Esercitazioni di Istituzioni di Economia politica

Y Y

Y Y

( { = 113,34 ∙ 37,78 = 5,14

† †

ü ü

Quindi:

2{ 4 6{ = 4(

=

( 3 = Y

Y

Y ( { = 5,14

Y †

ü

( { = 5,14

†

ü 2 2

2

2

{= ( {= (

{= (

{= (

3 3

3

3

= = = =

Y 5,14

ã

2 Y ã

Y

Y † ( =

†

( ∙ 0,95( = 5,14 0,95( = 5,14

( ∙ ( = 5,14 † †

ü

ü 0,95

3 2

{= ( { = 60,12

3

= = ( = 90,19

¢/£ ¢/£

ã/†

( = 5,41

Il punto C ha le seguenti coordinate (90.19,60.12).

ES = C-A =90,12 – 113,34 = - 23,22

X

ER = B-C= 56,67 – 90,12= - 33,45

X

ES =C-A= 60,12-37,78= 22,34

Y

ER = B-C= 37,78-60,12= - 22,34

Y 29

Francesca Barbato Esercitazioni di Microeconomia

d)! Calcola le funzioni di domanda dei due beni. 2

340 ∙ 226,67

3

}

r = =

' '

} }

1

340 ∙ 113,34

3

~

r = =

' '

~ ~ 30

Francesca Barbato Esercitazioni di Microeconomia VI Esercitazione – 29 Aprile 2015

1.! Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false giustificando la risposta:

a)! Se il prodotto marginale è decrescente, il prodotto medio deve essere anch’esso decrescente. VE-

RO

Matematicamente il PMg è la derivata prima della funzione di produzione e graficamente corri-

sponde all’inclinazione della funzione di prodotto totale in un punto. Quando questo è decrescen-

te l’aumento degli input di una unità comporta un aumento della produttività totale sempre più

piccolo cioè l’aumento del PT dell’ultima unità è minore dell’aumento di prodotto totale della pe-

nultima unità di input. Quindi la funzione di produzione avrà rendimenti decrescenti e avrà questo

andamento: Q K, L

La PMe è uguale all’output fratto la quantità di input: se la produttività marginale di un input de-

cresce cosa accade alla produttività media? Sappiamo che l’ultima unità di input produce meno

delle precedenti unità quindi, conseguentemente, si riduce la produttività media.

b)! Un’ impresa assume un lavoratore e successivamente scopre che il prodotto medio dei suoi lavo-

ratori è aumentato. Per questo l’imprenditore suppone che il prodotto marginale del nuovo lavo-

ratore è inferiore rispetto alla produzione per lavoratore prima della nuova assunzione. FALSO

Se l’impresa scopre che il prodotto medio dei lavoratori è aumentato vuol dire che l’ultimo lavora-

tore ha prodotto di più dei precedenti quindi l’assunzione del nuovo lavoratore dovrebbe com-

portare un aumento del PMg.

c)! Si suppone che il prodotto marginale del lavoro è attualmente uguale al prodotto medio. Se fossi

un lavoratore da assumere, in questo caso preferiresti che lo stipendio sia uguale al valore del pro-

dotto marginale o al prodotto medio.

Consideriamo di trovarci al tempo t in cui il PMg=PMe e che l’impresa decida di assumere un

nuovo lavoratore offrendo un nuovo contratto. La scelta tra un salario uguale al prodotto medio o

uguale al prodotto marginale dipende dalla funzione di produzione, sapendo che il lavoratore sce-

glierà quello con la produttività più alta: se la funzione di produzione ha rendimenti crescenti sce-

glierà di essere pagato in base alla PMg; se la funzione di produzione ha rendimenti decrescenti (e

quindi PMg decrescente) sceglierà di essere pagato in base alla produttività media perché la mia

assunzione comporta una riduzione della PMe; sarà indifferente quando la funzione di produzione

è lineare

2.! Data la funzione di produzione Q = L K – L , supponendo che K=4 determina:

2 3

a)! La funzione del prodotto totale del lavoro

Ci troviamo nel breve periodo perché un fattore produttivo è fisso, quindi riscriviamo la funzione

di produzione di BP andando a sostituire a K il 4: ] ã

z = 4§ − §

La funzione del prodotto totale del lavoro è esattamente questa in quanto esprime quanto output

si produce in funzione del lavoro.

b)! La funzione del prodotto medio e marginale del lavoro 31

Francesca Barbato Esercitazioni di Microeconomia

] ã ]

ì¶ 4§ − § § 4§ − § ]

ìÑB = = = = 4§ − §

• § § §

oì¶

• ]

EìÑÜ = = 8§ − 3§

• o§

c)! I livelli di lavoro che massimizzano il prodotto marginale, il prodotto medio e il prodotto totale.

Rappresenta graficamente i risultati ottenuti.

Se si vuole massimizzare il PMg, il PMe e il PT è necessario calcolare la derivata delle rispettive

funzioni e porla uguale a 0, successivamente bisogna calcolare la derivata seconda e controllare se

si tratta di un massimo o un minimo ma poiché si parla di produttività e la produttività è crescente

allora la derivata darà un massimo. 8 ®

ÑK(ìÑÜ : 8 − 6§ = 0; § = ;ß =

• 6 ê

]

8§ 3§ ´

]

EÑK(Eì¶ : 8§ − 3§ = 0Etô''DOGKNDE§ ≠ 0 ∶ − = 0; 8§ − 3§ = 0; ß =

• § § ê

ÑK(ìÑB : 4 − 2§ = 0; ß = 7

•

È possibile anche seguire una seconda strada per calcolare il massimo ricordando che il prodotto

totale si massimizza quanto il PMg è uguale a 0 e che il PMe è massimo quando interseca il PMg.

disegnando il prodotto

•!Iniziamo

! Prodotto!totale!

PMg, PMe, totale: sappiamo che è massimo

PT quando L= 2,67 in questo punto il

! Prodotto!medio!

9,48! ì¶ = 4 ∙

prodotto totale è pari a:

] ã

! Prodotto!marginale! † †

− = 9,48. Il prodotto totale

ã ã

sarà pari a 0 quando il lavoro è

uguale a 0.

prodotto medio sarà nullo

•!Il

5,33! quando il PT= 0, raggiunge il suo

massimo quando L=2 ed assume

4! = 4 ∙ 2 −

un valore pari a:ìÑB

]

2 = 4.

prodotto marginale nel suo

•!Il

punto di massimo è pari a:

]

ü ü

ìÑÜ = 8 ∙ − 3 ∙ = 5,33,

• ã ã

ricordiamo che intersecherà la

2!

1,33! 2,67! curva del prodotto medio nel suo

punto di massimo e l’asse delle x

L quando il PT è massimo quindi

nel punto 2,67.

3.! Un’ impresa ha una tecnologia caratterizzata dalla funzione di produzione

I) Q=F (K, L) =L K

1/4 1/4

II) Q= F (K, L) = (2KL) 1/2

III) Q= F (K, L) =2K+3L

IV) Q= F (K, L) =K L

2 2

Per ognuna delle funzioni di produzione calcolare:

a)! Il tipo di rendimento che presenta la funzione 32

Francesca Barbato Esercitazioni di Microeconomia

Il rendimento di scala indica in che percentuale varia l’output prodotto al variare dei fattori pro-

duttivi. Per poter distinguere se si tratta di rendimenti crescenti, decrescenti o costanti o crescenti

si sommano gli esponenti (quindi si calcola il grado della funzione) e si verifica se è maggiore, mi-

nore o uguale a 1. Se il grado è maggiore di 1 allora i rendimenti sono crescenti, se è minore

di 1 la funzione avrà rendimenti decrescenti se è uguale a 1 allora saranno costanti.

Un’altra strada potrebbe essere la seguente: da un lato aumento i due fattori produttivi di una cer-

ta percentuale (λ - lambda) e dall’altro verifico come varia l’output ossia:

<

ò ¨§, ¨≠ ¨E(ò §, ≠ )

>

¨§, ¨≠ < ¨E(ò §, ≠ )

Se risulta :Eò i rendimenti sono decrescenti;

ò ¨§, ¨≠ = ¨E(ò §, ≠ ) i rendimenti sono costanti;

ò ¨§, ¨≠ > ¨E(ò §, ≠ ) i rendimenti sono crescenti.

I)! Q=F (K, L) =L K

1/4 1/4

La prima funzione di produzione ha un grado pari a ½ (perché 1/4+1/4 = ½), essendo

½<1 i rendimenti di scala sono decrescenti. Verifichiamo con il secondo metodo:

<

Y Y Y Y

(¨§) ¨≠ ¨(§ ≠ )

ü ü ü ü

>

<

Y Y Y Y Y Y

¨ § ¨ ≠ E¨(§ ≠ )

ü ü ü ü ü ü

>

Y

¨ <¨

]

Come dal risultato ottenuto precedentemente, i rendimenti di scala della funzione sono de-

crescenti.

II)!Q= F (K, L) = (2KL) 1/2 Ø Ø

= ò ≠, § = 2≠ §

La funzione di produzione può essere riscritta come :z ∞ ∞

<

Y Y

2¨≠¨§ ¨ 2≠§

] ]

> <

Y Y Y Y Y

Y/]

2 ¨ ≠ ¨ § ¨ 2≠§

] ] ] ] ]

>

<

Y Y

¨ 2≠§ ¨ 2≠§

] ]

>

E¨ = ¨

I rendimenti sono costanti.

III)! Q= F (K, L) =2K+3L <

2¨≠ + 3¨§ ¨(2≠§)

>

<

¨(2≠ + 3§) ¨(2≠ + 3§)

>

¨=¨

La funzione ha rendimenti costanti.

IV)! Q= F (K, L) =K L

2 2 <

] ] ] ] ] ]

¨ ≠ ¨ § ¨(≠ § )

> 33

Francesca Barbato Esercitazioni di Microeconomia

<

ü ] ] ] ]

¨ ≠ § ¨(≠ § )

>

ü

¨ > ¨

I rendimenti sono crescenti.

b)! Il saggio di sostituzione tecnica

I)! Q=F (K, L) =L K

1/4 1/4

Il saggio marginale di sostituzione tecnica (SMT) non è altro che il rapporto fra il prodotto

marginale del lavoro e il prodotto marginale del capitale:

ìÑÜ

•

tѶ = ìÑÜ

W

(Si ricorda che il prodotto marginale è la derivata prima della funzione di produzione rispetto

al lavoro o al capitale) Yü

1 Y

\[,°ï

§ E≠ [,°ï

≠ ≠ ≠

ü

4

tѶ = = =

Y Y §

\[,°ï [,°ï

§ ≠ § §

ü ü

II)! Q= F (K, L) = (2KL) 1/2 Y Y Y Y

\

2 ∙ 0,5§ ≠ ≠ ≠ ≠

] ] ] ]

tѶ = = =

Y Y Y Y §

\

2∙ 0,5≠ § § §

] ] ] ]

III)! Q= F (K, L) =2K+3L 3

tѶ = 2

IV) Q= F (K, L) =K L

2 2 ]

2§≠ ≠

tѶ =