Esercitazione su: Integrali di linea di seconda specie e Campi conservativi (Analisi 2)

Università di Bergamo Anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 11

Analisi Matematica II

Integrali di linea di seconda specie,

campi conservativi e formula di Gauss–Green nel piano

Integrali di linea di seconda specie

Siano la curva

Esercizio 11.1. 2

r(t) = (a cos t, b sin t), t [0, ⇡]

e F(x, y) = ( y, x).

Calcolare il lavoro del campo lungo la curva .

F p

2 y

Calcolare il lavoro compiuto dal campo di forze

Esercizio 11.2. x

F(x, y) = i j

x+1 y+1

quando il punto di applicazione si sposta lungo l’arco di curva piana di equazione ,

2

y = x

orientata da ad

(0, 0) A(1, 1).

Siano

Esercizio 11.3. 6 6 6 6 >

R 2 2 2

2

D = (x, y) : 0 x 1, 0 y 1, x + y 1

e 2 2

F(x, y) = (x y) , (x + y) .

Calcolare la circuitazione del campo lungo il bordo di orientato nel senso

F @D D,

positivo (trigonometrico, antiorario). p

2 y

Calcolare la circuitazione del campo di forze

Esercizio 11.4. x

F(x, y) = i j

x+1 y+1

lungo la curva chiusa , orientata in senso frontiera del dominio

orario, {(x, 2

D = y)

6 6 6 6

R 2 2

: 0 x 1, x y 1}.

Calcolare la circuitazione del campo di forze lungo

Esercizio 11.5. 2 2

F(x, y) = y i + x j

la curva chiusa , orientata in senso frontiera del triangolo di vertici

antiorario, O(0, 0),

e

A(2, 0) B(2, 2). p

2 y

Calcolare il lavoro compiuto dal campo di forze

Esercizio 11.6. x

F(x, y) = i j

x+1 y+1

quando il punto di applicazione si sposta lungo l’arco di curva piana di equazione ,

2

y = x

da ad

orientata O(0, 0) A(1, 1). 1

Campi conservativi

Verificare che il campo di forze è conservativo

Esercizio 11.7. y y

F(x, y) = e i+(1+xe )j

e determinare il che si annulla in (0,0). Calcolare il lavoro compiuto dalla forza

potenziale

quando il suo punto di applicazione si sposta da ad descrivendo una

F O(0, 0) A(4, 1)

certa traiettoria. Stabilire se il campo

Esercizio 11.8. ✓ ◆

⇣ ⌘ ⇣ ⌘

y y 1 y

f (x, y) = cos , cos

2

x x x x

è conservativo in R 2

{(x, 2

⌦ = y) : x > 0}

e in caso affermativo determinarne un potenziale.

Stabilire se il campo è conservativo su e in caso

Esercizio 11.9. R 3

f (x, y, z) = (y, x, z)

affermativo calcolarne i potenziali. Infine, calcolare il lavoro del campo lungo la curva

parametrizzata da 8

> x = cos t

< 2

y = sin t

r : t [0, ⇡].

>

: z =1

Verificare che il campo di forze

Esercizio 11.10. F(x, y, z) = (2x yz)i + (2y xz)j + ( 2z xy)k

è conservativo e determinare il potenziale che si annulla in Qual è il lavoro

C(1, 1, 1).

compiuto dalla forza quando il suo punto di applicazione si sposta da ad

O(0, 0, 0)

A(1, 1, 2)? Sia il campo

Esercizio 11.11. ✓ ◆

2y 2z

xy xy

f (x, y, z) = ye , xe + , .

2 2 2 2 2 2

(y + z ) (y + z )

a) Determinare l’insieme di definizione di .

⌦ f

b) Mostrare che è irrotazionale su

f ⌦.

c) Determinare un potenziale di sull’aperto semplicemente connesso tale

✓

U f A ⌦

che R 3

{(x, 2

A = y, z) : z > 0}.

d) è conservativo su

f ⌦? 2

Sia il campo

Esercizio 11.12. ✓ ◆

2x 2y

f (x, y) = , .

2 2 2 2

x + y 4 x + y 4

a) Determinare l’insieme di definizione del campo

A

b) Verificare che il campo è conservativo su e determinarne un potenziale su ogni

A

componente connessa di A.

c) Calcolare il lavoro compiuto da dal punto al punto

f (0, 0) (1, 1).

d) È vero che il lavoro da a è

(0, 0) (3, 0) log 5 log 4?

Giustificare bene le proprie risposte.

Determinare tali che il campo

Esercizio 11.13. R

2

a, b 2

f (x, y, z) = axy + z, x , bx + 2z

sia conservativo su . Determinare un potenziale di . Calcolare il lavoro di lungo

R 3 f f

la curva da a ottenuta intersecando le superfici e

A(1, 1, 0) B(0, 0, 3) 2x + y + z = 3

>

e

2 2 2

9x + 9y + 2z = 18 y 0.

Si dica se i campi

Esercizio 11.14. F (x, y, z) = z i + xy k

1 1

2 3

F (x, y, z) = 3x y i + x j k

2 z

sono conservativi ove sono definiti e se ne determini, se esiste, un potenziale.

Calcolare il lavoro del campo

Esercizio 11.15. F(x, y, z) = (x + z)i (y + z)j + (x y)k

lungo una linea che congiunga i punti e

O = (0, 0, 0) A = (2, 2, 1).

Calcolare il lavoro del campo lungo il bordo dell’a-

Esercizio 11.16. 2

F(x, y) = (xy, x )

perto 2 2

{(x,

A = y) : x + y < 1, y > 0}.

Il campo è conservativo?

F 3

Si consideri il campo

Esercizio 11.17. ✓ ◆

y x

F(x, y) = , .

2 2 2 2

x + y x + y

a) Mostrare che (da interpretarsi opportunamente come campo tridimensionale) è

F

irrotazionale.

b) Calcolare il lavoro di lungo la curva parametrizzata da

F ( x = cos t 2

r : , t [0, 2⇡]

y = sin t

c) Il campo è conservativo su R 2 \ {(0,

F 0)}?

d) Calcolare il lavoro di lungo una circonferenza di centro l’origine e raggio

F R > 0

(orientata in senso antiorario).

Formula di Gauss–Green nel piano

Calcolare l’area della porzione di piano racchiusa dalla curva in

Esercizio 11.18. D

forma polare per 2

⇢ = 2 cos ✓ ✓ [0, ⇡].

Calcolare l’area del dominio avente per frontiera la linea chiusa e

Esercizio 11.19. T

semplice di equazioni parametriche

( 2

x = (1 t) t 2

r : , t [0, 1]

y = (1 t)t

Calcolare l’area del dominio piano limitato dall’asse delle e dall’arco

Esercizio 11.20. x

di cicloide di equazioni 2

x(t) = R(t sin t), y(t) = R(1 cos t), t [0, 2⇡].

Usando il teorema di Gauss–Green, calcolare l’integrale doppio

Esercizio 11.21. ZZ dxdy

y

T

ove è il dominio di frontiera con

[ [

T @T = 0 1 2

( x = t sin t 2

: , t [0, 2⇡]

0 y = cos t 1

( h i

3

x = 2⇡ cos t ⇡

2

: , t 0,

1 3 2

y = 2⇡ sin t

e che congiunge con un segmento i punti e

A(0, 2⇡) O(0, 0).

2 4

Università di Bergamo Anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 11

Analisi Matematica II

Integrali di linea di seconda specie,

campi conservativi e formula di Gauss–Green nel piano

Integrali di linea di seconda specie

Esercizio 11.1. Siano la curva 2

r(t) = (a cos t, b sin t), t [0, ⇡]

e F(x, y) = ( y, x).

Calcolare il lavoro del campo lungo la curva .

F

Abbiamo 0

r (t) = ( a sin t, b cos t)

per cui il lavoro è

Z Z Z

⇡ ⇡ ⇡

dt dt dt

0

·

F(r(t)) r (t) = ( b sin t)( a sin t) + (a cos t)(b cos t) = ab = ⇡ab.

0 0 0

p

2 y

Esercizio 11.2. Calcolare il lavoro compiuto dal campo di forze quando

x

F(x, y) = i j

x+1 y+1

il punto di applicazione si sposta lungo l’arco di curva piana di equazione , orientata da

2

y = x

ad

(0, 0) A(1, 1).

Una possibile parametrizzazione dell’arco di curva è

2

r(x) = (x, x ).

Abbiamo allora 0

r (x) = (1, 2x)

per cui il lavoro è ✓ ◆

Z Z

1 1 2x x

dx dx

0

· · ·

F(r(x)) r (x) = 1 (2x)

2

x +1 x + 1

0 0 ✓ ◆

Z 1 2 2 dx

= 2 2+ 2

x +1 x +1

0 ⇡

= 2 log 2 + 2 arctan 1 = 2 log 2.

2

p

p >

Nell’integrale abbiamo semplificato perché

2 |x|

y = x = = x x 0.

1

Esercizio 11.3. Siano 6 6 6 6 >

2 2 2

R

2

D = (x, y) : 0 x 1, 0 y 1, x + y 1

e 2 2

F(x, y) = (x y) , (x + y) .

Calcolare la circuitazione del campo lungo il bordo di orientato nel senso positivo

F @D D,

(trigonometrico, antiorario).

Il dominio è così fatto:

1. y C B

1

0.5 A x

O 0.5 1

Sul segmento l’integrale è

AB, Z Z

1 1 8 1 7

dy dy

2

·

L = F(1, y) j = (1 + y) = = .

1 3 3 3

0 0

Sul segmento l’integrale è

BC,

Z Z

1 1 0 ( 1) 1

dt dt

2

· + = .

L = F(1 t, 1) ( i) = t =

2 3 3 3

0 0

Attenzione ai segni: bisogna parametrizzare la curva (il segmento) in modo tale che

l’ascissa decresca. _

Sull’arco di circonferenza una possibile parametrizzazione è data da

CA, r(t) =

con da a (anche qui: angolo decrescente),

⇡ ⇡ ⇡

cos t , sin t = (sin t, cos t), t 0

2 2 2

l’integrale è Z ⇡

2 dt

·

L = F(sin t, cos t) (cos t, sin t)

3 0

Z ⇡

2 dt

2 2

= (sin t cos t) cos t (sin t + cos t) sin t

0

Z ⇡

2 dt

2 2

= cos t 2 cos t sin t sin t 2 cos t sin t

0 2

 ⇡

2 2 2 2

2

3 3

= sin t + cos t + cos t sin t =1+0+0 0 1+0

3 3 3 3

0

4

= .

3

La circuitazione è quindi 7 1 4 2

C = L + L + L = = .

1 2 3 3 3 3 3

In alternativa si poteva usare la formula di Gauss–Green !

Z ZZ 2 2

@ (x + y) @ (x y)

dx dy dxdy

2 2

C = (x y) + (x + y) = @x @y

@D D

ZZ ZZ

dxdy dxdy

= 2(x + y) + 2(x y) = 4x

D D 

Z Z Z ⇣ ⌘ 1

p

1 1 1 4 3

dy dx dx 2 2

2

= 4x = 4x 1 1 x = 2x + 1 x 2

p 3

2

0 1 x 0 0

4 2

=2 = .

3 3 p

2 y<