Esercitazione di laboratorio - pendolo

Formule utilizzate:

N∑ x i - Formula per il calcolo della media aritmetica: ∑ x_i / N, dove N è il numero di misurazioni, che nel nostro caso specifico è uguale a 8.

Formula per il calcolo della deviazione standard della media aritmetica: √ (N∑ (x - μ)²) / (N(N-1))

Espressione del periodo: T = 2π √ (L / g)

Formula per il calcolo della semi-somma e semi-differenza: B_max = (B₁ + B₂) / 2, Δ B = (B₂ - B₁) / 2

Formula per il calcolo di g e la sua incertezza: g = σ g π / σ B, σ g = √ (s² / B²)

Formule per il calcolo dei coefficienti A e B attraverso il metodo della regressione lineare: A = (∑ x∑ y - n∑ xy) / (∑ x² - n∑ x²), B = (Δ y - AΔ x) / √ (∑ x² - n∑ x²)

σ ; σ B ∙i i s y s y∆ ∆i=1 i=1Calcolo della media aritmetica delle misure del periodo “T” , calcolo di “T ” e le relative incertezze:2applicando la formula della media aritmetica e della deviazione standard dellamedia aritmetica si ottiene:8∑ TT 1Per : 0,68+ 0,66+0,65+0,65+ 0,63+0,64+ 0,65+0,691 i=1= = =0,656T́ s1 8 8√ 8∑ 2(T − )T́ √1 ,i 1 0,002788( ) i=1= = =0,007σ T́ ss 1 8(8−1) 56Per ognuna delle 8 misure del periodo “T” relative a ciascuna lunghezza “L” e per2ogni valore di “T ” sempre relativo a ciascuna lunghezza “L” , è stato applicatoquesto procedimento. Si è ottenuta cosi la seguente tabella:

L [cm]	T [s]
8	0,68
16	0,87
24	1,04
32	1,19
40	1,31

(σ ( 22 2 )T́[s] T́T́ ) [ ]T́ s nnn n[s] 2[s ]0,6562 0,0070 0,4310 0,009335 55 13 40,0073 0,013130,895 0,801419 20,010301,035 0,005 1,0714 70,011701,175 0,005 1,3808 70,0061 1,7360 0,016361,3175 96 75 9

Variazione di T2 al variare di L

21	1	1	1	1
T2[s2]	0.8	0.6	0.4	0.2	0.05	0.1	0.15	0.2	0.25	0.3	0.35	0.4	0.45
L[m]

Il grafico ottenuto rispecchia quanto ci si aspettava dall’ espressione del periodo24 π2 =di oscillazione di un pendolo semplice linearizzata ( , cioè unT L )g2andamento lineare di T rispetto alla lunghezza L.

Metodo grafico

• 21 25- Retta di massima pendenza (tra T e T ):La retta dovrà passare per i punti P (0,08 ; 0,4217) e P (0,4 ; 1,7524)1 2{ ( )+0,4217= B́ 0,08 Ámax max( )+1,7524= B́ 0,4 Ámax max [ ]2s 2=0,0890[ ]Risolvendo il sistema si ricava: e=4,1584 Á sB́ maxmax m21 25- Retta di minima pendenza (tra T e T ):La retta dovrà passare per i punti P (0,08 ; 0,4403) e P (0,4 ; 1,7197)3 4{ [ ]2s{ ( )+0,4403= B́ 0,08 Á

=3,9981B́min min min m( )+1,7197= B́ 0,4 Ámin min =0,1205[mm]Á min- Calcolo della semi-somma e semi-differenza:[ ] [ ]+ −B́ B́ B́ B́2 28,1565 s 0,1603 smax min max min= =4,0783 = =0,0802B= ; ∆ B=2 2 m 2 2 m| |− | |Á Á+Á Á −0,03150,2095 [ ] max min2 2max min = =0,1048 = =0,0158[s ]A= s ; ∆ A=2 2 2 22 =( ) ( )Perciò: T 4,0783 ± 0,0802 L+ 0,1048 ± 0,0158- Calcolo dell’ accelerazione di gravità:[ ]24 π 39,48 m= =9,68g= 2B 4,0783 s [ ]( )−1 −39,48 m2( ) ( )= ( )=−0,19=4σ g π ∙ σ B ∙ 0,0802s s 16,632 2B s