Esercitazione su: Formule di Taylor (Analisi 2)

Formula della derivata della funzione composta

Per la formula della derivata della funzione composta, abbiamo:

h(x, y, z) = g (f (x, y, z))

rf (a, y, z)

Vale:

2ye(x, y, z) = cos z

Per cui:

rf (0, 2, ⇡) = 4

Abbiamo perciò:

D h(0, 2, ⇡) = ( 4 1 + 4 1 1 1) = 3

Formula di Taylor

Esercizio 7.5. Scrivere lo sviluppo di Taylor, al primo ordine con resto di Lagrange e al secondo ordine con resto di Peano, centrato nel punto indicato per le funzioni seguenti:

a) f (x, y) = y cos x P (⇡, 1).

La funzione ha le derivate parziali di qualsiasi ordine continue, in particolare è di classe . Valgono:

@f @f2(x, y) = y sin x (x, y) = 2y cos x

@x @y2 2

@ f @ f2(x, y) = y cos x (x, y) = 2 cos x2

@x @y2 2

@ f @ f(x, y) = (x, y) = 2y sin x,

@y@x @x@y 3

Per cui:

@f @f(⇡, 1) = 0 (⇡, 1) = 2

@x @y2 2

@ f @ f(⇡, 1) = 1 (⇡, 1) = 22

@x @y2 2

@ f @ f(⇡, 1) = (⇡, 1) = 0.

@y@x @x@y

Poniamo:

! ✓ ◆

@ f @ f 2(x, y) (x, y) y cos x 2y sin x2

H @x @x@y(x, y) = = .

f 2 2@ f @ f

per qualche e² (0, 1) 1 per² 2 2 !f (⇡ + h, 1 + k) = 1 + 2k + (h² + 2k²) + o(k(h, k)²) (h, k) (0, 0).

2b) in .⇡xf (x, y) = e sin y P 0, 2

La funzione ha le derivate parziali di qualsiasi ordine continue, in particolare è di classe . Valgono

C @f @fx x(x, y) = e sin y (x, y) = e cos y

@x @y² @ f @ fx x(x, y) = e sin y (x, y) = e sin y²

@x @y² @ f @ f x(x, y) = (x, y) = e cos y,

@y @x @x @y

per cui ⇣ ⌘ ⇣ ⌘

@f ⇡ @f ⇡0, =1 0, =0

@x² @y² ⇣ ⌘ ⇣ ⌘

@f ⇡ @f ⇡0, = 1 0, = 1

@x² @y² ⇣ ⌘ ⇣ ⌘

@f ⇡ @f ⇡0, = 0, = 0.

@y @x² @x @y²

Poniamo ! ✓ ◆2 2

@ f @ f x x(x, y) (x, y) e sin y e cos y²

H @x @x @y(x, y) = = .

f 2 2 x x

@ f @ f e cos y e sin y(x, y) (x, y)²

@y @x @y

Abbiamo allora ⌘✓ ◆⇣ ⌘ ⇣⇣ ⌘⇡ 1 ⇡ h·f h, + k = 1 + h + (h, k)H 0, + (h, k)f k²

per qualche e² (0, 1)⇣ ⌘⇡ 1 per² 2 2 !f h, + k = 1 + h^{(h k)} + o(k^{(h, k)}k) (h, k) (0, 0).2 2c) in .⇡f (x, y) = (x + y) sin y P 0, 2La funzione ha le derivate parziali di qualsiasi ordine continue, in particolare è di classe . Valgono2C @f @f(x, y) = sin y (x, y) = sin y + (x + y) cos y@x @y2 2@ f @ f(x, y) = 0 (x, y) = 2 cos y (x + y) sin y2 2@x @y2 2@ f @ f(x, y) = (x, y) = cos y,@y@x @x@yper cui ⇣ ⌘ ⇣ ⌘@f ⇡ @f ⇡0, =1 0, =1@x 2 @y 2⇣ ⌘ ⇣ ⌘2 2@ f ⇡ @ f ⇡ ⇡0, =0 0, =2 2@x 2 @y 2 2⇣ ⌘ ⇣ ⌘2 2@ f ⇡ @ f ⇡0, = 0, = 0.@y@x 2 @x@y 2Poniamo ! ✓ ◆22@ f @ f(x, y) (x, y) 0 cos y2H @x @x@y(x, y) = = .f 2 2@ f @ f cos y 2 cos y (x + y) sin y(x, y) (x, y)2@y@x @yAbbiamo allora ⌘✓ ◆⇣ ⌘ ⇣⇣ ⌘⇡ ⇡ 1 ⇡ h·f h, + k = + h + k + (h, k)H 0, + (h, k)f k2 2 2 25