Esercitazioni di meccanica razionale - esercitazioni n° 1-2

MECCANICA RAZIONALE ESE 1.

Es. 1. D. puro rotolamento

VD₁_DISCO VD₁_GUIDA = 0

1. VC (θ, θ̇)
2. W_DISCO (θ, θ̇)
3. φ = φ(θ)

xᶜ = (R+R₁) cosθ e₁₁ ++(R+L) senθ e₁ ⇐ "verticale"

V_c = Ẋᶜ c(θ) = (R+R₁)(-senθ) θ̇ e₁₁ + (R+R₁) θ̇ cosθ e1₂

|V_c| = 0 (R+R₁)² [sen²θ θ̇² + (R+R₁)²(cos²θθ̇)²]

√ = √(R+R₁)² θ̇² [cos²θ + sen²θ] = |θ̇|(R+R)

A, B Poisson

VA = VB + WΛ (BᶜA)

L = (XA - XB)

V₀_c = V₀ + WΛ (DC)

θ̇(|R+L) = |W|ΛR

|W| = |θ̇| R+_r

rotazione oraria -> WΛ₁O

θ̇ > 0 => ROTAZIONE ANTICARIA => W_DISCO > 0

W = θ̇(R+)_n e₁₃

Poisson

V_c = V_D + W ∧ (DC)

(R+R₁)(-senθ) θ̇ eʹ₁ + (R+R₁)θ̇ cosθ eʹ₂ - W eʹ₃;

DC = R cosθ eʹ₁ + R senθ eʹ₂

e₁: e₁ = eʹ₁ se e₁ =

e₃ ∧ e₂ = -e₁

eʹ₁:

(R+R₂)(-senθ) θ̇ = W ∧ r senθ e₁

W = (R+R₁)/r θ̇

eʹ₂:

(R+λ) θ̇ cosθ eʹ₂ = W eʹ₃ ∧ r cos θ e₁

(R+R) θ̇ cosθ e₀ - W r cosθ

ω = (R+R₁)/r θ̇

φ = φ(Θ) relazione tra rotazione del disco

ω = d/dt φ_disco = (R+R₂)/r dΘ/dt

4φ_disco = (R+R₂)/r ΔΘ

cavo velocità;

D = CIR _disco

Quante rotazioni da fare per fare 1 giro?

ΔΘ = 2π

Δφ_disco = (R+R₂)/r 2π

se R = R₁ 2 giri

per la regola di Poisson

V_n = V_B + W ∧ (Br)^r

Calcolo

Br^r = l/2 sen θ e₁ + l/2 cos θ e₂

perché ho negato → questo verso è basso rispetto e₁

V_n = V_B + θ̇ e₃ ∧ (l/2 sen θ e₁ + l/2 cos θ e₂)

V_n = θ̇ l cos θ e₁(-l/2 sen θ θ̇ e₂) - θ̇ l/2 cos θ e₁

V_n = l/2 θ̇ cos θ e₁ - l/2 sen θ θ̇ e₂

Es.

CIR ASTA

D puro rotolamento

?

V_C, W_Disco, W_Asta

V_A, CIR → Disco

D = CIR Disco

x_C = l sinθ e₁ + R e₂

v_C = l θ cosθ e₁ + 0

v_0|Disco = v_0|Guida = 0

Applico Poisson

v_C = v₀ + W_Disco ^ (DC)

W_Disco devo applicare

poisson in 2 punti

che conosco

v_C = W_Disco e'₁ ^ R e'₂

l θ cosθ e₁ = - W_Disco R e'₁

(e'₃ ^ e₂' = - e₁')

W_Disco = - ^l/_R θ cosθ e₃

Velocità del punto A

x_A = 0 e₁ + (R + l cosθ) e₂

v_A = - θ senθ e₂

Il CIR del disco è in D

nell’asta nessun punto dell’asta è fermo

2

Rotazione maggiore della traslazione

• Rotazione veloce
• |θ| >> |ẋ|
• (sguida la macchina)

• p = puro rotolamento
• c = cir il centro della ruota

Rotazione minore della traslazione

• Rotazione lenta
• |θ| << |ẋ|
• Blocco le ruote

• y_cir = +∞
• si sposta verso l'alto e tutte le ruote