Esercitazione su: Insiemi e Derivate parziali (Analisi 2)

Proprietà dell'ellisse

I punti di frontiera dell'ellisse sono dati da (x, y) tali che (y - x)(y - x) > 0. Pertanto, il dominio dell'ellisse è definito da:

y < x e y < x oppure y > x e y > x

In altre parole, il dominio dell'ellisse è dato da:

{(x, y) | y < min(x, x) e y > max(x, x)}

Abbiamo quindi che se x > x e x > 1, allora x > x e x > 1.

Graficamente, il dominio dell'ellisse è rappresentato dalla regione del piano delimitata dalle due curve di equazione y = x e y = x, escludendo il bordo. L'origine è fuori dal dominio, ma un disco di centro l'origine e raggio √2 contiene un punto dell'asse che sta nel dominio (quindi il complementare di D non è aperto).

Non essendo chiuso, il dominio dell'ellisse è aperto.

non è compatto. Non è connesso perché non c'è nessun punto di con e ogni curva continua 2D y = x che collega (in cui ) a (in cui ) dovrà per forza avere 2 2A(0, 1) y > x B(0, 1) y < x un punto in cui . Tale curva non sarà quindi interamente contenuta in 2y = x D. Essendo aperto, è l'insieme dei suoi punti interni. I punti sulla parabola sono D fuori dal dominio e se è un tale punto, ogni disco di centro e raggio P (x, y) P > 0 > contiene un punto del dominio (sopra la parabola se e sotto se Lox < 1 x 1). stesso ragionamento si applica ai punti della cubica. L'insieme dei punti rimanenti, 0 2 3{(x, |D = y) (y x )(y x ) < 0} è anche lui aperto. Per cui i punti della parabola e della cubica sono i punti di frontiera (e i punti esterni). 0D 12 2 x+ye) .f (x, y) = log(4 x y ) + e + (y x 2) 45 65. y2 x2 22 Né aperto, né chiuso, né compatto. Connesso. Punti interni: la parte

tratteggiata,punti di frontiera: arco di circonferenza e segmento.xyf) .pf (x, y) =6 1 + xy 1Nel grafico sotto, sono esclusi gli assi.6. y42 x4 2 2 424Né aperto, né chiuso, né compatto, né connesso. Punti interni: la parte tratteggiata(tranne gli assi), punti di frontiera: i rami dell’iperbole e gli assi.pOss: nel suo dominio che ha un dominio più grande (lof (x, y) = 1 + xy + 16 pestesso più gli assi). La funzione è quindi un prolungamentof (x, y) = 1 + xy + 16per continuità di al dominio esteso. Questo risulta non aperto, chiuso, nonf 6compatto, connesso, punti interni: tutta la parte tratteggiata e punti di frontiera:i rami dell’iperbole.p 2y x + 1g) .f (x, y) =7 y x +1 77. y321 x2 1 1 21Né aperto, né chiuso, né compatto. Non connesso. Punti interni: la parte trat-teggiata (tranne il segmento rosso), punti di frontiera: la parabola e il segmentorosso. 2h) f (x, y) = log(2y log(x 1)).8 pLe rette

verticali di cui sotto sono in ±x = 2.8. y1 x2 1 1 21Aperto, non chiuso, né compatto. Non connesso. Punti interni: la parte tratteg-6 >giata, punti di frontiera: le rette e semirette verticali, più le parti ex 1 x 1dell’asse x. x 2i) f (x, y) = log((y e )(x y + 2)).9 89. y54321 x3 2 1 1 2 31Aperto, non chiuso, né compatto. Non connesso. Punti interni: la parte tratteg-giata, punti di frontiera: la parabola e la curva .xy = epj) .2f (x, y) = log(2x y + 1) + y x1010. y108642 x2 1 1 2 32Né aperto, né chiuso, né compatto. Connesso. Punti interni: la parte tratteggiata,punti di frontiera: gli archi di parabola e il segmento.p pk) 2 2 2f (x, y) = log(x 9y ) log(x 1).11 911. y1 x3 2 1 1 2 31Non aperto, chiuso, non compatto. Non connesso. Punti interni: la parte tratteg-giata, punti di frontiera: i due rami dell’iperbole e i due segmenti.p 24 y x + 4l) .f (x, y) =12 y x +212. y42 xB2 22A 4Né aperto, né chiuso,

né compatto, né connesso. Punti interni: la parte tratteg-giata tranne la retta rossa, punti di frontiera: la parabola e il segmento rosso traeA( 1, 1) B(2, 0).pm) 2 2 2f (x, y) = (x y + 1)(x 1).13 1013. y21 x2 1 1 212Chiuso, non aperto né compatto. Connesso. Punti interni: la parte tratteggiata,punti di frontiera: i due rami dell’iperbole e le due rette.x 2n) .f (x, y) = log (y e )(x y + 1)1414. y2.521.510.5 x1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.50.511.5 11Aperto, non chiuso né compatto. Non connesso. Punti interni: la parte tratteg-giata, punti di frontiera: la parabola e la curva dell’esponenziale.arccos(y x)o) .pf (x, y) =15 2 24 x 4y15. y10.5 x2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 20.51Né aperto, né chiuso, né compatto. Connesso. Punti interni: la parte tratteggiata,punti di frontiera: i due segmenti e i pezzi di ellisse in continuo sul grafico.✓ ◆ 1/41p) .f (x, y) = 116 xy16. y21 x2 1 1 212Né aperto, né chiuso, né compatto.

Non connesso. Punti interni: la parte tratteg-giata, punti di frontiera: i due assi e i due rami dell'iperbole.122 2arcsin(x + y 2) + 2q) .pf (x, y) = p17 x y xLe condizioni da verificare sono che l'argomento dell'arcseno devono essere com-preso tra e gli argomenti delle radici quadrate non-negativi e il denominatore1 1,della frazione diverso da Ci vuole quindi0. 8 6 62 21 x + y 2 1>>< 6x = 0>y 0>> p: y x> 0che è equivalente a 8 6 62 21 x + y 3< 6x = 0: > > 2^ _ ^(x < 0 y 0) (x 0 y > x ).ovvero ⇢ 6 62 21 x + y 3> 2^ _ ^(x < 0 y 0) (x > 0 y > x ).L'intersezione tra la parabola e la circonferenza di raggio è nel punto2y = x 1 Ap pin cui cioè e . Con la circonferenza di raggio1+ 52y + y 1 = 0, y = x = yA A Ap 2 p pè nel punto in cui cioè e .1+ 1323 B y + y 3 = 0, y = x = yB B B2Graficamente il dominio è il pezzo segnato, con gli archi di circonferenza e il seg-mentosull'asse inclusi e l'asse e l'arco di parabola esclusi (i punti e sono x y A B quindi esclusi). <p>17. y C1.5 B1 F A0.5E xD 1.5 1 0.5 0.5 1 1.50.5</p> Il dominio non è aperto, infatti il punto vi appartiene, ma ogni disco E(1, 0) centrato in conterrà un punto dell'asse con ascissa che quindi non appartiene al dominio. 13 Il dominio non è chiuso, infatti il punto non vi appartiene, ma ogni disco F(0, 1) centrato in conterrà un punto di coordinate con x > 0 che appartiene al dominio – per cui il complementare non è aperto. Non essendo chiuso non può essere compatto. Il dominio non è nemmeno connesso, infatti i due punti di coordinate G(-1, 1) e H(1, 1) vi appartengono e ogni curva che collega G con H dovrà avere la sua coordinata x che si annulla per cui non potrà essere contenuta per intero nel dominio. Vogliamo determinare i punti interni e i punti di frontiera del dominio. Consideriamo le

Le tre seguenti funzioni sono:

1. f(x, y) = x + y
2. g(x, y) = x + y
3. h(x, y) = y * x * |x|

Sono tutte e tre continue per costruzione e il dominio sono i punti tali che P(x, y) > 6.

Siano:

• F = {(x, y) | f(x, y) > 0}
• G = {(x, y) | g(x, y) < 0}
• H = {(x, y) | h(x, y) > 0}
• I = {(x, y) | x = 0}
• J = {(x, y) | y > 0}

Per il teorema della lezione, tutti questi insiemi sono aperti e F ∩ G ∩ H ∩ I ∩ J = Ø è contenuto nel dominio mentre F ∪ G ∪ H ∪ I ∪ J = C = Ø è contenuto nel complementare del dominio. Sia D = C ∩ Ø, è l’insieme costituito dall’arco di parabola R2, dagli archi di circonferenza e dai segmenti AB, BD.

EA DE. Vogliamo dimostrare che sono tutti punti di frontiera del dominio. Sia un punto dell'arco di parabola . Abbiamo quindi

. La parabola è definita da . Tale punto è fuori dal dominio. Consideriamo un disco centrato in <(0,0)> e raggio <3>. Se per un punto

sufficientemente piccolo, il punto di coordinate <(x, y + ε)> è nel dominio, allora per un punto

sufficientemente piccolo funziona. <(x, y) = (x + ε, y )> Sia un punto dell'arco . Tale punto è nel dominio. Un qualsiasi disco di centro e raggio avrà dei punti a distanza maggiore di <3> dall'origine, per cui dei punti esterni. L'arco è analogo. Per il segmento , se appartiene al segmento, è nel dominio. Un punto

appartiene al segmento se <0 ≤ x ≤ 3> e <0 ≤ y ≤ x + 3>.

Qualsiasi disco di raggio avrà un punto con la coordinata: