Esercitazione su: Ascissa curvilinea e Integrali curvilinei (Analisi 2)

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R• massa: ds;M = ⇢(x, y, z) R R• baricentro: con ds, ds,1 1G(x̄, ȳ, z̄) x̄ = x⇢(x, y, z) ȳ = y⇢(x, y, z) z̄ =R M Mds;1 z⇢(x, y, z)M R• momenti d’inerzia rispetto all’asse ds, all’asse2 2x: I = (y + z )⇢(x, y, z) y: I =x yR Rds, all’asse ds.2 2 2 2(x + z )⇢(x, y, z) z: I = (x + y )⇢(x, y, z)zIn tutti questi integrali e sono le tre componenti di e ds dt.0krx, y z r(t) = (t)kÈ sottinteso che se il filo è piano, la coordinata è nulla nelle espressioni in cuizcompare. Calcolare il baricentro dei seguenti corpi filiformi:Esercizio 3.9.a) semicirconferenza di materiale omogeneo;b) asta non omogenea di lunghezza e massa lineica data da ,AB AB = L ⇢(P ) = kAPcon k > 0. Calcolare il momento d’inerzia dei seguenti corpi:Esercizio 3.10.a) anello di materiale omogeneo, raggio e massa , rispetto ad un asse contenenteR Mun suo diametro;b) anello di materiale omogeneo, raggio e massa , rispetto all’asse

perpendicolareR Mal piano dell'anello e passante per il centro;

3c) asta non omogenea di lunghezza e massa lineica data da ,AB L ⇢(P ) = kAP k > 0,rispetto ad un asse perpendicolare all'asta e passante per il suo estremo A;

d) filo omogeneo descritto da con er(t) = (a(cos t sin t), a(cos t + sin t)), a > 0rispetto all'asse2t [0, ⇡], z.

Calcolare la massa, la terza coordinata (z̄) del centro de gravità e ilEsercizio 3.11.momento d'inerzia rispetto a ll'asse di un filo con la forma di un giro di elica dizequazione: 2r(t) = (a cos t, a sin t, bt), a, b > 0, t [0, 2⇡]dove la massa lineica del filo est data da .2 2 2⇢(x, y, z) = x + y + zTrovare il momento di inerzia rispetto all'asse delle di un filo circolareEsercizio 3.12. xdi raggio centrato ina > 0, O(0, 0)a) se è omogeneo di massa ;Mb) se la massa lineica è data da |x| |y|.⇢(x, y) = +4

Università di Bergamo Anno accademico 2021–2022Secondo anno

di Ingegneria Foglio 3

Analisi Matematica II

Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei

Esercizio 3.1. Esprimere, per i seguenti archi, l'ascissa curvilinea in funzione del parametro e dedurne la lunghezza dell'arco.

Per le curve che non sono date in forma parametrica, occorre prima portarle in forma parametrica, scegliendo l'opportuno parametro.

a) 2r (√) = (cos √, sin √), √ [0, 2π].

Abbiamo 0r (√) = ( sin √, cos √), quindi la curva è di classe e regolare, C 0kr (√)k = 1, e quindi Z √ d#s (√) = √.

In particolare l'arco di curva è lungo s (2π) = 2π.

b) (cicloide).

2r (t) = (t sin t, 1 cos t), t [0, 2π]

Abbiamo 0r (t) = (1 cos t, sin t), quindi la curva è di classe e regolare (tranne in e1C 0 2π), √ ◊t0 2 2 2 2kr (t)k = (1 cos t) + sin t = 2 2 cos t = 4 sin^2 2 che produce √ ◊ √ ◊t t0kr (t)k = 2 sin = 2 sin , 6 6 6 6 > perchè, con abbiamo per cui Perciò t0 t 2π, 0 ≤ sin 0.

2 ✓ ◆Z ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ tt u u tdus (t) = 2 sin = 4 cos = 4 4 cos .2 2 2 20 0(Questa formula non è valida al di fuori dell'intervallo Per esempio per[0, 2⇡].la formula corretta è .) In particolare la lunghezzat2t [2⇡, 4⇡], s (t) = 12+4 cos2 2dell'arco di curva è s (2⇡) = 8.2 1c) con 2r (t) = (cos t, sin t, pt), p > 0, t [0, 2⇡].3Abbiamo 0r (t) = ( sin t, cos t, p)3quindi la curva è di classe e regolare,1C p0 2kr (t)k = 1 + p3e perciò Z p pt du2 2s (t) = 1 + p = t 1 + p .3 0 pIn particolare l'arco di curva è lungo .2s (2⇡) = 2⇡ 1 + p3⇣ ⌘p4 2d) ,3/2 2 2r (t) = t , t , 2t t [0, 3].4 3Abbiamo ⇣ ⌘p0 1/22t , 2t, 2r (t) = 24quindi la curva è di classe e regolare,1C pp0 2 2kr (t)k = 8t + 4t + 4 = 2 (t + 1) = 2|t + 1| = 2(t + 1)4e perciò Z t du 2s (t) = 2 (u + 1) = t + 2t.4 0In particolare l'arco di curva è lungo s (3) = 15.4e) 2 2r (t) = (3 sin t cos t, 3 sin t, 3t) t [0,

^].5Abbiamo 0 → 2→ 2→ (t) = (3(cos t sin t), 6 sin t cos t, 3) = 3(cos 2t, sin 2t, 1)→ quindi la curva è di classe e regolare,1C p0kr (t)k = 3 25e perciò ps (t) = 3 2t.5 pIn particolare l'arco di curva è lungo s (π) = 3 2π.52f) (febbraio 2017).

2→ (θ) = (e cos θ, e sin θ), θ [0, 2π]6Abbiamo0 θ θ θr (θ) = (e (cos θ sin θ), e (sin θ + cos θ)) = e (cos θ sin θ, cos θ + sin θ)6quindi la curva è di classe e regolare,1Cp0 θ 2 22 2kr (θ)k = e cos θ 2 sin θ cos θ + sin θ + cos θ + 2 sin θ cos θ + sin θ6 p θ= 2ee perciò Zp pθ duu θs (θ) = 2 e = 2(e 1).6 0 pIn particolare l'arco di curva è lungo 2πs (2π) = 2(e 1).6Nota: è la curva di equazione in coordinate polari, cioè la spirale esponen-#→ = eziale.g) (luglio 2019).

2→ (t) = (2 cos t, 2 sin t, t), t [0, 3]7Abbiamo 0→ (t) = ( 2 sin t, 2 cos t, 1)7quindi la curva è di classe e regolare,1C p0kr (t)k = 57e perciò ps (t) = 5t.7 pIn particolarel'arco di curva è lungo s(t) = 3√(5.7t^2 + 1), t [0, 1]. Usiamo la parametrizzazione r(t) = (t, log(t)), t [1, 2]. Quindi la curva è di classe C^1 e regolare, |dr/dt| = √(1 + (1/t)^2) = √(t^2 + 1)/t. Perché t > 0. Integrando, otteniamo s(t) = ∫[1, t] √(t^2 + 1)/t dt. Usando quindi la sostituzione u = t^2 + 1, du = 2t dt, otteniamo s(t) = ∫[2, t^2 + 1] √(u)/2 du. Applicando la formula dell'integrale definito, otteniamo s(t) = [√(u)/2] [2, t^2 + 1] = √(t^2 + 1)/2 - 1/2. In particolare, l'arco di curva è lungo s(2) = √(5) + 1/2. Usiamo la parametrizzazione "standard" abbiamo x = e^t, y = √(8 - 2e^t), t [0, π]. Quindi la curva è di classe C^1 e regolare, |r'(t)| = √(e^(2t) + 4e^t) = e^t√(e^t + 4). Integrando, otteniamo s(t) = ∫[0, t] e^u√(e^u + 4) du. Usando quindi la sostituzione u = e^t, du = e^t dt, otteniamo s(t) = ∫[1, e^t] √(u + 4) du. Applicando la formula dell'integrale definito, otteniamo s(t) = [2/3(u + 4)^(3/2)] [1, e^t] = 2/3(e^t + 4)^(3/2) - 2/3(5)^(3/2). In particolare, l'arco di curva è lungo s(π) = 2/3(e^π + 4)^(3/2) - 2/3(5)^(3/2).

la curva è di classe C¹,0 2 2t 2 2 2 2 2tkr (t)k = e (cos t 2 cos t sin t + sin t + cos +2 cos t sin t + sin t) = 2e ,9per cui è regolare e p0 tkr (t)k = 2e .9Perciò Z p pt duu ts (t) = 2e = 2(e 1).9 0 4 pIn particolare l'arco di curva è lungo ⇡s (⇡) = 2(e 1).9L'esempio è lo stesso dell'esempio f).j) 2⇢ = 1 + cos ✓, ✓ [0, 2⇡].Usiamo la parametrizzazione "standard" abbiamo et = ✓, x = ⇢ cos ✓ y = ⇢ sin ✓per cui 2r (t) = ((1 + cos t) cos t, (1 + cos t) sin t), t [0, ⇡].10Abbiamo 0 2 2r (t) = ( sin t 2 cos t sin t, cos t + cos t sin t)10quindi la curva è di classe C¹,0 2 2 2 2 2 3kr (t)k = sin t + 4 cos t sin t + 4 cos t sin t + cos t + 2 cos t10 4 2 2 2 4+ cos t 2 cos t sin t 2 cos t sin t + sin t2 2 2= 1 + 2 cos t + (cos t + sin t)✓ ◆t2= 2 + 2 cos t = 4 cos ,2per cui è regolare (tranne in e⇡) ✓ ◆t0kr (t)k = 2 cos .10 2> 6 6 6 6 6Siccome per e per dobbiamo farecos(t/2) 0

1. 0 ≤ t ≤ π: ∨_t cos(t/2) 0 ∨_t t 2π
2. Se 0 ≤ t ≤ π: ∨_t tdus(t) = 2 cos(u/2) = 4 sin .10 206
3. Se π ≤ t ≤ 2π: ∨_t tds dt dt,0kr= (t)k = 2 cos10 2
4. Quindis (π) = 4.10 ∨_π ∧ ∀t u tdus(t) s(π) = 2 cos = 4 sin +410 10 2 2π
5. ∨_t s(t) = 8 4 sin .10 25
6. Osservare che con le due formule: · ·s(π) = 4 4 1 = 8 4 1 = 4.10
7. In particolare l'arco di curva è lungo s(2π) = 8.10
8. La curva di equazione percorsa a partire dal punto in2 2x + y 4x 2y 4 = 0, P (5, 1)senso orario.
9. È una circonferenza di centro e raggio di cui una parametrizzazioneC(2, 1) 3naturale (che parte da e gira in senso orario) è data daP 2r (√)= (2 + 3 cos (√), 1 + 3 sin (√)), (√) [0, 2π].11
10. Abbiamo 0r (√) = ( 3 sin (√), 3 cos (√))11quindi la curva è di classe e regolare,1C 0kr (√)k = 311e perciò ∨_√ d's (√) = 3 = 3√.11 0
11. In particolare

l'arco di curva è lungo s (π) = 6π

Il segmento che unisce A(3, 1) e B(1, 9). Il punto P appartiene al segmento se e solo se P (x, y) è su AB con 2AP = t AB, t [0, 1], cioè:

x = 3 + 4t, t [0, 1]

y = 1 + 10t

per cui l'arco di curva corrispondente è (t) = (3 + 4t, 1 + 10t).

Abbiamo |r'(t)| = √(3^2 + 10^2) = √109, che dà |s'(t)| = √109 = t√109.

In particolare il segmento è lungo 109.

6m) La curva di equazione 2x^2 + y^2 - 2x = 0. È una circonferenza di centro C(1, 1) e raggio 1.