Esercitazione su: Serie di Fourier – Domini di funzione due variabili (Analisi 2)

Formule per la serie di Fourier

Xa 0Sf (x) = + a cos(kx) + b sin(kx) ,k k2 k=1dove i coefficienti e si possono calcolare usando le formulea bk kZ Z Z⇡ 0 ⇡1 2 1dx dx dxN,8k 2 a = f (x) cos(kx) = cos(kx) + cos(kx)k ⇡ ⇡ ⇡⇡ ⇡ 0Z Z Z⇡ 0 ⇡1 2 1dx dx dx.b = f (x) sin(kx) = sin(kx) + sin(kx)k ⇡ ⇡ ⇡⇡ ⇡ 0>Se k 1,  0 ⇡2 1a = sin(kx) + sin(kx)k k⇡ k⇡⇡ 0= 0.  0 ⇡2 1b = cos(kx) cos(kx)k k⇡ k⇡⇡ 02 cos(k⇡) 2 + 1 cos( k⇡) 1 k= = 1 ( 1)k⇡ k⇡( se è dispari2 kk⇡= se è pari.0 kInoltre a = 3.0La serie di Fourier di è quindif 1X3 2 sin((2n + 1)x)Sf (x) = .2 ⇡ 2n + 1n=0Osserviamo che la funzione è quasi “dispari” nel senso che è “dispari”, cioè32f (x)dispari tranne nei punti della forma con La sua serie di Fourier è quindiZ.2x = h⇡ hpiù la serie di Fourier di una funzione dispari.32Esercizio 1.4. Sia la funzione periodica, di periodo tale chef (x) 2⇡,8x 2 |x|.[ ⇡, ⇡), f (x) =a)

x π,1Xπ 4 1|x| = cos((2n + 1)x).22 π (2n + 1)n=0
In particolare, per abbiamox = 0, 1X2π 1= .28 (2n + 1)n=0

Esercizio 1.5. Sia la funzione periodica, di periodo tale che
f (x) 2π,28x 2 [ π, π), f (x) = x .

a) Calcolare la serie di Fourier di f.

Grafico della funzione:
5. y
   2π x
   π

La funzione è pari quindi la sua serie di Fourier è della forma
1X
a 0
Sf (x) = + a cos(kx).
k2 k=1

I coefficienti si possono calcolare usando la formula
a k Z Z
π π
1 1
dx dx
N, 28k 2 a = f (x) cos(kx) = x cos(kx)
k π π
>se k ≠ 1, ≤ π π
1 2 dx
= x sin(kx) x sin(kx)
kπ π π
>se k = 1, ≤ π π
2 dx
= x cos(kx) cos(kx)
2 2k π k π π
>se k = 1, ≤ π π
2 2 dx
= x cos(kx) cos(kx)
2 2k π k π π

k
4( 1)
= .2k

Inoltre
π π
2 dx
a = x = .0
π 3π

La serie di Fourier di f è quindi
1X
2 kπ ( 1)
Sf (x) = +4 cos(kx).
23 k
k=1

b) Sfruttando opportunamente il teorema di convergenza puntuale della serie di Fourier,
dedurre il valore della serie
1X
1
.2k
k=1

La funzione è regolare a tratti su infatti

è derivabile su continuaf [ ⇡, ⇡], ( ⇡, ⇡),su eR 0lim f (x) = 2⇡x!⇡ 0lim f (x) = 2⇡.+x!( ⇡)6 6Per cui, se la funzione è uguale alla sua serie di Fourier e perciò⇡ x ⇡, 1X2 k⇡ ( 1)2x = +4 cos(kx).23 kk=1In particolare, per abbiamox = ⇡, 1X22⇡ 1=4 ,23 kk=18per cui 1X 21 ⇡= .2k 6k=1Osserviamo che, valutando in si trova chex = 0,1X k+1 2( 1) ⇡= .2k 12k=1Esercizio 1.6. Sia la funzione periodica, di periodo tale chef (x) 2⇡,28x 2 [0, 2⇡), f (x) = x ⇡x.a) Calcolare la serie di Fourier di .fGrafico della funzione:6. y22⇡ 2⇡ x⇡⇡ 2⇡La serie di Fourier della funzione è della forma⇣ ⌘1Xa 0Sf (x) = + a cos(kx) + b sin(kx) ,k k2 k=1dove i coefficienti e si possono calcolare usando le formulea bk kZ 2⇡1 dxN,8k 2 a = f (x) cos(kx)k ⇡ 0Z 2⇡1 dx.b = f (x) sin(kx)k ⇡ 0 9>Se k 1, Z 2⇡1 dx2a = x ⇡x cos(kx)k ⇡ 0 Z2⇡ 2⇡1 1 dx2= x ⇡x sin(kx) (2x ⇡) sin(kx)k⇡ k⇡ 00 Z2⇡ 2⇡1 2 dx= (2x ⇡)

cos(kx) cos(kx)2 2k ⇡ k ⇡ 004= .2k Z 2⇡1 dx2b = x ⇡x sin(kx)k ⇡ 0 Z2⇡ 2⇡1 1 dx2= x ⇡x cos(kx) + (2x ⇡) cos(kx)k⇡ k⇡ 00 Z2⇡ 2⇡2⇡ 1 2 dx= + (2x ⇡) sin(kx) sin(kx)2 2k k ⇡ k ⇡ 002⇡= .kInoltre Z 2⇡ 21 2⇡dx2a = x ⇡x = .0 ⇡ 30La serie di Fourier di è quindif ✓ ◆1X2⇡ 4 2⇡Sf (x) = + cos(kx) sin(kx) .23 k kk=1b) Sfruttando opportunamente il teorema di convergenza puntuale della serie di Fourier,dedurre il valore della serie 1X k+1( 1) .2kk=1La funzione è regolare a tratti su infatti è derivabile su ef [0, 2⇡], (0, 2⇡)2lim f (x) = 2⇡x!(2⇡)lim f (x) = 0+x!0 0lim f (x) = 3⇡x!(2⇡) 0lim f (x) = ⇡.+x!010Per cui, se la funzione è uguale alla sua serie di Fourier e perciò0 < x < 2⇡, ✓ ◆1X2⇡ 4 2⇡2x ⇡x = + cos(kx) sin(kx) .23 k kk=1In particolare, per abbiamox = ⇡, 1X2 k+1⇡ ( 1)= .212 kk=1Esercizio 1.7. Sia la funzione periodica, di periodo tale chef (x) 2⇡,8x 2 |x|.[ ⇡, ⇡),

f (x) = π

a) Calcolare la serie di Fourier di f.

Grafico della funzione:

y = 3sin(2x)

La funzione è pari quindi la sua serie di Fourier è della forma:

Sf (x) = a0 + Σ(a*cos(kx))

I coefficienti si possono calcolare usando la formula:

ak = (1/π) * ∫(π,-π) f(x) * cos(kx) dx

Se k ≠ 1, ak = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(kx) dx

Se k = 1, ak = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) dx

Osserviamo che, per n ≠ 0, tranne se a = 0, an = 0 e bn = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * sin(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx - π/2) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π * sin(2x)) * cos(nx) dx = (1/π) * ∫(π,-π) (π *La funzione periodica, di periodo tale che f(x) = 2π, 0 ≤ x < 2π, f(x) = sin(x). a) Calcolare la serie di Fourier di f. Grafico della funzione: La funzione è pari quindi la sua serie di Fourier è della forma: f(x) = a0 + Σ(a*cos(kx) + b*sin(kx)), k=1 I coefficienti si possono calcolare usando la formula: ak = (1/π) * ∫[0, 2π] f(x) * cos(kx) dx bk = (1/π) * ∫[0, 2π] f(x) * sin(kx) dx Tuttavia, possiamo osservare che sin(x) è già la decomposizione in serie di Fourier di se stessa. Abbiamo a0 = 0 e gli altri coefficienti ak = 0, bk = 1 per k ≠ 0. b) Discutere la convergenza della serie su R. La serie ha solo un termine diverso da zero, quindi converge a sin(x) su tutto R.Il testo formattato con i tag HTML è il seguente:

cos(kx).k2 k=1I coefficienti si possono calcolare usando la formulaak Z Z⇡ ⇡1 2dx dxN,8k 2 a = f (x) cos(kx) = f (x) cos(kx)k ⇡ ⇡⇡ 0Z Z⇡ ⇡2 2dx dx.|= sin x| cos(kx) = sin x cos(kx)⇡ ⇡0 013Sfruttiamo le cosiddette formule di WernerZ ⇡1 dx.= (sin((k + 1)x) sin((k 1)x))⇡ 0Per 6k = 1,  ⇡1 1= cos((k 1)x) cos((k + 1)x)(k 1)⇡ (k + 1)⇡ 0k 1 k+1( 1) 1 ( 1) 1= (k 1)⇡ (k + 1)⇡e, siccome ,k+1 k 1( 1) = ( 1) k 12 ( 1) 1= 2(k 1)⇡( se4 k = 2n2(4n 1)⇡= se dispari.0 kInvece Z ⇡1 dxa = sin 2x = 0,1 ⇡ 0come per gli altri dispari.kLa serie di Fourier della funzione è quindi 1