Esercitazioni Costruzione Macchine 1

Esercitazione 1: Vettori

Vettori: ₁₂

forze interne: F

forze esterne: E (applicate)

momento: M = ₁₂ x F

CONVENZIONI:

• Terna cartesiana

direzioni

positivo

Rotazioni positive

Momento:

¹² = 100 mm

|E| = 100,12 N

M(o) = ¹² x E

M = |E| |¹²| send

M(o)

Sistema integrale = Sistema ideale

Tutte operazioni ammesse anche in SL

Teoria sistemi equipollenti

Se sposto F da A a B nasce un momento di TRASPORTO

M_TR = B - A × F̅

Per avere lo stesso effetto quando sposto un forza devo considerare il momento

F in B + M₇ = F̅ × B - A

Oppure metodo veloce:

• Risultanti allo stesso modo
• Momenti uguali per assi, M_x, M_y, M_z:

M_x = F₄ (GC - EC) + F_z GC - F₁ (GA + AB) = -150 Nm

M_y = F₁ CD - F_x CB + F_z BC = -200 Nm

M_z = F₃ CD + F_x + F_z BC = 275 Nm

esempio:

ANALISI CINEMATICA: verifica la presenza di centri di rotazione (ISTANTANEA):

VINCOLI TRIPLI: 3 gradi di Vincolo

NO C.I.R.

VINCOLI DOPPI: 2 G.d.V.

1 CIR ≡ centro carrucola

PATTINO:

1 CIR ≡ punto all'infinito

Esercizi:

1).

2 aste → 6 GdL

GdV = 6

Quando se è labile:

NO

2).

2 aste → 6 GdL

6 GdV

NO LABILE a meno che i tre punti all’infinito non stiano su una retta impropria

oppure:

LABILE!

3).

2 aste → 6 GdL

6 GdV

NO LABILE (No CMP)

(Può guarare stabilità ∞)

es 3:

Bielle

GdL = 12

GdV = 12

CIR in O → labile

GdL = 12

GdV = 12

Considero la configurazione proposta alla classe di banchi

CIR in O → LABILE

GdL = 8

GdV = 8

Considero un’alternativa

Si incontrano alla ∞

LABILE!

ESERCITAZIONE 4:

31/10/13

Corpo rigido con centro di massa soggetto alla F_p:

P_i = m_i · g

[G-O] × ϱ = Σ [P_i-O] × P_i

• X_G M_g = Σ x_i m_i g
• Y_G M_g = Σ y_i m_i g
• Z_G M_g = Σ z_i m_i g

→ X_G = Σ x_i m / M {Y_G, Z_G}

es.: X_G = ^{m₂ x₂}/_{m1 + m2}

X_G = ^{∫ x ρ dV}/_M = ^{∫ x dV}/_V

Y_G = ^{∫ y dV}/_V     Z_G = ^{∫ z dV}/_V

X_G = ^{∫ x dA}/_A     Y_G = ^{∫ y dA}/_A

MOMENTI STATICI

DEL PRIMO ORDINE (calcolo baricentro)

es.:

J_x = ?

J_x4 = ¹/₁₂ b . 5³ + ( ^h+5/₂ + 5 )² b . 5

J_x2 = ¹/₁₂ 5h³

J_x3 = ¹/₁₂ b . 5³ + ( ^h+5/₂ )² . b . 5

⇒ J_x = ¹/₁₂ 5h³ + 2 ( ¹/₁₂ b . 5³ + ( ^h+5/₂ )² b . 5 )

ROTAZIONE:

J_x, J_y, J_xy

J_x’, J_y’, J_xy’

x’ = x cos θ + y sen θ

y’ = -x sen θ + y cos θ

J_x = ∫_A (y’)² dA = cos²θ ∫_A y² dA - 2 senθ cosθ ∫_A xy dA + sen²θ ∫_A x² dA =

= J_x cos²θ - 2 J_xy sen θ cos θ + J_y sen²θ

J_y’ = J_x sen²θ + 2 J_xy senθ cosθ + J_y cos²θ

J_xy’ = (J_x - J_y) sen θ cos θ + J_xy (cos²θ - sen²θ) = 0

= ^{J_x - J_y}/₂ sen 2θ + J_xy cos 2θ = 0 ⇒ tg 2θ = ^{2 J_xy}/_{Jy - Jx}

FA = 1000 N

FC = ?

FAy = FA cos(20°) = 939 N

FAz = FA sin(20°) = 342 N

FAz = 23400 N

23,400 = FCz

→ FCz = 1950 N

1950

FC = = 2075 N

FCy = 2075 sin(20°) = 709 N

ΣMz = 0:

345 . 45 - V2z . 75 - 1950 . 95 = 0

V2z = -2264 N

ΣEz = 0: V1z - 342 - 2264 + 1950 = 0

→ V1z = 656 N

V2y = 334 N

V1y = -564 N

es. 5:

∑F_x = 0: R_Ax = R_Cx → R_Ax = R_C ^√2/₂

∑F_y = 0: R_Cy + R_Ay - P = 0 → R_Ay - P + R_C ^√2/₂ = 0

∑M_A = 0: -P * _a/³ + R_C * a ^√2/₂ = 0 → R_C = ²/₃ √2 P

→ R_Ax = ²/₃ P , R_Ay = P/₃

Azioni interne:

1- Analizzo 0 ≤ x < ²/₃ a

N: ²/₃ P + N = 0 → N = -²/₃ P

T: P/₃ + T = 0 → T = -P/₃

M: N₁ = P/₃ x = 0 → M = P/₃ x

2- ²/₃ a ≤ x ≤ a

N: ²/₃ P + N = 0 → N = -²/₃ P

T: T - φ + P/₃ = 0 → T₂ = P/₃ P

M: P/₃ x - <sub=2/ P → M = N/₃ P x - ²/₃ a