Esercitazione di meccanica razionale - esercitazione n°9

MATRICE D’INERZIA

Con puntiforme o somma

I_x = Σm_i (y_i² + z_i²)

distanza punto - centro dell'asse x

I_yy = Σm_i (x_i² + z_i²)

I_zz = Σm_i (x_i² + y_i²)

I_xy = -Σm_i x_i y_i

I_xz = -Σm_i x_i z_i

I_yz = -Σm_i x_i z_i

Con continuo o integrale, la massa è infinitesima

d_m

Ricavo la densità

LINEARE

AREA d_m

VOLUME

MATRICE D’INERZIA RICAVO IL TENSORE D’INERZIA

Che uso con il momento angolare

L_o = Σ I. ω = I ( ω )

ω. f_e3

Σ Moment_o^EST = dL_o / dt + V_o Λ (M V_CM)

L_o + L_P

Lamina quadrata

d = \frac{M}{s} = \frac{M}{l^2} \, dx \, dz

_I^̂ =

I_xx = \int dm \, z^2 = \int \frac{M}{l^2} \, dx \, dz \, z^2 = \frac{M}{l^2} \int_0^l dx \int_0^l dz \, z^2 = \frac{M}{l^2} \left[ \frac{z^3}{3} \right]_0^l

= -\frac{M}{l^2} \frac{l^3}{3} = \frac{Ml^2}{3}

I_yy = \sum_i (m_i (x_i^2 + z_i^2))

= x_i^2 / \int dm \, x^2 = \int \frac{M}{l^3} dx \, dz \, x = \frac{M}{l^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^l = \frac{Ml^2}{3}

I_yy = \frac{Ml^2}{3} + \frac{Ml^2}{3} = \frac{2Ml^2}{3}

I_zz = \Sigma m_i(\frac{y_x^2}{3}) = \frac{MR^2}{3}

I_xy = - \Sigma m_i x_i y_i = 0

I_yz = - \Sigma m_i z_i y_i = 0

I_zx = I_xz = - \int dm \, x \, z = -\frac{M}{l^2} \int_0^l dx \, \int_0^l dz

= -\frac{M}{l^2} \left[ \frac{z^2}{2} \right]_0^l = -\frac{Ml^2}{4}

_I^̂ = \begin{bmatrix} \frac{l^2}{3} & 0 & -\frac{Ml^2}{4} \\ 0 & \frac{2Ml^2}{3} & 0 \\ -\frac{Ml^2}{4} & 0 & \frac{Ml^2}{3} \end{bmatrix}

seconda

m ẍ₁ = -k (x₂ - x₁)

3/2 m ẍ₁ = k(x₂ - x₁)

3/2 m ẍ₂ = -k (x₂ - x₁)

3/2 m (ẍ₁ + ẍ₂) = 0

le soluzioni nell'istante iniziale

c₁ = 0

x₁ + x₂ = 0

ẍ₁ + ẍ₂ = costante = C

dipende da condizioni iniziali

x₁(t) + x₂(t) = R

sostituendo nella I

3/2 m ẍ₁ = k (R - x₁ - x₂)

(1/dt) (ẋ₁ + ẋ₂) = 0

x₁ + x₂ = c₂

ẋ₁ + ẋ₂ = 0

0 + R = C₂

ẋ₁ + 2k/3m (R - 2x₁) = 0

ẋ₁ = 2k/3m (R - 2x₁)

ẍ₁ = (4k/3m) x₁ = 0

oscillatore armonico che oscilla

attorno ad R/2

x₁(t) = R/2 + A cos(ωt + φ)

Con ω = √(4k/3m)

k = 3m₀g/^l

1. L
2. EQUILIBRIO, STABILITA
3. PERIODO PICCOLE OSCILLAZIONI
4. se ^θ(0)=0 {^θ=? θ(0)=^π/6; {^θ=^π/4

T₃ = T₁ = 1/2 I₀ ^′′ = 1/2 1/3 m^{l2 ′′} = 1/6 m l^{2 ′′}

T₂ = 1/2 m V² = 1/2 m V_G²

T₂ = 1/2 m₁ l₂ ^′′ - 1/8 m l^{2 ′′}

T = 1/6 m l^{2 ′′} + 1/8 m l ^′′ = m/24 m l^{2 ′′}

U = -m g y_G - m g y_C3 - m g y_C3 y_G = - l/2 cos θ

= m g l / 2 cos θ - m g (- l / 2 cos θ - l) = -m g (- l / 2 cos θ - l) = m g (cos θ)

= 3 l₂ m g cos θ