esame svolto analisi 3_1

IX.

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de

- 3. Calcolare l’integrale !

ZZ y

p

2arcsin dxdy

2 2

x + y

D R 2 2 2

{(x, 2  

dove D é l’insieme D = y) : 1 x + y 4, y 0}.

4. Calcolare l’integrale ZZ (x y) dxdy

D

R 2 2 2

{(x, 2  

dove D é l’insieme D = y) : 1 x + y 2, y 0, x 0}.

1. Considerare la forma di↵erenziale:

(sen(y) ycos(x))dx (sen(x) xcos(y))dy .

La forma é esatta? é chiusa? Calcolare l’integrale della forma lungo le curve:

8

< 3 2

x(t) = sin(t) + t sin(t ) 2

(t) = t [0, 1]

1 : 5

y(t) = t

8

< x(t) = 5cos(t) 2

(t) = t [0, 2⇡]

2 : y(t) = 3sin(t)

2. Sia data la forma di↵erenziale a(x, y)dx + b(x, y)dy con a(x, y) = 2x + y 1/x

e b(x, y) = y. La forma é esatta? é chiusa? Calcolare l’integrale della forma

lungo il segmento che collega i punti (1/2, 1/6) e (1, 1).

Qualora la forma non sia esatta, riscriverla nella forma a(x, y)dx + c(x, y)dy +

[b(x, y) c(x, y)]dy in modo che a(x, y)dx + c(x, y)dy sia esatta.

3. Considerare la forma di↵erenziale: ✓ ◆

⇣ ⌘ 5

y x 4

3 3

+ x y dx + y dy .

2

x 4x

La forma é esatta? é chiusa? Calcolare l’integrale della forma lungo il segmento

che collega i punti (1, 1) e (2, ⇡). 2

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3 primitiva

unica

Quindi :

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Y

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'

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4. Considerare la forma di↵erenziale:

✓ ◆ 4 3

3 x y + 2

2

4x xy + dx + dy .

3

4 y

La forma é esatta? é chiusa? Calcolare l’integrale della forma lungo le curve:

8

< 3

x(t) = t + 5 2

(t) = t [1, 2]

1 : y(t) = t/2

8

< x(t) = 1 2

2

(t) = t [e, e ]

2 : |log(1/t)|

y(t) =

1. Calcolare l’integrale triplo

ZZZ 2

(x log(y + 1) + z) dx dy dz

D R

3 3

⌘ ⇢

dove D é il cubo D [0, 2] .

2. Calcolare l’integrale triplo

ZZZ 2 (y+1)

(x e + z) dx dy dz

D R

3 3

⌘ ⇢

dove D é il cubo D [ 1, 1] .

3. Calcolare l’integrale triplo

ZZZ 2

(x log(y + 2) + z) dx dy dz

D R

3 3

⌘ ⇢

dove D é il cubo D [ 1, 1] .

4. Calcolare l’integrale triplo

ZZZ 2 (y+1)

(x e + z) dx dy dz

D R

3 3

⌘ ⇢

dove D é il cubo D [ 2, 0] .

3 3

4×3+3×2

ANNI .dAC 4x

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dy chiusa

FORMA

LA

"

Buy E

) × +

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j dBC =

dx è

VERIFICO CHI

sia costante

CHE esatta : per

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}

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CHI

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2

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Esiste Quindi primitiva

unica ?

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di è § si

§

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1. Sia (x) la funzione 8

>

> 1/3 if x = 0

>

>

>

>

>

> 1/5 if x = 2

>

<

(x) = 4/15 if x = 1

>

>

>

>

> ↵ if x =

>

>

>

>

: 0 altrimenti

Stabilire i valori ↵, tali per cui possa essere presa come densitá di una

probabilitá che ha media µ = 0.5.

Detta X la variabile aleatoria che ha densitá definita come sopra, calcolare la

probabilitá P (X 0).

2. Sia (x) la funzione 8

>

> 1/3 if x =

>

>

>

>

>

> 1/5 if x = 2

>

<

(x) = 4/15 if x = 1

>

>

>

>

> ↵ if x = 2

>

>

>

>

: 0 altrimenti

Stabilire i valori ↵, tali per cui possa essere presa come densitá di una

probabilitá che ha media µ = 0.5.

Detta X la variabile aleatoria che ha densitá definita come sopra, calcolare la



probabilitá P (X 0). 4

'

probabilita variabile

| X = aleatoria

SI

: × =

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5 ②

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Io +

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§ p

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3. Sia (x) la funzione 8

>

> 1/2 if x = 1

>

>

>

>

>

> 1/12 if x = 2

>

>

>

>

< 1/4 if x = 3

(x) = >

> 1/12 if x = 4

>

>

>

>

>

> 1/12 if x = 5

>

>

>

>

: 0 altrimenti

Detta X la variabile aleatoria che ha densitá definita come sopra, staqbilire se

{2  {X

i seguenti eventi sono indipendenti: E = X < 4} E = = 3}.

1 2

Calcolare i primi tre momenti della v.a. X.

Calcolare il percentile 0.6 della v.a. X.

4. Sia (x) la funzione 8

>

> 1/12 if x = 1

>

>

>

>

>

> 1/12 if x = 2

>

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