Esercitazione di meccanica razionale - esercitazione n°8

Equazioni di Lagrange

gratino elastico con peso rotolante

Equazioni moto iniziate con calcolare tutti gli angoli.

• T sostante
• Eq. diff. moto
• Θ(0)= π/6, Θ˙(0)= ω
• π/2 sia accessibile

1. T₁ = T₃ = 1/2 I_A ω₃² = 1/2 I_BC θ = T + U

   I_A = I_CX + m G_A² = 6 ml² θ²

2. T_Z = 1/2 m V_G2² + 1/2 I_C2 ω₂²

   relocato punto del moto 2

V_O = V_C + W N(CD)

[ V_O ] = | V_D | - | W | ( | A B | )

T_Z = 1/2 ml (θ˙)²

T_SISTEMA = 2 · ¹/₆ ml² θ̇² + ¹/₂ ml² θ̇²

= ⁵/₆ ml² θ̇²

ENERGIA POTENZIALE

U = -mg y_G1 - mg y_G2 - mg y_G3

U = -mg ( ^l/₂ senθ )² - mg l cosθ

U = -2 mg l cosθ

L = T + U = ⁵/₆ ml² θ̇² - 2 mg l cosθ

∂L/∂θ̇ = ⁵/₆ ml² θ̇

d/dt [ ∂L/∂θ̇ ] = ⁵/₆ ml² 2θ̇ = ⁵/₃ ml² θ̈

d/dt [ ∂L/∂θ̇ ] = ∂L/∂θ

∂L/∂θ = -2 mg l cosθ

θ̈ = -⁶/₅ g/l cosθ

θ(0) = π/6

θ̇(0) = ω

E_H = T - U

= ⁵/₆ ml² θ̇² + 2 mg l senθ

dE/dt = 0

⁵/₆ ml² 2θ̇θ̈ + 2 mg l cosθ θ̇ = 0

FINO A 2 GRADI DI LIBERTA' OLTRE

x_P(x + 2 cos30°) e₁ + (R - 2 sen30°) e₂

v_P(ẋ+ λ̇ ^√3₂) e₁ - λ̇ ¹₂ e₂

T_P = ¹₂ m v_P² = ¹₂m[(ẋ + λ̇^√3₂)² + (λ̇ ¹₂)²]

= ¹₂ m [ẋ²+ λ̇^2√3₄]

T_P = ¹₂ m [ẋ²+ λ̇² + ẋ λ̇√3]

T_TOT = T_DISCO + T_ASTA + T_P = ³₄m ẋ² + ¹₂m λ̇² + ¹₂ m [ẋ² + λ̇² + ẋ λ̇ √3]

= ⁷₄ m ẋ² + ¹₂m λ̇² + ^√3₂ m ẋ λ̇

Potenziale

U = - m g^P_A - m g^P_M - m g^p_P = (R - λ sen30°)

= - m g λ cos φ + m g λ sen30°

U = m g λ ¹₂

LAGRANGIANA

L = ⁷₄ m ẋ ² + ¹₂m λ̇² + m ^√3₂ ẋ λ̇ + m g λ ¹₂

EQUAZIONI DEL MOTO

• d / dt [∂L / ∂ẋ ] - ∂L / ∂x = 0
• ∂L / ∂ẋ = ⁷₂ m ẋ + m ^√3₂ λ̇
• ∂ / ∂x = 0
• per qualsiasi λ
• d / dt [∂L / ∂λ̇ ] - ∂L / ∂λ = 0
• d / dt [∂L / ∂λ] = ⁷₂ m ẋ + m ^√3₂ λ̇
• ∂L / ∂x = 0 per qualsiasi λ
• succede che d / dt [∂L / ∂ẋ] = 0 = ∂L / ∂X