Esercitazione su: Integrali di linea di seconda specie e Campi conservativi (Analisi 2)

Esercizio 11.2

Calcolare il lavoro compiuto dal campo di forze quando

F(x, y) = i(x+1) + j(y+1)

il punto di applicazione si sposta lungo l'arco di curva piana di equazione 2y = x, orientata da A(0, 0) a B(1, 1).

Una possibile parametrizzazione dell'arco di curva è r(t) = (t, 2t).

Abbiamo allora r'(t) = (1, 2) per cui il lavoro è:

∫₀¹ (2t)(1) + (t+1)(2t) dt = ∫₀¹ 2t + 2t² + 2t dt = 2∫₀¹ t + t² + t dt = 2[t²/2 + t³/3 + t²/2] from 0 to 1 = 2(1/2 + 1/3 + 1/2) = 2(5/6) = 5/3.

Nell'integrale abbiamo semplificato perché |x| = x per x ≥ 0.

Esercizio 11.3

Siano R²D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x + y ≤ 1} e F(x, y) = (x - y)i + (x + y)j.

Calcolare la circuitazione del campo lungo il bordo di R²D, orientato nel senso positivo (trigonometrico, antiorario).

Il dominio è così fatto:

y | C B | A x O

segmento l'integrale è AB, Z Z1 1 8 1 7dy dy2·L = F(1, y) j = (1 + y) = = .1 3 3 30 0

Sul segmento l'integrale è BC,Z Z1 1 0 ( 1) 1dt dt2· + = .L = F(1 t, 1) ( i) = t =2 3 3 30 0

Attenzione ai segni: bisogna parametrizzare la curva (il segmento) in modo tale che l'ascissa decresca. _Sull'arco di circonferenza una possibile parametrizzazione è data da CA, r(t) = con da a (anche qui: angolo decrescente),⇡ ⇡ ⇡cos t , sin t = (sin t, cos t), t 02 2 2

l'integrale è Z ⇡2 dt·L = F(sin t, cos t) (cos t, sin t)3 0

Z ⇡2 dt2 2= (sin t cos t) cos t (sin t + cos t) sin t0

Z ⇡2 dt2 2= cos t 2 cos t sin t sin t 2 cos t sin t0 2 ⇡2 2 2 223 3= sin t + cos t + cos t sin t =1+0+0 0 1+03 3 3 304= .3

La circuitazione è quindi 7 1 4 2C = L + L + L = = .1 2 3 3 3 3

In alternativa si poteva usare la formula di Gauss–Green !Z ZZ 2 2@ (x + y) @ (x y)dx dy dxdy2 2C = (x y) + (x + y) = @x @y@D DZZ ZZdxdy dxdy= 2(x

+ y) + 2(x y) = 4xD D Z Z Z ⇣ ⌘ 1p1 1 1 4 3dy dx dx 2 22= 4x = 4x 1 1 x = 2x + 1 x 2p 320 1 x 0 04 2=2 = .3 3 p2 yEsercizio 11.4. Calcolare la circuitazione del campo di forze lungoxF(x, y) = i jx+1 y+1 6 6la curva chiusa , orientata in senso frontiera del dominioorario, R 2{(x, 2D = y) :0 x6 621, x y 1}.Il dominio è così fatto:2. y B A2130.5 1 xO 10.5Suddividiamo il bordo in tre curve che è l’arco di parabola, che è il segmento AB1 2con e e che è il segmento Sull’arco il lavoro èA(1, 1) B(1, 0) BO.3 1✓ ◆Z Z0 1 22x 2xdx dx2 ·L = F(x, x ) (1, 2x) =1 2x + 1 x + 11 0 3✓ ◆ Z 11 2 2 ⇡dx= = 2 log(x + 1) arctan x = 2 log 2 .2x +1 x + 1 20 0Sull’arco il lavoro è2 Z Z1 1 2dx dx·L = F(x, 1) (1, 0) = = 2 log 2.2 x +10 0Sull’arco il lavoro è3 Z Z1 1dy dy·L = F(0, y) (0, 1) = 0 = 0.3 0 0La circuitazione è quindi ⇡C = L + L + L = 4 log 2 .1 2 3 2In alternativa si poteva

anche usare la formula di Gauss–Green✓ ◆ ✓ ◆
Z ZZp p2 y @(2 y/(x + 1))x @(x/(y + 1))dx dy dxdyC = = +x +1 y +1 @x @y@D D✓ ◆ ✓ ◆ZZ Z Z1 11 1 1 1dxdy dy dx= + = +p py +1 y(x + 1) y +1 y(x + 1)2D 0 x ✓ ◆Z Zp 11 12 y 2 2xdx dx2= log(y + 1) + = log 2 log(1 + x ) +x + 1 x +1 x +10 02x✓ ◆Z 1 4 dx2= log 2 log(1 + x ) + 2x +10 ✓ ◆Z1 1 22x 4 dx2= x log(1 + x ) + log 2 + + 221 + x x + 100✓ ◆Z 1 2 4 ⇡dx= log 2 + log 2 + = 4 log 2 .21+ x x +1 20Esercizio 11.5. Calcolare la circuitazione del campo di forze lungo la2 2F(x, y) = y i + x jcurva chiusa , orientata in senso frontiera del triangolo di vertici eantiorario, O(0, 0), A(2, 0)B(2, 2).3. y B2 31 2O A x1 214La curva è costituita da tre segmenti. Consideriamo! ! !eOA = (2, 0), AB = (0, 2) BO = ( 2, 2).6 6I segmenti sono parametrizzati nello stesso modo: per 1 i 3, r (t) = (x , y ) + tui i i idove sono le coordinate del punto di partenza, il vettore tra le due estremità(x , y ) ui i idel

segmento e Abbiamo quindi2t [0, 1]. er (t) = (2t, 0), r (t) = (2, 2t) r (t) = (2 2t, 2 2t).1 2 3Per ogni abbiamo . La circuitazione è quindi0i, r (t) = u iiC = L + L + L1 2 3Z Z Z1 1 1dt dt dt0 0 0· · ·= F(r (t)) r (t) + F(r (t)) r (t) + F(r (t)) r (t)1 2 31 2 30 0 0Z Z Z1 1 1dt dt dt· · ·= F(2t, 0) (2, 0) + F(2, 2t) (0, 2) + F(2 2t, 2 2t) ( 2, 2)0 0 0 Z Z Z 11 1 1 2 8dt dt dt2 2 3= 0 + 8 + 2(2 2t) 2(2 2t) = 8 + (2 2t) = .3 30 0 0 0Il campo non è quindi conservativo (il che era evidente perché non è irrotazionale).

Esercizio 11.6. Calcolare il lavoro compiuto dal campo di forze quandoxF(x, y) = i jx+1 y+1il punto di applicazione si sposta lungo l’arco di curva piana di equazione , daorientata2y = xadO(0, 0) A(1, 1).È lo stesso esericizio del 11.2..Campi conservativi

Esercizio 11.7. Verificare che il campo di forze è econservativoy yF(x, y) = e i + (1 + xe )jdeterminare il che si annulla in

(0,0).potenzialeSiano e le due funzioni tali che EssendoP (x, y) Q(x, y) F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)).un campo in due componenti di due variabili, ed essendo il dominio semplicementeconnesso, è conservativo se e solo seF @Q @PR 28(x, 2y) , (x, y) (x, y) = 0.@x @yOra, @Q y(x, y) = e@x 5@P y(x, y) = e ,@yper cui il campo è conservativo.Per calcolare un potenziale, osserviamo cheV (x, y), ✓ ◆@V @VrVF(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) = (x, y) = , ,@x @yper cui, se è una primitiva di rispetto ad allora doveP̃ P x, V (x, y) = P̃ (x, y) + C(y),non dipende da Una primitiva diC(y) x. yP (x, y) = erispetto ad è . Abbiamo quindiyx P̃ (x, y) = xe yV (x, y) = xe + C(y).Vale perciò @V 0yQ(x, y) = (x, y) = xe + C (y)@ye quindi ovvero con costante. Il potenziale da cui deriva0C (y) = 1 C(y) = y + K K Fche si annulla in è quindi(0, 0) yV (x, y) = xe + y.Calcolare il lavoro compiuto dalla forza quando il suo punto di applicazione si sposta daFad descrivendo

una certa traiettoria.O(0, 0) A(4, 1)Essendo il campo conservativo, tale lavoro è la differenza dei valori presi da un qualsiasi potenziale nei due punti e Il lavoro cercato è quindiA O.V (4, 1) V (0, 0) = 4e + 1.Il lavoro compiuto non dipende dalla traiettoria.Esercizio 11.8. Stabilire se il campo✓ ◆⇣ ⌘ ⇣ ⌘y y 1 yf (x, y) = cos , cos2x x x xè conservativo in 2R{(x, 2⌦ = y) : x > 0}e in caso affermativo determinarne un potenziale.6Siano e le due funzioni tali che EssendoP (x, y) Q(x, y) f (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)).un campo in due componenti di due variabili, ed essendo il dominio semplicementeconnesso, è conservativo se e solo sef @Q @P8(x, 2y) ⌦, (x, y) (x, y) = 0.@x @yOra, ⇣ ⌘ ⇣ ⌘y1@ cos@Q 1 y 1 y yx x ·(x, y) = = cos sin2 2@x @x x x x x x⇣ ⌘ ⇣ ⌘y y@ cos@P 1 y y 1 y2x x ·(x, y) = = cos + sin ,2 2@y @y x x x x xper cui il campo è conservativo.Per calcolare un potenziale, osserviamo cheV (x, y),

Il campo è conservativo su R^3. Per calcolarne i potenziali, possiamo integrare le componenti del campo rispetto alle variabili corrispondenti. Il potenziale P(x, y, z) è dato dall'integrale di y rispetto a x: P(x, y, z) = ∫ y dx = xy + g(y, z) Dove g(y, z) è una funzione arbitraria delle variabili y e z. Il potenziale Q(x, y, z) è dato dall'integrale di x rispetto a y: Q(x, y, z) = ∫ x dy = xy + h(x, z) Dove h(x, z) è una funzione arbitraria delle variabili x e z. Infine, il potenziale R(x, y, z) è dato dall'integrale di z rispetto a z: R(x, y, z) = ∫ z dz = z^2/2 + k(x, y) Dove k(x, y) è una funzione arbitraria delle variabili x e y. Quindi i potenziali del campo sono: P(x, y, z) = xy + g(y, z) Q(x, y, z) = xy + h(x, z) R(x, y, z) = z^2/2 + k(x, y)

Un potenziale, osserviamo che allora V = (P, Q, R) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), per cui, se è una primitiva di V rispetto a x, allora P̃(x, y, z) = P(x, y, z) + c(y, z), dove c(y, z) è una funzione tale che c(y, z) = 0, c(y, z) = d(z).