θ(0)=0, Ẋθ(0) << 1

I^a eq. cord

_TC + NC = m_aB

Ẍθ = (R+R) sen α₁ + (R+R) cosθ e₂

V_B = Ẋθ (R+R) cosθ e₁ - Ẍ(Rθ) senθ e₂

|V_B| = |θ̇| (R+R)

a_B = [Ẋθ (R+R) cosθ - Ẋθ² (R+R) senθ e₁] - [Ẍ(R+R) senθ + Ẋθ² (R+R) cosθ e₂]

ACCEL. TANGENZIALE

ACCEL. CENTRIPETA NORTALE

accelerazione tangenziale in modulo

|a_t| = {d/dt |V_B|} = |θ̈| (R+R)

lungo componente tangente

accelerazione normale

T_C :

mg senθ - T_C = mẊθ (R+n)

N_C :

-mg cosθ + N_C = -mẊθ²(R+R)

accelerazione centripeta

diretta verso l'interno

perché ha x equazioni in y incognite

ASTA

T_ASTA = ¹/₂ mẋ²

SISTEMA

T = (²/₃ + ¹/₂) mẋ² = ⁵/₄ mẋ²

EM = T - U

dE_L/dt = 0

d/dt (Fx)

⁵/₂ mc ẍ - d/dt (Fx) = 0

2) ẍ = -^2F/_5m

x(t) = ¹/₂ ²/₅ m t²

x(0) = 0

ẋ(0) = 0

4) Eq Cardinale

Γ_C = F - 2m (²/₅ m) = F/₅

NC

M_C mg

-mgR

-mgR

M_C NB

+NB

NB

mg

NB

I_C = I_CW = ³/₂ mR² = ³/₂ mRẊ

I_C ASTA

= b_C mg

= ^R/₂ mẋ²