Esercitazione su: Ascissa curvilinea e Integrali curvilinei (Analisi 2)

Università di Bergamo Anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 3

Analisi Matematica II

Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei

Esprimere, per i seguenti archi, l’ascissa curvilinea in funzione del pa-

Esercizio 3.1.

rametro e dedurne la lunghezza dell’arco.

Per le curve che non sono date in forma parametrica, occorre prima portarle in forma

parametrica, scegliendo l’opportuno parametro.

a) 2

r (✓) = (cos ✓, sin ✓), ✓ [0, 2⇡].

1

b) 2

r (t) = (t sin t, 1 cos t), t [0, 2⇡].

2

c) con 2

r (t) = (cos t, sin t, pt), p > 0, t [0, 2⇡].

3 ⇣ ⌘

p

d) ,

4 2 3/2 2 2

r (t) = t , t , 2t t [0, 3].

4 3

e) 2 2

r (t) = (3 sin t cos t, 3 sin t, 3t) t [0, ⇡].

5

f) (febbraio 2017).

# # 2

r (#) = (e cos #, e sin #), # [0, 2⇡]

6

g) (luglio 2019).

2

r (t) = (2 cos t, 2 sin t, t), t [0, 3]

7

h) 2

y = log x, x [1, 2].

i) ,

✓ 2

⇢ = e ✓ [0, ⇡].

j) 2

⇢ = 1 + cos ✓, ✓ [0, 2⇡].

k) La curva di equazione percorsa a partire dal punto

2 2

x + y 4x 2y 4 = 0,

in senso orario.

P (5, 1)

l) Il segmento che unisce e

A(3, 1) B( 1, 9).

m) La curva di equazione 2 2

x + y 2x = 0.

n) 3 2 2

r (t) = (t 3t, 3t ), t [0, 4].

14

o) 2

r (t) = (cos t + t sin t, sin t t cos t), t [ ⇡, ⇡].

15

p) 3

3 2

r (t) = (cos t, sin t), t [0, 2⇡].

16 p

q) 2

r (t) = (t, log t, 2 2t), t [1, 3].

17 1

Z h i

x p

t

r) dt, .

3

1

p 2

y = x ,

2 2

2

1 t

1

2 ⇣ ⌘

p

5 3

s) ,

2

t t

4 2

r (t) = , t , t [0, 1].

19 5 4 3

Calcolare i seguenti integrali curvilinei (integrali di linea di prima spe-

Esercizio 3.2.

cie): Z ⇣ ⌘

z

a) ds, dove è la curva parametrizzata da , con

1 13

2 3

p r(t) = t, t , t

p 2

x + 2xy

2

t [1, 2];

Z p

b) ds, dove è la curva parametrizzata da

2 2 2 t t

(2 x+y +z ) r(t) = (t , e cos t, e sin t),

con 2

t [0, 1];

Z p

c) ds, dove è la curva di equazione , con

2

2 2

1 + x + 3y y = x x [0, 1];

Z

d) ds, dove è la curva parametrizzata da

2 2

(x y z) r(t) = (3 cos t, 3 sin t, 4t),

con 2

t [0, ⇡].

Si consideri la curva regolare in di supporto seguente:

Esercizio 3.3. R 3

8 x = sin #

< 2

y = cos #

: # [ ⇡, ⇡]

: z = #.

Z Z xy

Calcolare ds e ds.

2 2 2 p

A = x + y + z B = 2

1 + z

Determinare

Esercizio 3.4. Z ds

xy

ove è la curva ottenuta come unione del segmento che congiunge i punti A( 1, 0)

1

e l’arco di circonferenza di raggio e passante per e e il

B(0, 1), 1 B(0, 1) C(1, 0)

2

segmento che permette di chiudere la curva .

3 Determinare la lunghezza dell’arco di curva definito da

Esercizio 3.5. ⇣ ⌘

p

t t 2

r(t) = e , e , 2t , t [0, 1]

e parametrizzarlo mediante l’ascissa curvilinea. Calcolare poi

Z ds.

2

y 2

Sia la curva parametrizzata da ,

Esercizio 3.6. R 3 2

!

r : [0, ⇡] r(t) = (cos t, sin t, t ).

R p

Calcolare ds.

z

Consideriamo la curva parametrizzata da

Esercizio 3.7. r(t) = (a cos t, a sin t, bt),

con parametri reali positivi e Integrare la funzione lungo

2

a, b t [0, 2⇡]. f (x, y, z) = xyz

la curva . Consideriamo la curva parametrizzata da

Esercizio 3.8. r(t) = cos(log(t)), sin(log(t)), t

con Integrare la funzione lungo la curva .

2

2

t [1, e]. f (x, y, x) = z

Ad un filo parametrizzato da di cui la massa lineica

Applicazioni fisiche r(t)

(densità) nel punto è data da sono associate diverse quantità con

P (x, y, z) ⇢(x, y, z),

significato fisico: R

• lunghezza: ds;

L =

R

• massa: ds;

M = ⇢(x, y, z) R R

• baricentro: con ds, ds,

1 1

G(x̄, ȳ, z̄) x̄ = x⇢(x, y, z) ȳ = y⇢(x, y, z) z̄ =

R M M

ds;

1 z⇢(x, y, z)

M R

• momenti d’inerzia rispetto all’asse ds, all’asse

2 2

x: I = (y + z )⇢(x, y, z) y: I =

x y

R R

ds, all’asse ds.

2 2 2 2

(x + z )⇢(x, y, z) z: I = (x + y )⇢(x, y, z)

z

In tutti questi integrali e sono le tre componenti di e ds dt.

0

kr

x, y z r(t) = (t)k

È sottinteso che se il filo è piano, la coordinata è nulla nelle espressioni in cui

z

compare. Calcolare il baricentro dei seguenti corpi filiformi:

Esercizio 3.9.

a) semicirconferenza di materiale omogeneo;

b) asta non omogenea di lunghezza e massa lineica data da ,

AB AB = L ⇢(P ) = kAP

con k > 0. Calcolare il momento d’inerzia dei seguenti corpi:

Esercizio 3.10.

a) anello di materiale omogeneo, raggio e massa , rispetto ad un asse contenente

R M

un suo diametro;

b) anello di materiale omogeneo, raggio e massa , rispetto all’asse perpendicolare

R M

al piano dell’anello e passante per il centro;

3

c) asta non omogenea di lunghezza e massa lineica data da ,

AB L ⇢(P ) = kAP k > 0,

rispetto ad un asse perpendicolare all’asta e passante per il suo estremo A;

d) filo omogeneo descritto da con e

r(t) = (a(cos t sin t), a(cos t + sin t)), a > 0

rispetto all’asse

2

t [0, ⇡], z.

Calcolare la massa, la terza coordinata (z̄) del centro de gravità e il

Esercizio 3.11.

momento d’inerzia rispetto a ll’asse di un filo con la forma di un giro di elica di

z

equazione: 2

r(t) = (a cos t, a sin t, bt), a, b > 0, t [0, 2⇡]

dove la massa lineica del filo est data da .

2 2 2

⇢(x, y, z) = x + y + z

Trovare il momento di inerzia rispetto all’asse delle di un filo circolare

Esercizio 3.12. x

di raggio centrato in

a > 0, O(0, 0)

a) se è omogeneo di massa ;

M

b) se la massa lineica è data da |x| |y|.

⇢(x, y) = +

4

Università di Bergamo Anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 3

Analisi Matematica II

Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei

Esercizio 3.1. Esprimere, per i seguenti archi, l’ascissa curvilinea in funzione del parametro

e dedurne la lunghezza dell’arco.

Per le curve che non sono date in forma parametrica, occorre prima portarle in forma

parametrica, scegliendo l’opportuno parametro.

a) 2

r (✓) = (cos ✓, sin ✓), ✓ [0, 2⇡].

1

Abbiamo 0

r (✓) = ( sin ✓, cos ✓)

1

quindi la curva è di classe e regolare,

1

C 0

kr (✓)k = 1

1

e perciò Z ✓ d#

s (✓) = = ✓.

1 0

In particolare l’arco di curva è lungo s (2⇡) = 2⇡.

1

b) (cicloide).

2

r (t) = (t sin t, 1 cos t), t [0, 2⇡]

2

Abbiamo 0

r (t) = (1 cos t, sin t)

2

quindi la curva è di classe e regolare (tranne in e

1

C 0 2⇡), ✓ ◆

t

0 2 2 2 2

kr (t)k = (1 cos t) + sin t = 2 2 cos t = 4 sin

2 2

che produce ✓ ◆ ✓ ◆

t t

0

kr (t)k = 2 sin = 2 sin ,

2 2 2

6 6 6 6 >

perché, con abbiamo per cui Perciò

t t

0 t 2⇡, 0 ⇡ sin 0.

2 2

 ✓ ◆

Z ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ t

t u u t

du

s (t) = 2 sin = 4 cos = 4 4 cos .

2 2 2 2

0 0

(Questa formula non è valida al di fuori dell’intervallo Per esempio per

[0, 2⇡].

la formula corretta è .) In particolare la lunghezza

t

2

t [2⇡, 4⇡], s (t) = 12+4 cos

2 2

dell’arco di curva è s (2⇡) = 8.

2 1

c) con 2

r (t) = (cos t, sin t, pt), p > 0, t [0, 2⇡].

3

Abbiamo 0

r (t) = ( sin t, cos t, p)

3

quindi la curva è di classe e regolare,

1

C p

0 2

kr (t)k = 1 + p

3

e perciò Z p p

t du

2 2

s (t) = 1 + p = t 1 + p .

3 0 p

In particolare l’arco di curva è lungo .

2

s (2⇡) = 2⇡ 1 + p

3

⇣ ⌘

p

4 2

d) ,

3/2 2 2

r (t) = t , t , 2t t [0, 3].

4 3

Abbiamo ⇣ ⌘

p

0 1/2

2t , 2t, 2

r (t) = 2

4

quindi la curva è di classe e regolare,

1

C p

p

0 2 2

kr (t)k = 8t + 4t + 4 = 2 (t + 1) = 2|t + 1| = 2(t + 1)

4

e perciò Z t du 2

s (t) = 2 (u + 1) = t + 2t.

4 0

In particolare l’arco di curva è lungo s (3) = 15.

4

e) 2 2

r (t) = (3 sin t cos t, 3 sin t, 3t) t [0, ⇡].

5

Abbiamo 0 2 2

r (t) = (3(cos t sin t), 6 sin t cos t, 3) = 3(cos 2t, sin 2t, 1)

5

quindi la curva è di classe e regolare,

1

C p

0

kr (t)k = 3 2

5

e perciò p

s (t) = 3 2t.

5 p

In particolare l’arco di curva è lungo s (⇡) = 3 2⇡.

5

2

f) (febbraio 2017).