Esercitazioni svolte Meccanica razionale

ESE I

Def Spazio Vettoriale Reale

Un insieme V con operazioni +, ⋅ :

• Somma (+):
  • + V x V → V associativa, commutativa, ammette elemento nullo 0 ∈ V e elemento inverso ∀v ∈ V∃ -v ∈ V : v + (- v) = 0
• Prodotto ⋅ per scalare (⋅):
  • R × V → V compatibile con il prodotto nei reali ∀ a, b ∈ R, ∀ v ∈ V a (b⋅ v ) = (a b)⋅ v preserva l'identità dei reali ∀ v ∈ V 1⋅ v = v distributiva a, b ∈ R, u, v ∈ V (a + b)⋅ (v + w) = a v + b v + a w + b w

Def Sottospazio Lineare

W⊆V chiuso rispetto a (+ e ⋅) è detto sottospazio lineare di V

Esempio: Rⁿ, C = { p:R^m → R polinomi di grado ≤ d } C ⊂(R;R)

Def Combinazione Lineare

Avendo { d₁,...d_n}⊂ R , {V₁,… V_n} ⊆ V , una combinaz. lineare è nella forma

Σ_i=1ⁿd_iv_i = d₁v₁ + ⋯ + d_nv_n

Def Vettori Linearmente Dipendenti

I vettori { v₁…v_n} sono linearm. dip. se ∃ { d₁,…d_n} ⊆ R non tutti nulli tc

Σ_i=1ⁿd_iv_i = 0

Def Base

La base è un insieme di vettori linearmente indipendenti

Def Dimensione di Spazio Vettoriale

Il numero di elementi di una base (dalla base scelta) è la dim di V

Lemma

Una base di V genera V nel senso che ogni elemento di V è comb. lineare degli elementi nella base

OSS

Fissata una base {v₁, … v_n} di V, V si dice isomorfo ad Rⁿ tramite i coefficienti delle combinazioni lineari che lo generano, detti coordinate

v = Σ_i=1ⁿd_iv_i (d₁,…d_n) ∈ Rⁿ

Def: Moto Circolare

θ(t) ∈ C^∞ (ℝ; [0, 2π])

r(t) = R (cos θ(t), sin θ(t), 0) = R e_ρ(t)

con e_ρ(t) = (cos θ(t), sin θ(t), 0)

v(t) = R θ̇(t) (-sin θ(t), cos θ(t), 0) = R θ̇(t) e_θ(t)

con e_θ(t) = (-sin θ(t), cos θ(t), 0)

Sistema riferimento: (O; e_ρ(t), e_θ(t), e₃)

Nota che: e_θ(t) = cos θ(t) ê_x + sin θ(t) ê_y e sin θ(t) ê_x + cos θ(t) ê_y = 0

=> ė_ρ(t) = θ̇(t) e_θ(t)

ė_θ(t) = (-θ̇(t) cos θ(t), -θ̇(t) sin θ(t), 0) = -θ̇(t) e_ρ(t)

Allora per definire il caso uniforme impongo: |v(t)| = R|θ̇(t)|

Def: Moto Circolare Uniforme

|v(t)| = R|θ̇(t)| => θ(t) = ω₀ t + θ₀

a(t) = R θ̇(t) ė_θ(t) + R θ̇(t) (-θ̇(t) e_ρ(t)) = Rθ̇(t) e_θ e₃ - Rθ̇(t) e_ρ(t)

Jacobiano: _r = (0,1,0) =>

g = 3 - 1 = 2 =>

(xp e θ ci descrivono in modo completo il sistema)

Troviamo la velocita' angolare del sistema. So gia' che avra' direz. k perche' l'asta si muove nel piano

_VP = _VP+(_r T

2K (sono e' diretto su k

ω = θ

=> λ = θ̇ ω = θ̇_k

Centro CIR

X_CIR = X_A +

(per A generico pro deriv. asta)

ω²= θ̇

= X_CIR = x_P +

invariante scalare?

I = ωT- V_P = 0 per qualsiasi moto piano (perché

6 variabili {θA: x₀, y₀, φ

AB: x_A, y_A, θ

vincoli: cerniera fissa in origine,

cerniera mobile in A

per ridurre il # vincoli dobbiamo far capire che il punto A e' comune alle 2 aste, tramite le seguenti eq:

X_A = x₀ + L cosφ

y_A = y₀ + L sinφ

=> Jacobiano: _J

{x₀y₀φ _{XAY A θ'}

}

= Eq. dei vincoli

Rgc3} = 4 g = 2

#2 modo : non introduco nuovo sistema di rif impongo solo vinc. puro rot. (= 1 oggetti a vel. nulla)

w_C^(ℓ) = θ̂ v_C^(ℓ) = R ẍ = - k/m x

∫ 2 E/m = x^.. + 1/2 k m x²

x = ± ∫ 2E/m x + x x = t

t = ∫ x(s) dx / (2E/m - k/m x²)

t = ∫ x(s) dx x(s) ds

a = ₀ ∫^x(t) dx / √(k/2 E x)

= x(t) - x₀ = ∫ dx / √(x) dx 0∫ √(k/2 E x)

= m/k arcsin ( √(k/2E x) x(t) ) ± t + arcsin ( √(k/2E x) x )

+ metodo classico = m/k arcsin (arcsin arcsin + t = s = √(k/2E x) x )

= ± t + arcsin ( √(k/2E x) x )

x(t) = 2E/k sin (± k/m + ± t )

= ± t + y' arcsin (√(k/2 E x)₀)

= x(t) = x(t) m/k x = m/k x x(t) ≤ = arcsin

x(t) = V_{(x eq)} - V_'(eq) - x

x(t) = ks i (√(k/m) t )±√(k/m) sin (√(k/m) t )

• Rg(ζ): Rg(ζ) = 12 se θ ≠ 0 , π/2
• gdl: g = 12 - 11 = 1, coord. Lagrang. θ = θ₁; i = 1..4
• coordinate:
• χ̄₀ = 0̄
• χ̄₁ = -2lcosθ ̂͞ı
• χ̄₂ = (-1)ᵢ(sinθ _̂̄ȷ- lcosθ ̂͞ı)
• χ̄₃ = (-1)ᵢ(-sinθ _̂̄ȷ- lcosθ ̂͞ı)
• χ̄₄ = (-χ̄₂̆ _̂̄ȷ )
• χ̄₅ = χ̄₄ + 2sinθ ̂͞ı
• χ̄₆ = (χ̄₁ - sinθ₂ _̂̄ȷ+ lcosθ₂ ̂͞ı)
• χ̄₇ = (χ̄₆ ' - sinθ₂ ̂͞ı+ lcosθ₂ ̂͞ı)
• forze attive: -mg ̂ıs in G₁, G₂, G₃, G₄, k2lcosθ₀ ̂ň in A
• potenziale: V(θ) = mg(χ̄₅̆ _̂̄ȷ+ χ̄₆ ' ̂̄ȷ