Esercitazione su: Derivabilità e Differenziabilità (Analisi 2)

Università di Bergamo Anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 6

Analisi Matematica II

Derivate parziali e differenziabilità di funzioni di più variabili

Calcolare le derivate parziali e il gradiente delle seguenti funzioni, pre-

Esercizio 6.1.

cisando il dominio della funzione e il dominio di validità del gradiente.

Per la funzione esponenziale , si considererà che il suo dominio è

u {(t, |

t u) t > 0},

ignorando quindi i casi speciali quando è razionale.

u

p

a) 2 2

a(x, y, z) = x y z; z

b) .

(y )

b(x, y, z) = (x + z)

Sia data la funzione

Esercizio 6.2. ( 2

x y 6

(x, y) = (0, 0)

6 2

x +y

f (x, y) = 0 (x, y) = (0, 0)

a) Stabilire se è continua sul suo campo di esistenza.

f

b) Determinare le derivate parziali di in con 6

f (x, y), (x, y) = (0, 0).

c) Determinare (se esistono) le derivate parziali di in

f (0, 0).

d) Determinare (se esiste) la derivata direzionale di in lungo il versore

f (0, 0) v =

⇣ ⌘

p .

3

1 ,

2 2

e) è differenziabile in

f (0, 0)?

Studiare la continuità, l’esistenza delle derivate parziali e la differenzia-

Esercizio 6.3.

bilità per le funzioni seguenti:

p

a) ;

2 2

f (x, y) = x + y

1 ( 3 2 se

x 2xy 6

(x, y) = (0, 0)

b) 2 2

x +2y

f (x, y) =

2 se

0 (x, y) = (0, 0);

Determinare inoltre (se esiste) la derivata direzionale di lungo Vale

f v = (1, 1).

2

la formula del gradiente? 1

( se

xy

p 6

(x, y) = (0, 0)

c) 2 2

x +2y

f (x, y) =

3 se

0 (x, y) = (0, 0);

( 3 3 se

3x y 6

(x, y) = (0, 0)

d) 2 2

x +y

f (x, y) =

4 se

0 (x, y) = (0, 0);

Determinare inoltre (se esistono) le derivate direzionali di lungo i vettori

f u =

p p 4

e

3 3

(1, 3) v = (1, 3).

( 2 4 se

x y 6

(x, y) = (0, 0)

4 2 2

e) (x +3y )

f (x, y) =

5 se

0 (x, y) = (0, 0);

( 2 6 se

x y 6

(x, y) = (0, 0)

2 4 2

f) (x +3y )

f (x, y) =

6 se

0 (x, y) = (0, 0);

⇣ ⌘

( p

2 2 se

4y x 2 2 6

arctan y x + y (x, y) = (0, 0)

2 2

g) x +4y

f (x, y) =

7 se

0 (x, y) = (0, 0).

Calcolare nei seguenti casi:

Esercizio 6.4. D f (P )

v 0 ✓ ◆

1 2

a) , ;

x y p p

f (x, y) = (x + y)e P (0, 0), v = ,

0 5 5

p

b) generico.

2

3

f (x, y) = x y, P (0, 0), v = (a, b)

0

Cosa si può concludere sulla differenziabilità in ?

P 0

Sia definita da

Esercizio 6.5. R R

2 !

f : ( se

y 6

arctan x = 0

x

f (x, y) = se

3 ⇡ x = 0

2

⇣ ⌘

e sia . Stabilire se esistono le derivate parziali di in e la derivata

1 1

v = , f (0, 0)

p p

2 2

direzionale e in caso affermativo calcolarle.

D f (0, 0)

v Sia definita da

Esercizio 6.6. R R

2 !

f : ( 2 2

x +y +x 6

(x, y) = (0, 0)

2 2

x +y

f (x, y) = 1 (x, y) = (0, 0)

Stabilire se

a) è continua su ;

R 2

f 2

b) esistono direzioni lungo le quali esiste la derivata direzionale e per tali

v D f (0, 0)

v

direzioni calcolare tale derivata;

c) è differenziabile in

f (0, 0).

Sia data la funzione:

Esercizio 6.7. ( se

sin y 6

x = 0

x

f (x, y) = se

0 x = 0

Determinare (se esistono) le derivate parziali di in e in con è

6

f (0, y) (x, y) x = 0.f

continua in e in (se esiste) la derivata direzionale di nel

(0, 0) (0, ⇡)?Determinare f

punto lungo il vettore

⇡

P 1, v = (1, 1).

2 Sia data la funzione:

Esercizio 6.8. ( 2 se

x 6

(x, y) = (0, 0)

3 3

|x| +|y|

f (x, y) = se

0 (x, y) = (0, 0).

Determinare (se esistono) le derivate parziali di in e in 6

f (x, y) = (0, 0) (x, y) = (0, 0).

Sia

Esercizio 6.9. ( 2 se

y 6

x = 0

x

f (x, y) = se

0 x = 0. ⇣ ⌘

Determinare il gradiente di in e ove .Cosa è possibile

1 1

f (0, 0) D f (0, 0) v = ,

p p

v 2 2

dedurre sulla differenziabilità di in possibile dedurre qualcosa sulla continuità

f (0, 0)?È

di in se la funzione è continua in

f (0, 0)?Determinare f (0, 0).

Sia data la funzione

Esercizio 6.10. |x

f (x, y) = y|(x + y)

Stabilire se ammette le derivate parziali nei punti e

f O(0, 0), A(1, 1) B(2, 3).

Stabilire se è differenziabile in e in

f A B. p

3

Si consideri la funzione . Si stabilisca se è differen-

x 1

Esercizio 6.11. 3

f (x, y) = y f

x

ziabile nel punto In caso di risposta affermativa, si determini un’equazione del

P (1, 0).

piano tangente al grafico di nel punto di coordinate

f (1, 0, f (1, 0)).

3

Verificare la differenziabilità della funzione

Esercizio 6.12. p

2x y 2 2

f (x, y) = e + 3 + x + 3y

nel punto un’equazione del piano tangente.Calcolare essendo

P (1, 2).Scrivere D f (P ),

p

0 v 0

il versore della retta di equazione orientata nel verso delle decrescenti.

v y = 3x x

Calcolare la derivata della funzione nel punto

Esercizio 6.13. 2 2

f (x, y) = log(x + y )

lungo il gradiente di . Giustificare senza fare calcoli che esiste il piano tangente

P (3, 4) f

al grafico di nel punto e successivamente determinare un’equazione di

f (3, 4, f (3, 4))

tale piano. Data la funzione

Esercizio 6.14. p 2 x 2

f (x, y) = 2 + y + x e , p

trovare un’equazione del piano tangente al suo grafico nel punto e la sua

(2, 0, 4 + 2)

⇣ ⌘

p

1

derivata direzionale nel punto lungo il versore .

(2, 0) v = 1, 2 2

3

Studiare al variare di continuità, derivabilità e differenziabilità

Esercizio 6.15. ↵ > 0

in di

(0, 0) ⇣ ⌘

p

↵

|x| |xy|

f (x, y) = log 1 + .

↵ 2 2

x y

Verificare la formula del gradiente per la funzione

Esercizio 6.16. f (x, y) = +

9 4

nel punto P (9, 2).

0 Calcolare la derivata della funzione dove

Esercizio 6.17. g(t) = f (r(t)), f (x, y) =

e t

x y sin x r(t) = (e , sin t).

(Ripasso) Calcolare

Esercizio 6.18.  3 5

x y

a) lim sin(xy) 2 2 2

(x + y )

(x,y)!(0,0) x

b) lim 2 2

log(x + y )

(x,y)!(0,0) 4

Università di Bergamo Anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 6

Analisi Matematica II

Derivate parziali e differenziabilità di funzioni di più variabili

Esercizio 6.1. Calcolare le derivate parziali e il gradiente delle seguenti funzioni, precisando

il dominio della funzione e il dominio di validità del gradiente.

Nelle soluzioni, non è indicato il gradiente. Per una funzione il gradiente

r(x, y, z),

✓ ◆

@r @r @r

rr(x, y, z) = (x, y, z), (x, y, z), (x, y, z)

@x @y @z

per cui basta conoscere le derivate parziali.

Per la funzione esponenziale , si considererà che il suo dominio è ignorando

u {(t, |

t u) t > 0},

quindi i casi speciali quando è razionale.

u

p

2 2

a) a(x, y, z) = x y z. p

@a 2

(x, y, z) = 2 x y z

@x p

@a 2

(x, y, z) = 2 x y z

@y 2 2

@a x y

p

(x, y, z) =

@z 2 z >

0 0 {(x, |

D = D = D = y, z) z 0}

x y

0 {(x, |

D = y, z) z > 0}.

z

z

(y )

b) .

b(x, y, z) = (x + z)

@b z

y 1

z

(x, y, z) = y (x + z)

@x

@b z

y

z 1

(x, y, z) = y z (x + z) log (x + z)

@y

@b z

y 1

z

(x, y, z) = y (x + z) ((x + z) (log y) log (x + z) + 1)

@z 0 0 0 {(x, | ^

D = D = D = D = y, z) y > 0 x + z > 0}.

x y z 1

Esercizio 6.2. Sia data la funzione ( 2

x y 6

(x, y) = (0, 0)

6 2

x +y

f (x, y) = 0 (x, y) = (0, 0)

a) Stabilire se è continua sul suo campo di esistenza.

f

Il campo di esistenza di è . Infatti su è definita

R 2 {(x, | 6

f D = y) (x, y) = (0, 0)}

0

da una frazione algebrica con denominatore non nullo e in è definita da un

(0, 0)

valore dato. Su è continua per i teoremi generali. In dobbiamo stabilire

D (0, 0)

0

il limite. 2 3

Facendo , vediamo che per cui il limite non esiste.

·x

x 1

3 3

y = x f (x, x ) = =

6 6

x +x 2x

Perciò la funzione non è continua in (0, 0).

b) Determinare le derivate parziali di in con 6

f (x, y), (x, y) = (0, 0).

Possiamo usare le formule perché in un intorno del punto la funzione è

(x, y)

definita da una frazione algebrica. Abbiamo

6 2 2 5 2 6

@f 2xy(x + y ) 6x yx 2xy(y 2x )

(x, y) = =

6 2 2 6 2 2

@x (x + y ) (x + y )

2 6 2 2 2 6 2

@f x (x + y ) 2x yy x (x y )

(x, y) = = .

6 2 2 6 2 2

@y (x + y ) (x + y )

c) Determinare (se esistono) le derivate parziali di in

f (0, 0).

In dobbiamo usare i limiti dei rapporti incrementali. Il fatto che non sia

(0, 0) f

continua in non basta per avere informazioni sulle derivate parziali perché la

0

continuità vede come funzione di due variabili mentre le derivate parziali vedono

f

come due funzioni di una variabile.

f

Abbiamo, per 6

h = 0, @f

per cui

f (h, 0) = 0 (0, 0) = 0

@x

@f

per cui

f (0, h) = 0 (0, 0