Esercitazione su: Punti stazionari e Funzioni implicite (Analisi 2)

Università di Bergamo Anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 8

Analisi Matematica II

Punti stazionari, funzioni implicite

Punti stazionari

Ricercare e classificare i punti stazionari (o critici) delle seguenti fun-

Esercizio 8.1.

zioni:

a) 3 2

f (x, y) = x + xy + xy;

1

b) 2 2

f (x, y) = xy(x + y 1);

2

c) ;

4 2 2 2 2

f (x, y) = x x y 2x + 2y

3

d) |xy|(x

f (x, y) = + y 1);

4 1 1 1

e) f (x, y, z) = + + + xyz;

5 x y z

f) 2 3 2 2

f (x, y) = x y x y x y + 1;

6

g) 2 2

f (x, y) = x y + x 2y;

7

h) 2 2

f (x, y) = log(1 + x y );

8

i) 2

f (x, y) = xy y + 3;

9

k) 4 4 2

f (x, y) = x y + 2(x y) + 15;

11

l) 2 2 2

f (x, y) = x ((y 1) + x 1).

12

m) 2 2 2

f (x, y) = x (y x y ).

13

n) 2

f (x, y) = 7xy (y x).

14

o) .

2

2 2 2 3

f (x, y, z) = x + y + z z

15 3 1

Funzioni implicite

Sia

Esercizio 8.2. x+y

f (x, y) = e + log(y) 1.

Data l’equazione f (x, y) = 0,

stabilire se è possibile esprimere in modo unico in funzione di in un intorno del

y x

punto In caso affermativo, scrivere il polinomio di Taylor al secondo ordine

( 1, 1).

della funzione che esprime in funzione di intorno al punto

y x 1.

Sia

Esercizio 8.3. f (x, y) = log(x + y) + y cos x 1.

Data l’equazione f (x, y) = 0,

stabilire se è possibile esprimere in modo unico in funzione di in un intorno del

y x

punto In caso affermativo, scrivere il polinomio di Taylor al secondo ordine della

(0, 1).

funzione che esprime in funzione di intorno al punto

y x 0.

Sia

Esercizio 8.4. 4

f (x, y) = x + 4y + cos x cos y = 0.

Stabilire se l’equazione f (x, y) = 0

definisce implicitamente un’unica funzione in un intorno di In caso

y = '(x) (0, 0).

affermativo calcolare e

0 00

' (0) ' (0).

Determinare i punti a tangente orizzontale e i punti a tangente verticale

Esercizio 8.5.

della curva di equazione 4 2 2 3 2

4(x + x y ) 12x y + x = 0.

Sia

Esercizio 8.6. 3 3

f (x, y) = x + y 3xy.

Determinare i valori per i quali l’equazione

R

2

x 0 f (x, y) = 0

definisce implicitamente una funzione nell’intorno di con per

y = '(x) x f (x , y ) = 0

0 0 0

qualche R.

2

y 0 Sia

Esercizio 8.7. x y 2 2

f (x, y) = e + x y e(x + 1) + 1.

Verificare che l’equazione f (x, y) = 0

definisce implicitamente un’unica funzione in un intorno di con

y = g(x) x = 0 g(0) =

Dimostrare che è un punto di minimo locale per

1. x = 0 g(x).

2

Università di Bergamo Anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 8

Analisi Matematica II

Punti stazionari, funzioni implicite

Punti stazionari

Esercizio 8.1. Ricercare e classificare i punti stazionari (o critici) delle seguenti funzioni:

a) 3 2

f (x, y) = x + xy + xy.

1

Abbiamo @f @f

1 1

2 2

= 3x + y + y = x(2y + 1).

@x @y

Per poter capire la natura dei punti stazionari, calcoliamo la matrice hessiana della

funzione. Le derivate parziali seconde sono:

2 2

@ f @ f

1 1

= 6x = 2x

2 2

@x @y

2 2

@ f @ f

1 1

(x, y) = (x, y) = 2y + 1,

@y@x @x@y

per cui la matrice hessiana di nel punto è

f (x, y)

1 ! ✓ ◆

2 2

@ f @ f

(x, y) (x, y)

1 1 6x 2y + 1

2

H @x @x@y

(x, y) = = .

f 2 2

@ f @ f 2y + 1 2x

1 (x, y) (x, y)

1 1

2

@y@x @y

Dalle derivate prime, i punti stazionari sono i punti tali che

(x, y)

⇢ 2 2

3x + y + y = 0

x(2y + 1) = 0.

Dalla seconda equazione vediamo che i punti stazionari soddisfano o .

1

x = 0 y = 2

• Con nella prima equazione troviamo o Ci sono quindi

x = 0, y = 0 y = 1.

due punti stazionari e Siccome

O(0, 0) A(0, 1). ✓ ◆

0 1

H (0, 0) = ,

f 1 0

1

la matrice hessiana è quindi indefinita per cui il punto è un punto di

O (0, 0)

sella. Siccome ✓ ◆

0 1

H (0, 1) = ,

f 1 0

1

la matrice hessiana è quindi indefinita per cui il punto è un punto

A (0, 1)

di sella. 1

• Con , nella prima equazione troviamo Ci sono quindi

1 14

2

y = 3x = 0.

⇣ ⌘ ⇣ ⌘

2

due punti stazionari e . Siccome

1 12 1 12

B , C ,

p p

2 3 2 3 p

✓ ◆ ✓ ◆

1 1 3 0

H p , = ,

f 1

0

1 p

2

2 3 3 ⇣ ⌘

la matrice hessiana è quindi definita negativa per cui il punto 1 1

B ,

p 2

2 3

è un punto di massimo relativo. Siccome p

✓ ◆ ✓ ◆

1 1 3 0

H p , = ,

f 1

0

1 p

2

2 3 3 ⇣ ⌘

la matrice hessiana è quindi definita positiva per cui il punto è

1 1

C ,

p 2

2 3

un punto di minimo relativo.

b) 2 2

f (x, y) = xy(x + y 1).

2

Abbiamo @f @f

2 2

2 2 2 2

= y(3x + y 1) = x(x + 3y 1).

@x @y

Per poter capire la natura dei punti stazionari, calcoliamo la matrice hessiana della

funzione. Le derivate parziali seconde sono:

2 2

@ f @ f

2 2

= 6xy = 6xy

2 2

@x @y

2 2

@ f @ f

2 2 2 2

(x, y) = (x, y) = 3x + 3y 1,

@y@x @x@y

per cui la matrice hessiana di nel punto è

f (x, y)

2 ! ✓ ◆

2 2

@ f @ f 2 2

(x, y) (x, y)

2 2 6xy 3x + 3y 1

2

H @x @x@y

(x, y) = = .

f 2 2 2 2

@ f @ f 3x + 3y 1 6xy

2 (x, y) (x, y)

2 2

2

@y@x @y

Dalle derivate prime, i punti stazionari sono i punti tali che

(x, y)

⇢ 2 2

y(3x + y 1) = 0

2 2

x(x + 3y 1) = 0.

Dalla prima equazione vediamo che i punti stazionari soddisfano o 2

y = 0 3x +

2

y 1 = 0. 2

• Con nella seconda equazione vediamo che o Abbiamo

±1.

y = 0, x = 0 x =

tre punti stazionari e Siccome

O(0, 0), A(1, 0) B( 1, 0).

✓ ◆

0 1

H (0, 0) = ,

f 1 0

2

la matrice hessiana è quindi indefinita per cui il punto è un punto di

O (0, 0)

sella. Siccome ✓ ◆

0 2

H (1, 0) = ,

f 2 0

2

la matrice hessiana è quindi indefinita per cui il punto è un punto di

A (1, 0)

sella. La matrice hessiana in è la stessa di quella in per cui il punto è

B A B

un punto di sella.

• Con cioè , nella seconda equazione vediamo che

2 2 2 2

3x + y 1 = 0, y = 1 3x

per cui o . Se , viene e quindi

1 12 14

2 2

± ±

x(2 8x ) = 0 x = 0 x = x = y =

2

ci sono quattro punti stazionari di coordinate . Invece con

12 12

± ±

, x = 0,

viene ovvero Abbiamo quindi due ulteriori punti stazionari

2 ±1.

y = 1 y =

e La matrice hessiana in e stessa di quella in per

C(0, 1) D(0, 1). C D A

cui i punti e sono punti di sella. Siccome

C D ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆

3 1

1 1 1 1

H H 2 2

, = , = ,

f f 1 3

2 2

2 2 2 2 2 2

le matrici hessiane sono quindi definite positive per cui i punti di coordinate

sono punti di minimo relativo. Siccome

12 12

± , ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆

3 1

1 1 1 1

H H 2 2

, = , = ,

f f 1 3

2 2

2 2 2 2 2 2

le matrici hessiane sono quindi definite negative per cui i punti di coordinate

sono punti di massimo relativo.

1 1

± ,

2 2

Si può osservare che dal segno di si poteva dedurre la natura dei punti criti-

f 2

ci. Infatti, all’esterno del disco unitario la funzione è positiva nei primo e terzo

quadrante, e negativa negli altri due; nel disco è il contrario. Da questo si deduce

che i punti stazionari sugli assi sono punti di sella. Guardando il quarto di disco

> > 6 per il teorema di Weierstrass esiste un

2 2

{(x, |

Q = y) x 0, y 0, x + y 1},

I

massimo e un minimo; sul bordo di la funzione è nulla mentre nel’interno è

Q I

positiva; quindi il minimo è sul bordo e il massimo all’interno ed è quindi un punto

stazionario; siccome all’interno l’unico punto stazionario è il punto di coordinate

, questo è un punto di massimo relativo.

1 1

,

2 2

Si può ragionare nello stesso modo nei tre altri quarti di disco.

3

c) .

4 2 2 2 2

f (x, y) = x x y 2x + 2y

3

Abbiamo @f @f

3 3

2 2 2

= 2x(2x y 2) = 2y(2 x ).

@x @y

Per poter capire la natura dei punti stazionari, calcoliamo la matrice hessiana della

funzione. Le derivate parziali seconde sono:

2 2

@ f @ f

3 3

2 2 2

= 12x 2y 4 = 2x + 4

2 2

@x @y

2 2

@ f @ f

3 3

(x, y) = (x, y) = 4xy,

@y@x @x@y

per cui la matrice hessiana di nel punto è

f (x, y)

3 ! ✓ ◆

2 2

@ f @ f 2 2

(x, y) (x, y)

3 3 12x 2y 4 4xy

2

H @x @x@y

(x, y) = = .

f 2 2 2

@ f @ f 4xy 2x + 4

3 (x, y) (x, y)

3 3

2

@y@x @y

Dalle derivate prime, i punti stazionari sono i punti tali che

(x, y)

⇢ 2 2

2x(2x y 2) = 0

2

2y(2 x ) = 0.

Dalla seconda equazione vediamo che i punti stazionari soddisfano o

y = 0 x =

p

± 2.

• Se dalla prima equazione vediamo che o Abbiamo

±1.

y = 0, x = 0 x =

quindi tre punti stazionari e Siccome

O(0, 0), A(1, 0) B( 1, 0).

✓ ◆

4 0

H (0, 0) = ,

f 0 4

3

la matrice hessiana è quindi 0 per cui il punto è un punto di indefini-

O (0, 0)

ta.sella Siccome ✓ ◆

8 0

H (1, 0) = ,

f 0 2

3

la matrice hessiana è quindi 0 per cui il punto è un punto di definita

A (1, 0)

positiva.minimo relativo La matrice hessiana in è la stessa di quella in

B A

per cui il punto è un punto di minimo relativo.

B

p p

• Se dalla prima equazione vediamo che Abbiamo quindi

± ±

x = 2, y = 2.

p p

quattro punti stazionari di coordinate Siccome

±

(± 2, 2).

✓ ◆

⇣ ⌘ ⇣ ⌘

p p p p 16 8

H H

2, 2 = 2, 2 = ,

f f 8 0

3 3

4

le matrici hessiane sono quindi indefinite per cui i due punti di coordinate

p p sono punti di sella. Siccome

± 2, 2 ✓ ◆

⇣ ⌘ ⇣ ⌘

p p p p 16 8

H H

2, 2 = 2, 2 = ,

f f 8 0

3 3

le matrici hessiane sono quindi indefinite per cui i due punti di coordinate

p p sono punti di sella.

± 2, 2

d) |xy|(x

f (x, y) = + y 1).

4

A causa del valore assoluto, suddividiamo il piano in varie regioni.

• Se cioè nel primo e terzo quadrante, allora

xy > 0, f (x, y) = xy(x + y 1).

4

Abbiamo @f @f

4 4

= y(2x + y 1) = x(x + 2y 1).

@x @y

Per poter capire la natura dei punti stazionari, calcoliamo la matrice hessiana

della funzione. Le derivate parziali seconde sono:

2 2

@ f @ f

4 4

= 2y = 2x

2 2

@x @y

2 2

@ f @ f

4 4

(x, y) = (x, y) = 2x + 2y 1,

@y@