Esercitazioni di Meccanica Applicata

V

- Configurazione intermedia:

P(t)

V = (0.52 · 6.89) mm/s = 3.58 mm/s

P(r) P(a)

= 3.58 mm/s V = 0.82 mm/s

V

Passiamo adesso all’analisi delle accelerazioni.

Supposta costante, è nota l’accelerazione di qualsiasi punto del membro 1, in quanto ogni

ω

1

punto avrà solo accelerazione normale, che dipende solo dalla velocità angolare e dalla posizione

dei punti stessi. Analizziamo adesso il membro 2, in particolare il punto P in cui il moto viene

trasmesso dal membro 1 al membro 2. Così come per le velocità, anche per le accelerazioni è

necessario sfruttare i moti composti, in quanto in P è presente una coppia superiore di

strisciamento: P(a) P(r) P(t) P(c)

a a a a

= + + P(r)

V

x (P-C ) 2ω x

ὠ

2 1

2

2,12 2,12 12

n

ω

-ω (P-C ) - D -ω (P-C )

2,1 2,1 1

Le componenti normali delle accelerazioni sono tutte note, in quanto dipendono da parametri

cinematici di velocità e dalle posizioni, così come nota è la velocità di Coriolis. L’accelerazione

di C è anch’essa nota, o per meglio dire predeterminabile, basta infatti determinare la

2,1

circonferenza dei flessi. Per fare ciò è necessario determinare almeno 3 punti di tale

circonferenza, uno dei quali, C , è già noto. Sfruttiamo poi il fatto che nel moto del membro 2

2,1

rispetto al membro 1 la retta verticale solidale al membro 2 e passante per P inviluppa un profilo

Ω, Ω

noto, in particolare una circonferenza di centro per cui appartiene alla circonferenza dei

regressi e il suo simmetrico rispetto a C appartiene alla circonferenza dei flessi. Inoltre anche

2,1

l’asse del chiavistello nel moto del membro 2 relativamente al membro 1 inviluppa una

circonferenza, di centro però in O , per cui O appartiene alla circonferenza dei regressi e il suo

1 1

simmetrico rispetto a C appartiene alla circonferenza dei flessi.

2,1

P(a)

a

Infine di è nota la direzione, che, per la presenza della coppia prismatica, non può che essere

diretta lungo l’orizzontale passante per P. Per cui abbiamo 4 vettori noti e una direzione e il

poligono si chiude.

- Configurazione intermedia: 2 2

D = 3.53 mm a = ( 3.53 · 0.27) mm/s = 0.95 mm/s

2,1 C ,

2 1 2 2

P(r) | = (0.27 · 6.71) mm/s = 1.81 mm/s

a n

P(t) P(c)

2 2 2 2

a = (0.27 · 6.89) mm/s = 1.86 mm/s a = (2 · 0.52 · 3.58) mm/s = 3.72 mm/s

P(a) 2

= 0.76 mm/s

a Configurazione iniziale:

- 2

D = 3.53 mm a = 0.95 mm/s

2,1 C2,1

P(r) 2 2

a | = (0.27 · 6.08) mm/s = 1.64 mm/s

n

P(t) P(c)

2 2 2

a = (0.27 · 6.56) mm/s = 1.77 mm/s a = 3.72 mm/s

P(a) 2

= 0.25 mm/s

a Configurazione di apertura:

- 2

D = 3.53 mm a = 0.95 mm/s

2,1 C2,1

P(r) 2 2

a | = (0.27 · 7.03) mm/s = 1.90 mm/s

n

P(t) P(c)

2 2 2

= (0.27 · 7.05) mm/s = 1.9 mm/s a = 3.72 mm/s

a

P(a) 2

a = 1.02 mm/s

E’ da notare che il diametro della circonferenza dei flessi rimane costante nelle tre configurazioni

o per meglio dire la circonferenza dei flessi non cambia nelle tre configurazioni. Quindi ciò

significa che i punti che appartengono a tale circonferenza hanno in ogni configurazione sempre

solo accelerazione tangenziale. Per cui siamo arrivati a delle conclusioni di carattere generale

osservando solo tre configurazioni, senza complicati calcoli. Ciò era prevedibile se si osserva che

Ω ΩC

durante il moto resta costante la distanza di da O e che i segmenti e O C sono sempre

1 2,1 1 2,1

perpendicolari, per cui se questi 3 punti appartengono alla circonferenza dei regressi, la distanza

ΩO non può che rappresentare proprio il diametro della circonferenza dei regressi, che resta

1

quindi costante. Poiché poi la circonferenza dei flessi altro non è che il simmetrico rispetto al

punto C della circonferenza dei regressi, anche il suo diametro resterà costante e ciò significa

2,1 è costante.

che anche a

C 2,1

4) INDIVIDUAZIONE DEL CENTRO DI CURVATURA

Per individuare il centro di curvatura della traiettoria del punto di contatto nel moto relativo,

che la circonferenza dei flessi, è sufficiente applicare la formula:

poiché sono noti sia C 2,1 2,12

PF · PO = PC

dove F altro non è che il punto d’intersezione tra la retta passante per P e C e la circonferenza

2,1

dei flessi (punto di flesso della normale alla traiettoria di un punto).

- Configurazione di apertura: - Configurazione iniziale

PO = (36.97/8.63) mm = 4.28 mm PO = (56.1/10.51) mm = 5.34 mm

- Configurazione intermedia:

PO = (45.4/9.89) mm = 4.59 mm

- Configurazione iniziale

PO = (36.97/8.63) mm = 4.28 mm

Esercitazione n°3 di Meccanica Applicata alle Macchine.

COGNOME

NOME

MATRICOLA

PAGINE TOTALI

Analisi cinematica:

Il meccanismo è costituito da 7 membri, collegati tra loro mediante 9 coppie inferiori e una coppia

superiore, per cui: g.d.l. = 3m - 2i - s = 21 - 18 - 1 = 2

Essendo presenti 2 gradi di libertà, possiamo ipotizzare che il membro 2 rotoli sul membro 3.

Analizziamo innanzitutto la cinematica del meccanismo. Applicando ripetutamente il teorema di

Kennedy possiamo trovare i centri delle velocità di ogni membro e i versi delle velocità angolari.

Per quanto riguarda il membro 1, per via della coppia prismatica, esso può solo traslare nella

direzione della guida, per cui la sua velocità angolare è nulla e il suo centro del moto si trova

all’infinito lungo la direzione perpendicolare all’asse della guida. Applicando Kennedy al membro

2 otteniamo: = + = +

ω ω ω ω ω

2 1 2,1 3 2,3

per cui C si trova all’intersezione tra la retta diretta perpendicolarmente all’asse della guida e

2

passante per A (che coincide con C ) e la retta passante per O , centro del moto del membro 3, e P

2,1 3

. Inoltre e devono necessariamente

che, per l’ipotesi di puro rotolamento, coincide con C ω ω

2 2,1

2,3

avere lo stesso verso, mentre, ed saranno discordi in quanto C si trova fuori dalla

ω ω

3 2,3 2

e C ma dalla parte di C , per cui sarà concorde a

congiungente C ω ω

2 2,3.

3 2,3 2,3

Passiamo adesso al membro 4: = + = +

ω ω ω ω ω

4 3 4,3 7 4,7

per cui C si trova all’intersezione tra la retta passante per O e B, che altro non è che il centro del

4 3

moto relativo del membro 4 rispetto al membro 3, e la retta passante per il centro del moto del

membro 7, ovvero O , e C , che coincide con C. Poiché C si trova fuori dalla congiungente O e

7 4,7 4 3

e saranno discordi e in particolare sarà concorde ad .

B, ω ω ω

ω 3 4,3 4 4,3

Analogamente sarà concorde ad , discorde ad .

ω ω ω

4 4,7 7

Passando al membro 6 otteniamo: = + = +

ω ω ω ω

ω

6 7 6,7 5 6,5

è nulla, in quanto, per la presenza della coppia prismatica, il membro 6 può solo traslare

ω

6,7

rispetto al membro 7, per cui C si trova all’infinito nella direzione perpendicolare all’asse del

6,7

sarà nulla in quanto il membro 5 può solo traslare lungo l’asse della guida e

martinetto. Anche ω 5

C si trova quindi all’infinito nella direzione perpendicolare all’asse della guida. Ciò implica che

5 = = e che C si trova all’intersezione tra la retta passante per O e diretta

ω ω

ω

6 7 6,5 6 7

perpendicolarmente all’asse del martinetto e la retta perpendicolare all’asse della guida in cui si

muove il membro 5 e passante per D, centro delle velocità nel moto relativo di 6 rispetto a 5.

Analisi cinetostatica - condizioni ideali:

Fattore di scala: 1 N = 8 unità di disegno

Supponiamo che nel martinetto vi sia una pressione di 1 bar, per cui sul membro 6 sarà applicata

una forza resistente pari a -3 2

F = 1 bar · (5.91 · 10 m) = 10.97 N

π

R F F

Partiamo dall’analizzare le forze agenti sul membro 6. Su di esso agiscono: , nota, , diretta

R 7,6 F ,

perpendicolarmente all’asse del martinetto, ma di cui non è noto il punto di applicazione; 5,6

F deve

applicata in D, ma di cui non è nota la direzione. Tuttavia, per l’equilibrio del membro 5, 5,6

necessariamente essere diretta orizzontalmente, per cui, note le direzioni delle tre forze è possibile

chiudere il triangolo di equilibrio: F F 0

F + + =

R 7,6 5,6

F = 11.48 N F = 3.42 N

5,6 7,6 F , applicata in O ma di cui non conosciamo

Passiamo adesso al membro 7. Su di esso agiscono: T,7 7

F

F , uguale e opposta ad , per il principio di azione e reazione, e avente la stessa

la direzione; 6,7 7,6

F F

retta d’azione; , applicata in C e, per l’equilibrio della biella, essendo uguale e opposta alla ,

4,7 7,4

R’ F

F , uguale e opposta ad , dovuta alla pressione del fluido.

diretta lungo l’asse della biella; R R’

R F F

Pertanto possiamo considerare la risultante delle due forze note, ovvero ed , che sarà

6,7

applicata nel punto d’intersezione delle rette d’azione delle due forze componenti. Nota pertanto la

direzione di tale forza, sappiamo che affinchè vi sia equilibrio tra i momenti, la retta d’azione di

F oltre che per il punto O , deve anche passare per il punto d’intersezione della retta d’azione di

T,7 7

R F .

con la retta d’azione di 4,7

Per cui anche il triangolo d’equilibrio del membro 7 si chiude:

F F R 0

+ + =

T,7 4,7

F = 9.94 N F = 4.00 N

T,7 4,7 F

Affinchè il membro 4 sia in equilibrio, come già detto, le uniche due forze su di esso agenti, ed

7,4

F , devono necessariamente essere uguali, opposte, ed avere la stessa retta d’azione, che coincide

3,4

con l’asse della biella: F F 0

+ =

7,4 3,4

F = F = F = 4.00 N

3,4 7,4 4,7 F , che per il principio di azione e reazione

Analizziamo adesso il membro 3. Su di esso agiscono: 4,3

F F

è uguale e opposta ad , avente la stessa retta d’azione; , applicata in O ma di cui non è nota

3,4 T,3 3

F

la direzione; , applicata in P ma di cui non è nota la direzione.

2,3 F ,

Per ottenere maggiori informazioni analizziamo allora il membro 2. Su di esso agiscono: 3,2

F

applicata in P ma di cui non è nota la direzione; , applicata in A ma di cui non è nota la

1,2

d