Esercitazione su: Serie di Fourier – Domini di funzione due variabili (Analisi 2)

Università di Bergamo Anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 1

Analisi Matematica II

Serie di Fourier – domini di funzione

Serie di Fourier

Sia la funzione periodica, di periodo tale che

Esercizio 1.1. f (x) 2⇡,

8x 2 [ ⇡, ⇡), f (x) = x.

a) Calcolare la serie di Fourier di .

f

b) Sfruttando opportunamente il teorema di convergenza puntuale della serie di Fou-

rier, dedurre il valore della serie 1

X h

( 1) .

2h + 1

h=0

Sia la funzione periodica, di periodo tale che

Esercizio 1.2. f (x) 2⇡,

( >

se

⇡ x 0

8x 2 [ ⇡, ⇡), f (x) = se

⇡ x < 0.

a) Calcolare la serie di Fourier di .

f

b) Sfruttando opportunamente il teorema di convergenza puntuale della serie di Fou-

rier, dedurre il valore della serie 1

X h

( 1) .

2h + 1

h=0

Sia la funzione periodica, di periodo tale che

Esercizio 1.3. f (x) 2⇡,

( 6

se

2 ⇡ x< 0

f (x) = 6

se

1 0 x < ⇡.

Calcolare la serie di Fourier di .

f 1

Sia la funzione periodica, di periodo tale che

Esercizio 1.4. f (x) 2⇡,

8x 2 |x|.

[ ⇡, ⇡), f (x) =

a) Calcolare la serie di Fourier di .

f

b) Sfruttando opportunamente il teorema di convergenza puntuale della serie di Fou-

rier, dedurre il valore della serie 1

X 1 .

2

(2h + 1)

h=0

Sia la funzione periodica, di periodo tale che

Esercizio 1.5. f (x) 2⇡,

2

8x 2 [ ⇡, ⇡), f (x) = x .

a) Calcolare la serie di Fourier di .

f

b) Sfruttando opportunamente il teorema di convergenza puntuale della serie di Fou-

rier, dedurre il valore della serie 1

X 1 .

2

n

n=1

Sia la funzione periodica, di periodo tale che

Esercizio 1.6. f (x) 2⇡,

2

8x 2 [0, 2⇡), f (x) = x ⇡x.

a) Calcolare la serie di Fourier di .

f

b) Sfruttando opportunamente il teorema di convergenza puntuale della serie di Fou-

rier, dedurre il valore della serie 1

X n+1

( 1) .

2

n

n=1

Sia la funzione periodica, di periodo tale che

Esercizio 1.7. f (x) 2⇡,

8x 2 |x|.

[ ⇡, ⇡), f (x) = ⇡

a) Calcolare la serie di Fourier di .

f

b) Discutere la convergenza della serie su R.

2

Sia la funzione periodica, di periodo tale che

Esercizio 1.8. f (x) 2⇡,

2

8x 2 [ ⇡, ⇡), f (x) = sin x.

a) Calcolare la serie di Fourier di .

f

b) Discutere la convergenza della serie su R.

Sia la funzione periodica, di periodo tale che

Esercizio 1.9. f (x) 2⇡,

8x 2 |

[ ⇡, ⇡), f (x) = sin x|.

a) Calcolare la serie di Fourier di .

f

Sia la funzione periodica, di periodo tale che

Esercizio 1.10. f (x) 2⇡,

( 6

se

x ⇡ x< 0

f (x) = 6

se

1 0 x < ⇡.

a) Calcolare la serie di Fourier di .

f

b) Discutere la convergenza della serie su R.

Sia data la funzione su Dopo averla prolungata

Esercizio 1.11. 2 2

f (x) = ⇡ x [0, ⇡].

in modo dispari su e poi per periodicità su tutto determinare la serie di

R,

( ⇡, 0) 2⇡

Fourier associata e discuterne la convergenza su R.

Sia data la funzione Verificare se è una

Esercizio 1.12. f (x) = 2 + sin(x) + 3 cos(2x).

funzione periodica di periodo e determinarne la serie di Fourier associata.

2⇡,

Domini di funzione

Esplicitare il dominio delle seguenti funzioni reali di due variabili reali

Esercizio 1.13.

e rappresentarlo graficamente nel piano.

p

a) 2

a(x, y) = (x y)(x y);

p

b) 4 2 2

b(x, y) = y (x y );

p 2

4 y x + 4

c) ;

c(x, y) = y x +2

p

d) 2 2 2

d(x, y) = (x y + 1)(x 1); 3

e) ;

x 2

e(x, y) = log (y e )(x y + 1)

f) (non fare casi particolari per razionale);

y

f (x, y) = log log(x ) y

|x| |y|))

log(arctan(2

g) ;

p

g(x, y) = 2

x 1

arccos(y x) ;

h) p

h(x, y) = 2 2

4 x 4y

i) 2 2

i(x, y) = log(sin(⇡(x + y )));

p

j) 2 2

j(x, y) = cos(x + y );

p 2

x xy

k) ;

k(x, y) = 2 2

log(1 x y )

 e

x 1

l) ;

l(x, y) = y + log x p

1

p

m) ;

2 2 2

m(x, y) = (4 y ) + (y x )

2

p

log(x y x)

n) ;

n(x, y) = xy 1

p

1 + y(sin x 1)

o) ;

p

o(x, y) = 1 x(x 10)

p 2 ⇡

sin(2y) + (4 y )

p) ;

p(x, y) = 2 2

x y

2 + arccos e

p

⇥ ⇤ 1 2

2 2

sin ⇡ x + y + log(3x x )

2

q) ;

p

q(x, y) = 2

9 y

✓ ◆ 1/4

1

r) .

r(x, y) = 1 xy 4

Università di Bergamo Anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 1

Analisi Matematica II

Serie di Fourier – domini di funzione

Serie di Fourier

Esercizio 1.1. Sia la funzione periodica, di periodo tale che

f (x) 2⇡,

8x 2 [ ⇡, ⇡), f (x) = x.

a) Calcolare la serie di Fourier di .

f

Grafico della funzione:

1. y

⇡ x

⇡

⇡ ⇡

La funzione è “dispari” quindi la sua serie di Fourier è della forma

1

X

Sf (x) = b sin(kx).

k

k=1

Si ricorda che “dispari” significa dispari tranne al massimo per un numero finito di

punti di un periodo, in questo caso ±⇡.

x =

I coefficienti si possono calcolare usando la formula

b k Z Z

⇡ ⇡

1 1

> dx dx

N,

8k 2 k 1, b = f (x) sin(kx) = x sin(kx)

k ⇡ ⇡

⇡ ⇡

1

 Z

⇡ ⇡

1 1 dx

= x cos(kx) + cos(kx)

k⇡ k⇡ ⇡

⇡

k+1

( 1)

=2 .

k

La serie di Fourier di è quindi

f 1

X k+1

( 1)

Sf (x) = 2 sin(kx).

k

k=1

b) Sfruttando opportunamente il teorema di convergenza puntuale della serie di Fourier,

dedurre il valore della serie 1

X n

( 1) .

2n + 1

n=0

La funzione è regolare a tratti su infatti è derivabile su e

f [ ⇡, ⇡], ( ⇡, ⇡)

lim f (x) = ⇡

x!⇡

lim f (x) = ⇡

+

x!( ⇡) 0 0

lim f (x) = lim f (x) = 1.

+

x!⇡ x!( ⇡)

Per cui, se la funzione è uguale alla sua serie di Fourier e perciò

⇡ < x < ⇡, 1

X n+1

( 1)

x =2 sin(kx).

n

k=1

In particolare, per , abbiamo

⇡

x = 2 ✓ ◆

1

X n+1

⇡ ( 1) k⇡

=2 sin .

2 n 2

k=1

Siccome 8 9

se

0 k = 4h >

> (

> >

✓ ◆ < = se

se 0 k = 2n

k⇡ 1 k = 4h + 1

sin = =

se se

0 k = 4h + 2

> > n

2 ( 1) k = 2n + 1,

> >

: ;

se

1 k = 4h + 3

abbiamo ✓ ◆

1 1

X X

k+1 n

( 1) k⇡ ( 1)

sin =

k 2 2n + 1

n=0

k=1

per cui 1

X n

( 1) ⇡

= .

2n + 1 4

n=0 2

Esercizio 1.2. Sia la funzione periodica, di periodo tale che

f (x) 2⇡,

( >

se

⇡ x 0

8x 2 [ ⇡, ⇡), f (x) = se

⇡ x < 0.

a) Calcolare la serie di Fourier di .

f

Grafico della funzione:

2. y

⇡ x

⇡

⇡ ⇡

La funzione è “dispari” quindi la sua serie di Fourier è della forma

1

X

Sf (x) = b sin(kx).

k

k=1

Si ricorda che “dispari” significa dispari tranne al massimo per un numero finito di

punti di un periodo, in questo caso e ±⇡.

x = 0 x =

I coefficienti si possono calcolare usando la formula

b k Z Z

⇡ ⇡

1 2

> dx dx

N,

8k 2 k 1, b = f (x) sin(kx) = f (x) sin(kx)

k ⇡ ⇡

⇡ 0



Z ⇡

⇡ 2

dx

=2 sin(kx) = cos(kx)

k

0 0

k+1

1 + ( 1)

=2 .

n

Osserviamo che, per N,

2

n b = 0

2n 4

b = .

2n+1 2n + 1

3

La serie di Fourier di è quindi

f 1

X sin((2n + 1)x)

Sf (x) = 4 .

2n + 1

n=0

b) Sfruttando opportunamente il teorema di convergenza puntuale della serie di Fourier,

dedurre il valore della serie 1

X n

( 1) .

2n + 1

n=0

La funzione è regolare a tratti su infatti è derivabile su e

f [ ⇡, ⇡], ( ⇡, 0) (0, ⇡)

e lim f (x) = lim f (x) = ⇡

+

x!⇡ x!0

lim f (x) = lim f (x) = ⇡

+

x!0 x!( ⇡)

0 0 0 0

lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) = 0.

+ +

x!⇡ x!0 x!0 x!( ⇡)

Per cui, se la funzione è uguale alla sua serie di Fourier e perciò

0 < x < ⇡, 1

X sin((2n + 1)x)

⇡ =4 .

2n + 1

n=0

In particolare, per , abbiamo

⇡

x = 2

✓ ◆ ⇣ ⌘

1 1 1

X X X n

⇡ 1 (2n + 1)⇡ 1 ⇡ ( 1)

= sin = sin + n⇡ = .

4 2n + 1 2 2n + 1 2 2n + 1

n=0 n=0 n=0

Esercizio 1.3. Sia la funzione periodica, di periodo tale che

f (x) 2⇡,

( 6

se

2 ⇡ x< 0

f (x) = 6

se

1 0 x < ⇡.

Calcolare la serie di Fourier di .

f

Grafico della funzione:

3. y

2

1 x

⇡

⇡ 4

La serie di Fourier della funzione è della forma

⇣ ⌘

1

X

a 0

Sf (x) = + a cos(kx) + b sin(kx) ,

k k

2 k=1

dove i coefficienti e si possono calcolare usando le formule

a b

k k

Z Z Z

⇡ 0 ⇡

1 2 1

dx dx dx

N,

8k 2 a = f (x) cos(kx) = cos(kx) + cos(kx)

k ⇡ ⇡ ⇡

⇡ ⇡ 0

Z Z Z

⇡ 0 ⇡

1 2 1

dx dx dx.

b = f (x) sin(kx) = sin(kx) + sin(kx)

k ⇡ ⇡ ⇡

⇡ ⇡ 0

>

Se k 1,  

0 ⇡

2 1

a = sin(kx) + sin(kx)

k k⇡ k⇡

⇡ 0

= 0.  

0 ⇡

2 1

b = cos(kx) cos(kx)

k k⇡ k⇡

⇡ 0

2 cos(k⇡) 2 + 1 cos( k⇡) 1 k

= = 1 ( 1)

k⇡ k⇡

( se è dispari

2 k

k⇡

= se è pari.

0 k

Inoltre a = 3.

0

La serie di Fourier di è quindi

f 1

X

3 2 sin((2n + 1)x)

Sf (x) = .

2 ⇡ 2n + 1

n=0

Osserviamo che la funzione è quasi “dispari&rdquo