Esercitazioni Costruzione di Macchine

Esercitazione Costruzione

• Prodotto di uno scalare per un vettore

d = 2xi + 2yj + 2zk

c = r

b = cxi + c2yj + c3zk

• Somma vettoriale:

c = a + b = (ax + bx)i + (ay + by)j + (az + bz)k

c = √( (ax + bx)² + (ay + by)² + (az + bz)² )

γx = arccos((ax + bx) / c)

γy = arccos((ay + by) / c)

γz = arccos((az + bz) / c)

c = √a² + b² + 2abcosθ

c² = b²senθ² + b²cosθ² + 2bcosθ

ψ = arctg[(bsenθ)/(a + bcosθ)] → γx = α + θ

• Differenza vettoriale:

d = a - b = a + (-1)b

Esercizi:

o(3,6)H

d = 8i + 6j

b = 3i + 8j

o = √64 + 36 = 10

b = √49 = √73

θ = β - α = 2,57°

c = √o² + b² + 2obcosθ = 14,8

ψ = arctg

ψ = 14,973°

γ = α + 2ψ = 51,863°

γx = arccos(c_x/c) = α =

= arccos(14 / 14,8) = 51,863°

γ

= arccos(32/85) = 26,8694°

β = arctg(6/8) = 9,94444°

F₁ = 250 N

F₂ = 150 N

F₁ + F₂ = ? = F

F = √F₁² + F₂² + 2F₁F₂cosΘ

Θ = angolo tra i vettori = 120° - 60°

F = √250² + 150² + 2(250)(150)cos60°

F = 350 N - RISULTANTE

i √i + √j = 60° + 21,49° ≈ 81,49°

γ = arctg (F₂ senΘ) / F₁ + F₂ = arctg 150 √3 / 2 F₂ = 250 + 150cos60° = 217°

USANDO COMPONENTI:

F₁ = F₁cos60°i + F₁sen60°j = (125i + 125√3j) N

F₂ = F₂cos60°i + F₂sen60°j = = (75i + 75√3j) N

F₁ + F₂ = (50i + 200√3j) N

F = √50² + 200² · 3 = 350 N

γ = arctg (200 √3) = 81,49°

PRODOTTO SCALARE

a · b = axbx + ayby + azbz

C = a · b = 2xbx + 0yby + 0z bz

b = b_xi + b_yj + b_zk

b · i = b_x

la componente di b sulla direzione x

a · b = ab cosΘ

Esercizi

L = ∫_A^B C = ∫_L^F = L₁s + F₂ = L cos30°:5 + 0 + F_a cos60°

c = a · b

b · i = (b_x – bx) = la componente di b sulla direzione x

a · b = a · b - 8√2 · 4

GdL: 1 corpo rigido

3 gdl

• A - cerniera 2 gdv
• B - carrello 1 gdv

Gdl - Gdv = 3 - 3 = 0 - STRUTTURA VINCOLATA

ISOSTATICA

A _tr

• nessun punto che soddisfa tre due condizioni
• non esiste L2,1 - NO CIR
• SISTEMA ISOSTATICO NON UIBILE

Per rendere rigide le sdizioni dovrei avere:

CIR ≡ L2 ≡ A

2.

GdL: 1 cr

3 gdl

• GdV: 2 carrelli - 2 gdv

Gdl - Gdv = 1 gdl - ISOSTATICA

3.

GdL: 1 cr - 3 gdl

• GdV: 1 pattino, 1 carrello - 2 gdv + 1 gdv = 3 gdv

Gdl - Gdv = 0 gdl - ISOSTATICA

Per renderlo rigide:

4.

A - B

• C - D: 3 carrelli - 3 gdv

Gdl - Gdv = 0 gdl - ISOSTATICA

A _od B - UIBILE

D ≡ L2,1 - UIBILE

ESERCITAZIONE COSTRUZIONE

GEOMETRIA DELLE AREE:

• CENTROIDE DI UN SISTEMA PIANO CONTINUO DISCRETO:

(G-O) = ∬_Ω (P-O) dA / ∬_Ω dA

(G-O) = x_g i + y_g j

x_g = ∬_Ω x dA / A

y_g = ∬_Ω y dA / A

(G-O) = [Σ_i=1ⁿ (P_i-O) A_i] / A con A = Σ_i=1ⁿ A_i

x_G = [Σ_i=1ⁿ x_i A_i] / A

y_G = [Σ_i=1ⁿ y_i A_i] / A

PROPRIETA': x_GA = ∬_Ω x dA / ∬_Ωx dA / ∬_Ω x dA = x_G A₁ + x_G2 A₂

• MOMENTI STATICI (o del PRIMO ORDINE):

S_x = ∬_Ω y dA

S_y = ∬_Ω x dA

S_x = Σ_i=1ⁿ y_i A_i

S_y = Σ_i=1ⁿ x_i A_i

x_G = S_y / A

y_G = S_x / A

Ω = Ω₁ ∪ Ω₂ - Ω₁₂ Ω₁ ∩ Ω₂ = ∅

TRASLAZIONE

S_x = ∬_Ω y dA = ∬_Ω (y' + y_o)⊆) dA = ∬_Ω y'dA + y_o ∬_Ω dA

S_x = S'_x + y_oA

y(P) = y'(P) + y_o

S_y? x_G?

S_x? y_G?

x_G = S_y / A =

y_G = S_x / A =

S_y = ∬_Ω x dA - ∬_Ω∫ x dA

S_x = ∬_Ω y dA = ∬_Ω∫ y dA =

-2b / Z - bA / Z

4°

5°

6°

ANC. ISO NON ABILE

1: ANC. ISO NON ABILE

2: SOST. VINCOLI

ΣF_H=0

ΣF_V=0

ΣM_A=0

ΣF_H=0

ΣM=0

ΣF=0

ΣM_F=0

ΣM_c=0

ΣF=0

ΣM⁽⁺²⁾H_O=0

ΣF_N=0

ΣM_C=0

ΣF_H=0

ΣF_N=0

ΣF_N=0

ΣF_N=0

ΣM=0

ΣF_V=0

ΣF_N=0

ΣF=0

ΣF=0

ΣF_N=0

Condizione necessaria e sufficiente di equilibrio di un sistema di corpi rigidi: Un sistema di corpi rigidi è in equilibrio sotto l'azione di un sistema di forze esterne se e solo se: ciascun corpo rigido è in equilibrio sotto l'azione delle forze che gli competono.

Condizione necessaria di equilibrio di un sistema di corpi rigidi: Se il sistema è in equilibrio allora il sistema composto rigido è in equilibrio.

α

12 gde - 12 gdv = δ gde

Analisi cinematica

Unico CR

non labile

Reazioni vincolari

∑F_H=0 V_A = P

∑M_B=0 H₀₂-P₃ = 0 H_B = P/2

∑F_V=0 V_B = P/2

∑M_B = 0 W_B + P/2 = B₂ B₂ - P₃ o WB = P₃

Reazioni interne

∑F_n=0 H_C = P/2

∑F_n=0 V_C = P

∑F_V=0 V_D = P

∑M_E=0 W_E = P3/2

∑H_C=0 v_E = 2Q P₃ P₃ 0 VE = P/2

v P

∑F_T=0 v_E = 2Q P₃ P₃ 0 VE = P/2

∑F_H=0 H_C = P

∑F_M=0 H_D = P/2

Azioni interne

P/2 P/2 P/2 P/2

Esercitazione CH4

Stato di sforzo

Riduzione di Cauchy:

• σ_j = [σ_x τ_xy τ_xz]^T
• [τ_yx σ_y τ_yz]
• [τ_zx τ_zy σ_z]
• {n} = n₁ n₂ n₃

S = S

σ = n

Sforzi e direzioni principali:

• [σ_x-σ_P τ_xy τ_xz]
• [τ_yx σ_y-σ_P τ_yz] = 0
• [τ_zx τ_zy σ_z-σ_P]

(σ₁-σ_P)(σ₂-σ_P)(σ₃-σ_P) = 0

Det (σ_i-σ_P) = 0

Sforzi tangenti principali

Sforzi deviatoriali:

τ = ¹⁄₂ √[(σ₁-σ₂)² + (σ₂-σ₃)² + (σ₃-σ₁)²]

Sforzi principali che vanno sostituiti ai vettori di sforzo

σ = ^{σ₁+σ₂+σ₃}⁄₃

τ_oct = √[¹⁄₃ (σ₁-σ₂)² + (σ₂-σ₃)² + (σ₃-σ₁)²]

Load:

• σ_x = 500 MPa
• σ_y = 200 MPa
• τ_xy = 200 MPa
• τ_yz = τ_zx = τ_xz = 0
• n = [^√2⁄₂ √2⁄0]

Sforzi principali?

Sforzi dir. princ.?

Sforzi agente su n?

Sforzi tang. princ.?

Sforzi deviatoriali?

Sforzi principali:

• σ = |⁵⁰⁰⁄₂₀₀ 0|
• |²⁰⁰⁄₂₀₀ 0|
• |0 0 -σ_P

Det(σ-σ_P) = 0

-σ_P((500-σ_P)(200-σ_P) - 200²) = 0

-σ_P((σ_P² - 400σ_P + 80000)) = 0

σ_P1 = 600 MPa σ_P2 = 100 MPa σ_P3 = 0

Sforzi dir. principali

• σ_z = 600 MPa n = -1
• |^(600-500)⁄₂₀₀ 0|
• |²⁰⁰⁄_200-600 600|