Esercitazione su: Punti stazionari e Funzioni implicite (Analisi 2)

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A, del triangolo. • Se cioè nel secondo e quarto quadrante, allora xy < 0, f (x, y) = xy(x + 4Siccome l’espressione è l’opposta di quella precedente, le derivate sono y 1). le opposte e quindi l’unica soluzione è per cui non ci sono punti 13x = y = stazionari in questa parte del dominio. • Se allora per cui Abbiamo @fx = 0, f (0, y) = 0 (0, y) = 0.44 @y |yt|(yf (0 + t, y) f (0, y) + t 1)4 4 = t t per cui, se e il limite non esiste (i limiti laterali saranno 6 6 ± y (yy = 0 y = 1, 1), opposti fra di loro). Il punto è quindi stazionario. Osserviamo che (0, y) e che, per e sufficientemente vicini |h(yf (h, y + k) = + k)|(h + y + k 1) h k4a avrà il segno di e perciò avrà il segno di 0, h + y + k 1 y 1 f (h, y + k)4 Quindi se allora è un punto di minimo locale e se y 1. y > 1, (0, y) y < 1, allora è un punto di massimo locale. (0, y) Se e se e per 12 12 |xy|(x |x| |y|y = 0, f (0, 0) = 0 f (x, y) = + y 1) <

1. 0 < <4 4cui è un punto stazionario che è un punto di massimo locale.O(0, 0)Se per finire abbiamoy = 1, f (0 + t, 1) f (0, 1)4 4 |t|=tper cui Il punto è quindi un punto stazionario. Siccome@f (0, 1) = 0. B(0, 1)4@x ha il segno di e quindi il punto è|h(1f (h, 1 + k) = + k)|k, f (h, 1 + k) k B4 4un punto di sella.• Con lo svolgimento è lo stesso di quello precedente, abbiamo puntiy = 0,stazionari su tutto l’asse, un punto stazionario supplementare che èC(1, 0)anche lui un punto di sella, gli altri punti sono estremi locali.1 1 1e) f (x, y, z) = + + + xyz.5 x y zIl dominio della funzione è Le derivate parziali{(x, | 6 6 6y, z) x = 0, y = 0, z = 0}.sono @f 1 @f 1 @f 15 5 5= + yz, = + xz, = + xy.2 2 2@x x @y y @z z6I punti stazionari soddisfano quindi8 2x yz = 1< 2xy z = 1: 2xyz = 1,per cui, dividendo la prima dalla seconda, cioè tra la prima e la terzaxy = 1, x = y,e quindi Ci sono quindi due punti stazionari

e±1.x = z x = y = z = A(1, 1, 1)B( 1, 1, 1).

Le derivate parziali seconde sono

                                                                                                     

2 2 2@ f @ f x( 3x 4y + 2) 2x6 (x, y) (x, y)6 62@y@x @y 7

Dalle derivate prime, i punti stazionari sono i punti tali che(x, y)⇢ xy( 3x 2y + 2) = 02x ( x 2y + 1) = 0.

• Tutti i punti con coordinate sono punti stazionari. Siccome la matrice(0, y)hessiana ✓ ◆22y 2y 0H (0, y) =f 0 06è semidefinita negativa (se non basta per concludere. Vale6y = 0), f (0, y) = 1.

Abbiamo 2f (x, y) = x y(1 x y) + 1,6per cui 2f (h, y + k) = h (y + k)(1 h y k) + 1.6Se e avrà il segno di per6 6y = 0 y = 1, (y + k)(1 h y k) y(1 y) he sufficientemente vicini a Avremo quindi il punto di coordinatek 0. (0, y)massimo relativo (se o minimo relativo (se Cony(1 y) < 0) y(1 y) > 0).abbiamoy = 0 2f (h, k) = h k(1 h k) + 1,6e quindi è un punto di sella perché per e piccoli quindi(0, 0) 1 h k > 0 h kil termine che si aggiunge a è del segno di Con abbiamo1 = f (0, 0) k. y = 12f (h, 1 + k) = h (1 + k)( h k) + 1,6il termine supplementare ha il segno di per cui di nuovo

è dih k (0, 1)sella.• Se la seconda equazione dice che la prima, dopo aver6x = 0, x = 1 2y,semplificato per che quindi o . Ci sono quindi14x, y( 1 + 4y) = 0 y = 0 y =due punti stazionari supplementari e . Siccome12 14A(1, 0) B ,✓ ◆0 1H (1, 0) = ,f 1 26la matrice hessiana è quindi indefinita per cui il punto è un punto diA (1, 0)sella. Siccome !✓ ◆ 3 11 1H 8 4, = ,f 1 16 2 4 4 2la matrice hessiana è quindi definita negativa per cui il punto è un1 1B ,2 4punto di massimo relativo. 8g) 2 2f (x, y) = x y + x 2y.7Abbiamo @f @f7 7 2= (2y + 2)x = x 2.@x @yPer poter capire la natura dei punti stazionari, calcoliamo la matrice hessiana dellafunzione. Le derivate parziali seconde sono:2 2@ f @ f7 7= 2y + 2 =02 2@x @y2 2@ f @ f7 7(x, y) = (x, y) = 2x,@y@x @x@yper cui la matrice hessiana di nel punto èf (x, y)7 ! ✓ ◆2 2@ f @ f(x, y) (x, y)7 7 2y + 2 2x2H @x @x@y(x, y) = = .f 2 2@ f @ f 2x 07 (x, y) (x, y)7 72@y@x @yDalle derivate prime, i

punti stazionari sono i punti tali che(x, y)⇢ (2y + 2)x = 02x 2 = 0. pDalla seconda equazione vediamo che i punti stazionari hanno ascissa e±x = 2quindi dalla prima che l’ordinata è Otteniamo perciò due punti stazionariy = 1.p pe SiccomeA( 2, 1) B( 2, 1). p✓ ◆⇣ ⌘p 0 2 2pH 2, 1 = ,f 7 2 2 0 pla matrice hessiana è quindi indefinita per cui il punto è un punto diA 2, 1sella. Nello stesso modo p✓ ◆⇣ ⌘p 0 2 2pH 2, 1 =f 7 2 2 0è pure indefinita, quindi è anche lui un punto di sella.Bh) 2 2f (x, y) = log(1 + x y ).8Abbiamo 2 22xy @f 2x y@f 8 8= = .2 2 2 2@x 1 + x y @y 1 + x y9Per poter capire la natura dei punti stazionari, calcoliamo la matrice hessiana dellafunzione. Le derivate parziali seconde sono:2 2 2 2 2 2 2 2@ f 2y (1 x y ) @ f 2x (1 x y )8 8= =2 2 2 2 2 2 2 2@x (1 + x y ) @y (1 + x y )2 2@ f @ f 2xy8 8 ,(x, y) = (x, y) = 2 2 2@y@x @x@y (1 + x y )per cui la matrice hessiana di nel punto èf (x, y)8 ! !2 2

22 2 2y (1 x y ) 2xy@ f @ f(x, y) (x, y)8 8 2 2 2 2 2 22H (1+x y ) (1+x y )@x @x@y(x, y) = = .f 2 2 2 2 2@ f @ f 2x (1 x y )2xy8 (x, y) (x, y)8 82 2 2 2 2 2 2@y@x @y (1+x y ) (1+x y )Dalle derivate prime, i punti stazionari sono i punti tali che(x, y)( 22xy =02 21+x y22x y = 0.2 21+x yAbbiamo perciò come punti stazionari i due assi. La matrice hessiana è nullanell’origine, e in tutti gli altri punti ha un unico coeffciente diverso da (sulla0diagonale). Quindi non possiamo utilizzarla per determinare la natura di questipunti stazionari. Osserviamo però che e ,R, R 28t 2 8(x, 2f (t, 0) = f (0, t) = 0 y)8 8> >quindi I punti degli assi sono quindi punti di minimo2 21 + x y 1 f (x, y) 0.8assoluto, non forti.i) 2f (x, y) = xy y + 3.9Abbiamo @f @f9 9= y = x 2y.@x @yPer poter capire la natura dei punti stazionari, calcoliamo la matrice hessiana dellafunzione. Le derivate parziali seconde sono:2 2@ f @ f9 9= 0 = 22 2@x @y2 2@ f @ f9 9(x, y) = (x, y) = 1,@y@x

@x@yper cui la matrice hessiana di nel punto èf (x, y)9 ! ✓ ◆2 2@ f @ f(x, y) (x, y)9 9 0 12H @x @x@y(x, y) = = .f 2 2@ f @ f 1 29 (x, y) (x, y)9 92@y@x @y10Dalle derivate prime, i punti stazionari sono i punti tali che(x, y)⇢ y =0x 2y = 0.Abbiamo quindi un unico punto stazionario La matrice hessiana è (ovun-O(0, 0).que) indefinita, per cui è un punto di sella. Si può verificare che la superficie diOequazione è un paraboloide iperbolico.2z = xy y + 3j) .2 3 2 2f (x, y) = 3xy + x 3y 3x10Abbiamo @f @f10 102 2= 3(x 2x + y ) = 6y(x 1).@x @yPer poter capire la natura dei punti stazionari, calcoliamo la matrice hessiana dellafunzione. Le derivate parziali seconde sono:2 2@ f @ f10 10= 6(x 1) = 6(x 1)2 2@x @y2 2@ f @ f10 10(x, y) = (x, y) = 6y,@y@x @x@yper cui la matrice hessiana di nel punto èf (x, y)10 ! ✓ ◆2 2@ f @ f(x, y) (x, y)10 10 6(x 1) 6y2H @x @x@y(x, y) = = .f 2 2@ f @ f 6y 6(x 1)10 (x, y) (x, y)10 102@y@x @yDalle derivate prime,

i punti stazionari sono i punti tali che (x, y) → (2x + 23(x^2 + y), 0) = (0, 6y(x-1)). Dalla seconda equazione vediamo che abbiamo: - Nel primo caso, y = 0 e x = 1. - Nel secondo caso, abbiamo ±1. - x = 0 e y = 2. Quindi abbiamo 4 punti stazionari: O(0, 0), A(2, 0), B(1, 1) e C(1, -1). La matrice hessiana nel punto O(0, 0) è: H(0, 0) = [[1, 0], [0, 1]]. La matrice hessiana nel punto A(2, 0) è: H(2, 0) = [[1, 0], [0, 1]]. La matrice hessiana nel punto C(1, 1) è: H(1, 1) = [[0, 6], [6, 0]]. La matrice hessiana nel punto C(1, -1) è: H(1, -1) = [[0, -6], [-6, 0]]. La matrice hessiana nel punto O(0, 0) è quindi definita negativa, quindi il punto è un punto di massimo. La matrice hessiana nel punto A(2, 0) è quindi definita negativa, quindi il punto è un punto di minimo. La matrice hessiana nel punto C(1, 1) è quindi indefinita, quindi il punto è un punto di sella.