Esercitazione di meccanica razionale - esercitazione n° 10

Stabilità Equilibrio

OB=OA=l

Sistema

R₀ + p₁ + p₂ = 0

R₀ = -p₁ - p₂ = 2 mg e₂

U = -mg y_B - mg y_D - 1/2 kAC² + ϕ

X_B = l senθ e₁ - l cosθ e₂

X_A = 2X_B = 2l senθ e₁ - 2l cosθ e₂

X_D = (l senθ + l sen(ϕ)) e₁ + (- l cosθ - 2l cosϕ) e₂

X_C = (l senθ + l sen(ϕ)) e₁ + (l cosθ - l cosϕ) e₂

X_C - X_A = (l senϕ - l senθ) e₁ + (l cosθ - l cosϕ) e₂

^CA = |X_C - X_A| = √(2l² senϕ + 2l² senθ - 2l² senθ(ϕ) + 2l cosϕ + l² cosθ - 2l² cosϕθ)

ℓ_λ = √[ℓ² + l² - 2ℓ² (cosθ cosφ + senθ senφ)]

= √[2ℓ² - 2ℓ² (cos(φ - θ))]

|ℓ_λ| = 2ℓ² - 2ℓ² (cos(φ - θ))

U = -mg ∫ (-lcosθ) - mg ∫ (l cosθ + l/2 cosφ) -

∫ k [ℓ² - 2ℓ² cos(φ - θ)] + Mφ

= 2mg (-l cosθ - mgl/2 cosφ + kl² cos(φ - θ) + Mφ

∂U/∂θ = -2mgl senθ + kl² sen(φ - θ)

∂U/∂φ = -mgl/2 senφ - kl² sen(φ - θ) + M

φ = π/3

θ = π/6

∂U/∂θ = 0 ⇒ -2mglcosπ/6 + kl² sen(π/3 - φ/3) = 0

∂U/∂φ = -mgl/2 senπ/3 - kl² sen(π/3 - π/6) + M = 0

-mgl + kl²/2 ≥ 0 ⇒ k = 2 mg/l

-mgl√3/2 - kl²/2 + π ≥ 0 ⇒ M = mgl + mgl√3/4

U(φ, θ) = -2mgl*cosθ + kl²*cos(φ - θ) [- ∫]

= -2mgl*√3/2 + kl² √3/2(-1) = -√3mgl - mgl√3

∂²U/∂φ² = -mgl/2 cosθ - kl² cos(φ - θ)

= mgl/2*1/2 - 2mgl/ℓ cosπ/6 - mgl/6(1/2 + √3)