Esami di econometria con soluzione, prof. Casarin

3) Modello vincolato secondo le hp. nulla al p.to 2.

h₀: β₂ = β₃ ; β₅ = β₆ ; β₁ = 0

y_t = β₀ + β₁ x_1t + β₂ x_2t + β₃ x_3t + β₄ y_ut + β₅ x_5t + ε_t

y_t = β₀ + β₂ x_2t + β₃ x_3t + β₄ y_ut + β₅ x_5t + ε_t

y_t = β₀ + β₃ x_3t + β₃ x_2t + β₄ x_ut + β₅ x_5t + ε_t

y_t = β₀ - β₃ x_2t + β₃ x_3t + (β₅ - λ) x_ut + β₅ x_ut + ε_t

= β₀ + β₃ (x_3t - x_2t) + β₅ (x_4t + x_5t) = x_ut + ε_t

(x^*_5t)

y_t + x_ut = β₀ + β₃ x^*_3t + β₅ x^*_5t + ε_t

y^*_t = β₀ + β₃ x^*_3t + β₅ x^*_3t + τ ε_t

dove {

y^*_t = y_t - x_ut

x^*_3t = x_3t - x_2t

x^*_5t = x_ut + τ x_5t

2. H₀: β₂=β₃ e β₅−β₄=1 e β₁=0

Restrizioni

Numero di restrizioni

3. Scrivere il modello vincolato considerando le diverse ipotesi H₀ elencate sopra

• a) H₀: β₂=β₄=β₅

⇒ y_t = β₀ + β₄x_4t + β₂x_2t^* + β₃x_3t^* + ε_t

dove x_3t^* = x_3t + x_4t + x_5t

• b) H₀: β₂=−β₃; β₅−β₄=1; β₁=0

⇒ y_t^* = β₀ + β₂x_2t^* + β₄x_4t^* + ε_t

dove

y_t^e = y_te − x_5t

x_3t^e = x_2t − x_3e

x_4t^e = y_4t + x_5e

4. Trovare lo stimatore β₂ di β₂ sotto le ipotesi H₀ date sopra

Gli stimatori β₁ e β₃, sotto le ipotesi H₀, si ricavano applicando adeguatamente

la formula usuale dei minimi quadrati βᵼ = (X'X)⁻¹ X'y delle

forme stimabili trovate in 2

Uso il modello MULTINOMIATO:

y_t^* = β₂x_2t^* + β₄x_{4t *} + ε_t

X =

... Vedi avanti gli altri

β̂_as = (X'X)⁻¹ X'y

S_t: = 4

= 1/2(y₃+y₄)

y_t³ = Σ y_t-I = y_t-0 + y_t-1 + y_t-2

= y₃ + y₂ + y₁

= y₄ + y₃ + y₂

τ = 1/2(y₃+y₂+y₁ + y₄+y₃+y₂ )=

= 1/2(2y₃+2y₂+y₄+y₄)

(sono passi dividere!)

V(er) = 1/4 (V(2y₃)+V(2y₂)+V(y₄)+V(y₄)) =

(

= 1/4 (4+4+1+1)= 10/4

(0τ: )

=

V(0τ) = 1/(T-2)² V(Σ _t=3(y_t+y_t-1+y_t-2) ) =

= 1/(T-2)² V(Σ _t=3 y_t-1 + Σ _t=3 y_t-2) =

= 1/(T-2)² V(Σ _t=3 y_t) + V( ) + V( ) + 2 Cov( ) - -

C'è un pezzo che non si legge

+ 2 cov(...)

ce ne sono tanti, non puoi mettere a caso

soluzione:

V(θ̂_T) =

3. Si verifichi se la varianza calcolata è non negativa.

V(θ̂_T) > 0 ⟺

T > 2,8

Condizione soddisfatta dalle condizioni del problema.

4. lim_T→∞ Var(θ̂_T)

5. ll p lim(θ̂_T)

1) lim_T→∞ E(θ̂_T) = 0 = 0

2) lim_T→∞ U(θ̂_T) = 0

Esercizio 2

Si consideri il seguente modello di regressione:

y_i = α + βx_i + ε_i i = 1,...,60

dove il termine di errore soddisfa le usuali ipotesi del modello di regressione lineare. La stima della regressione su 60 osservazioni produce i seguenti risultati:

y_i = -9 + 1.1x_i + e_i

RSS = 170 e R² = 0.85

dove R² è il coefficiente di determinazione, e_i sono i residui e la matrice di varianza e covarianza degli stimatori â e b̂ è pari a

• 6.0 -0.1
• -0.1 1.0

1. Si verifichi la significatività della stima â al livello di significatività del 5%.
2. Si verifichi il vincolo H₀: β = 1 al livello di significatività del 5%.
3. Si verifichi il vincolo H₀: α + 2β = 1 al livello di significatività del 5%.
4. Si proponga il test opportuno per verificare l'ipotesi di significatività congiunta di b̂₂, b̂₃ e b̂₄ nel modello generale:

y_i = α + β₂x_2i + β₃x_3i + β₄x_4i + ε_i

dove sono state introdotte ulteriori variabili esplicative, sapendo che sono state utilizzate le stesse 60 osservazioni e che ora R² = 0.90.

1. Verifica significatività α Liv. Signif. 0,05 :

   • H₀: α = 0
   • H₁: α ≠ 0

   F_ACIO i_{TEST T di} student perché è un solo β̂:

   T = _alfa / s.e.(X) ∼ t_(n-1)

   Signif.

   • -9 - 0
   • _√6

   T = -3,6

   RIFIUTO H₀

   Quindi ACCETTO H₁ − Quindi α è significativo al livello 0.05

2. Verifica H₀: β = d al livello signif. 0,05 :

   • H₀: β = 1
   • H₁: β ≠ 1

   T = β̂ - β₀ / s.e.(β̂) = (1.1 - 1) / √0.1

   ACETTO H₀

1. Si mostri che lo stimatore OLS di β = (β₁,β₂)' è β̂ = (X'X)^-1X'y dove X = (x₁,x₂) e β̂ = (β̂₁,β̂₂)'.

2. Si mostri usando l'assunzione di ortogonalità dei due regressori che β̂₁ = ∑(x_iy_i) / ∑(x_i)² e β̂₂ = ∑(x_2iy_i) / ∑(x_2i)²

Sviluppo: β̂_as = (X'X)^-1X'y

3. Trovare E(β̂₁) e E(β̂₂) e dire se gli stimatori al punto precedente sono corretti.

Università Ca’ Foscari di Venezia

Dipartimento di Economia

Anno accademico: 2015/16

Introduzione all’econometria

prof. Roberto Casarin

prof. Domenico Sartore

Data: 01/06/2016

Durata del compito: 1 ora e 30 minuti

NB:

1. E’ ammessa la sola consultazione del libro di testo, ma non degli appunti;
2. E’ ammesso l’uso di pocket calculator ma non del telefono cellulare.

Esercizio 1

Dato il vettore di v.c. x_t~NID(0,σ₂), t = 1,2,...,T, si consideri la variabile casuale definita da:

y = (Σ_tx_t)/T => Media campionaria = x̄~ N (0; σ₂/T)

Si trovi la distribuzione di y.

x̄ = Σ_tx_t/T ~N (0,σ₂T) => (x₁+...+x_T) =(√T)(x̄) = (1/√T)N (0,σ₂)

= 1/√T N (0;σ₂)

= N(0;(1/√T)²) => (1/σ)(0) (2/2²)(√T)²) = (N (0,2σ₂/T²) = N (0,2σ₂/T²) = N (0, 2σ₂/T)

Si definisca ora la nuova variabile casuale z:

z = 1/σ₂ y² = 1 D Nuetodo

a) Si calcoli E(z)

E(z) = E(T/2 y²) = T/2 E(y²)

= E(y²) = E(x̄²) - E(x)₂) = v(y) + E²(x) => E(z²) = 2σ₂/T + σ = 2σ₂/T

b) Trovare Var(z)

v(z) = E(T/2 y²) - E(z)₂ = E(T/2 y²) - 1 - Σ = T²/2² (V(y)²) - 1 =

= 1/T²/2 2σ²/T - 1 = 2

c) Dire come si distribuisce la v.c. z

[Sugg: Si ricordi che se v~N(0,σ) allora |Y|² = 3σ√π^-1]

z ~ χ² 1

E((χ² 1)_k) > 1

V((χ² 1)_k) > 2