Esercitazione su: Insiemi e Derivate parziali (Analisi 2)

Università di Bergamo Anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 5

Analisi Matematica II

Topologia, derivabilità di funzioni di due variabili

R

Topologia di 2

Facciamo una piccola osservazione che ci semplificherà la vita per ricercare i punti

interni e i punti di frontiera degli insiemi. Sia un insieme di cui si cercano punti

D

interni e punti di frontiera. Supponiamo di disporre di un insieme chiuso [

C = I F

con aperto, costituito di punti di frontiera di e Allora

✓ ✓ [

I F D I D I F = C.

è l’insieme dei punti aperti di e l’insieme dei suoi punti di frontiera. Infatti gli

I D F

elementi di sono punti interni a il complementare di contiene punti

0 [

I D, C C = I F

esterni (perché è aperto e contenuto nel complementare di contiene solo punti

0

C D), F

di frontiera e quindi tutti i punti sono stati classificati.

R

0 n

[ [

I F C =

Quindi dato ci basta trovare un aperto e un insieme di punti di frontiera

✓

D, I D F

tale che sia chiuso.

[

C = I F

Determinare l’insieme di definizione delle seguenti funzioni, disegnarlo

Esercizio 5.1.

su un piano cartesiano e stabilire se esso è aperto, chiuso, compatto, connesso e quali

sono i punti interni e i punti di frontiera.

p

a) 4 2 2

f (x, y) = y (x y );

1 1

b) ;

p

f (x, y) =

2 2 2

x xy 2y

q p

c) ;

2 2

f (x, y) = x 1 x y

3 ⇥ ⇤

d) ;

2 3

f (x, y) = log (y x )(y x )

4 1

e) ;

2 2 x+y

f (x, y) = log(4 x y ) + e + (y x 2) 4

5 xy

f) ;

p

f (x, y) =

6 1 + xy 1

p 2

y x + 1

g) ;

f (x, y) =

7 y x +1

h) 2

f (x, y) = log(2y log(x 1));

8

i) x 2

f (x, y) = log((y e )(x y + 2));

9 1

p

j) ;

2

f (x, y) = log(2x y + 1) + y x

10 p p

k) 2 2 2

f (x, y) = log(x 9y ) log(x 1);

11 p 2

4 y x + 4

l) ;

f (x, y) =

12 y x +2

p

m) 2 2 2

f (x, y) = (x y + 1)(x 1);

13

n) ;

x 2

f (x, y) = log (y e )(x y + 1)

14 arccos(y x)

o) ;

p

f (x, y) =

15 2 2

4 x 4y

✓ ◆ 1/4

1

p) ;

f (x, y) = 1

16 xy

2 2

arcsin(x + y 2) + 2

q) .

p

f (x, y) = p

17 x y x

Derivate parziali di funzioni di due variabili

Calcolare le derivate parziali e il gradiente delle seguenti funzioni, pre-

Esercizio 5.2.

cisando il dominio della funzione e il dominio di validità del gradiente.

Per la funzione esponenziale , si considererà che il suo dominio è

u {(t, |

t u) t > 0},

ignorando quindi i casi speciali quando è razionale.

u

p

a) 4 2 2

g (x, y) = y (x y );

1 p 2

4 y x + 4

b) ;

g (x, y) =

2 y x +2

p

c) 2 2 2

g (x, y) = (x y + 1)(x 1);

3 ✓ ◆

2x y

d) ;

g (x, y) = log

4 x + 3y

⇣ ⌘

y

f) ;

g (x, y) = arctan

6 x

g) ;

x 2

g (x, y) = log (y e )(x y + 1)

7 log(arctan(2 x y))

h) ;

p

g (x, y) =

8 2

x 1

arccos(y x)

i) ;

p

g (x, y) =

9 2 2

4 x 4y 2

j) 2 2

g (x, y) = log(sin(⇡(x + y )));

10 ✓ ◆ 1/4

1

k) ;

g (x, y) = 1

11 xy

l) ;

y

g (x, y) = x

12

m) 2

g (x, y) = min(x, y );

13 2

n) ;

xy

g (x, y) = x sin(xy) + e

14

o) 2

g (x, y) = x log(xy );

15 ✓ ◆ ⇣ ⌘

x y

p) ;

g (x, y) = cos + cos

16 y x

q) ;

y

g (x, y) = sin(x + y) + xe

17

r) ;

x y

g (x, y) = (x + y)e

18 ✓ ◆

x

s) ;

g (x, y) = arctan

19 y

t) g (x, y) = log(x log y);

20 p

u) ;

3 2

g (x, y) = xy

21 p

v) ;

x sin y

g (x, y) = e

22 ✓ ◆

x + 2y

w) ;

g (x, y) = log

23 x 3y 2

x) .

x z

g (x, y, z) = xyz sin xz + ye

24 Applicando la definizione, calcolare (se esistono) le derivate parziali

Esercizio 5.3.

e delle seguenti funzioni:

@f @f

(0, 0) (0, 0)

@x @y p

a) ;

2 2

f (x, y) = x + y

8 ⇣ ⌘

p

2 2

4y x

< se

2 2 6

arctan y x + y (x, y) = (0, 0)

b) 2 2

f (x, y) = x + 4y

: se

0 (x, y) = (0, 0).

3

Università di Bergamo Anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 5

Analisi Matematica II

Topologia, derivabilità di funzioni di due variabili

Queste soluzioni sono state scritte in condizioni pessime. La massima cautela è racco-

mandata durante l’uso.

R

Topologia di 2

Facciamo una piccola osservazione che ci semplificherà la vita per ricercare i punti

interni e i punti di frontiera degli insiemi. Sia un insieme di cui si cercano punti

D

interni e punti di frontiera. Supponiamo di disporre di un insieme chiuso [

C = I F

con aperto, costituito di punti di frontiera di e Allora

✓ ✓ [

I F D I D I F = C.

è l’insieme dei punti aperti di e l’insieme dei suoi punti di frontiera. Infatti gli

I D F

elementi di sono punti interni a il complementare di contiene punti

0 [

I D, C C = I F

esterni (perché è aperto e contenuto nel complementare di contiene solo punti

0

C D), F

di frontiera e quindi tutti i punti sono stati classificati.

R

0 n

[ [

I F C =

Quindi dato ci basta trovare un aperto e un insieme di punti di frontiera

✓

D, I D F

tale che sia chiuso.

[

C = I F

Esercizio 5.1. Determinare l’insieme di definizione delle seguenti funzioni, disegnarlo su un

piano cartesiano e stabilire se esso è aperto, chiuso, compatto, connesso e quali sono i punti

interni e i punti di frontiera.

p

a) 4 2 2

f (x, y) = y (x y ).

1

Le condizioni da verificare sono che l’argomento della radice quarta deve essere

maggiore o uguale a Quindi il dominio è

0. >

2 2

{(x, |

D = y) y (x y ) 0}.

Possiamo osservare fin da subito che il dominio è chiuso perché la funzione

2 2

f (x, y) = y (x y )

è continua. Per capire qual è il dominio, osserviamo che il polinomio è un

f (x, y)

prodotto. Il primo termine è sempre maggiore o uguale a Il secondo è maggiore

0.

>

o uguale a quando , cioè il punto sta a destra della parabola di equazione

2 P

0 x y

. Teniamo presente che quando il prodotto è nullo, quindi il segno di

2

x = y y = 0,

è irrillevante.

2

x y

Graficamente, è la parte segnata, in rosso la parabola e in blu la parte dell’asse

P

D

da aggiungere:

x 1

1. y P

1 x

0.5 1 1.5 2 2.5

1

Il dominio non è aperto perché l’origine è in e qualsiasi disco di raggio positivo

D

centrato nell’origine conterrà dei punti di coordinate con e tali punti

( ", ") " > 0

non sono nel dominio.

Il dominio è chiuso ma non limitato perché tutti i punti con stanno nel

y = 0

dominio e hanno la prima coordinata non limitata.

Il dominio è connesso perché se si considera un punto di coordinate questo

(x, y),

punto essere collegato al punto di coordinate tramite il segmento

(x, 0) r(t) =

e tutti i punti dell’asse possono essere collegati fra di loro

2

(x, ty), t [0, 1] x

tramite un ulteriore segmento. Con al massimo due segmenti si possono quindi

collegare due punti del dominio.

Sia 2

{(x, | }.

U = y) x > y

È aperto perché la funzione è continua. L’insieme è

2

7!

(x, y) x y F = C\U

6

cosituito dalla parabola e del semiasse I punti della parabola

P {(x, |

0) x 0}.

sono punti di frontiera perché ogni disco aperto centrato in contiene un

2

(y , y)

punto con che sta fuori di e ogni punto del semi asse è pure di

2

(y ", y) " > 0 C

frontiera perché ogni disco aperto centrato in contiene un punto con

(x, 0) (x, ")

che sta fuori di Quindi è l’insiemei dei punti interni di e l’insieme

" > 0 C. U C F

dei suoi punti di frontiera.

1

b) .

p

f (x, y) =

2 2 2

x xy 2y

Le condizioni da verificare sono che l’argomento della radice quadrata deve esse-

re maggiore o uguale a e il denominatore non nullo, questo si può riassumere

0 2

nella condizione che l’argomento della radice quadrata deve essere (strettamente)

positivo. Quindi il dominio è 2 2

{(x, |

D = y) x xy 2y > 0}.

Possiamo osservare fin da subito che il dominio è ap