Equazioni e disequazioni moto rettilineo e piano inclinato

MATEMATICA

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI

❖ PROBLEMI DI MATEMATICA E FISICA

➢ MOTO RETTILINEO

➢ PIANO INCLINATO

➢ Moto rettilineo

Problema 134

Lo spazio di arresto s, espresso in m per un veicolo che viaggia alla velocità v, in km/h, può essere

2

= ⋅ 3 + ( ) .

approssimato alla formula 10 10

Quando si guida a vista, il guidatore deve regolare la velocità in modo che in ogni momento sia possibile

fermarsi entro la distanza visibile. Per distanza visibile si intende la lunghezza del tratto di strada che il

guidatore può vedere. Determina la massima velocità ammissibile se la distanza visibile è uguale a 25 m.

Svolgimento

Per frenare in sicurezza lo spazio d’arresto deve essere minore o uguale alla distanza visibile:

≤ 25

2

( ) +3⋅ − 25 ≤ 0

10 10

=

poniamo per semplicità di calcolo: 10

2

+ 3 − 25 ≤ 0

risolviamo l’associata : 2

+ 3 − 25 = 0

Δ = 109 > 0

= −67

−3 ± v = 5 ⋅ −

(−3 √109)

√109 1 ℎ

1

= = ={ →{

1,2

10 2 v = 5 ⋅ +

(−3 √109)

2 = 37

2 ℎ

2

( ) +3⋅ − 25 ≤ 0

10 10

La disequazione è verificat per valori interni

−67 ( ) ≤ ≤ 37 ( )

ℎ ℎ

Nel problema la velocità può assumere solo valori positivi, perciò affinché il guidatore possa frenare in

sicurezza la velocità massima è circa 37 km/h.

➢ Moto rettilineo

Problema 135

Un corpo di massa 5,0 kg è posto su un piano inclinato liscio, lungo 2,0 m e alto 1,0 m. Il corpo è collegato a

una molla di costante elastica k=100 N/m e a un punto materiale di massa m come in figura.

l’allungamento della molla è di 30 cm.

a. Trova m sapendo che il sistema è in equilibrio e che

b. Il comportamento della molla è elastico fino ad un allungamento di 50 cm. Per quali valori di m la

molla segue la legge di Hooke? ≤ 7.6]

[a) 5,6kg; b)

Svolgimento

Consideriamo il corpo di massa m. Le forze agenti sono il

⃗ ⃗

suo peso e la tensione , entrambe dirette

2

verticalmente. Supponendo che la fune sia inestensibile e di

massa trascurabile, il modulo della tensione lungo la fune è

uniforme ovvero uguale a quello della tensione del primo

tratto di fune che regge la massa M, quindi sappiamo che:

= .

2 1

Il corpo di massa m è in equilibrio se la forza risultante su di esso è nulla. Nel riferimento cartesiano Oxy

scelto abbiamo:

⃗ = 0

− = 0 → =

2 2

2 1

= =

Dobbiamo quindi determinare il valore di per poter trovare il valore della massa m.

1

Esaminiamo allora il corpo di massa M e le forze agenti su di esso: ℎ

• = = −

componente del peso parallela al piano: ∥

• = −Δ

la forza elastica esercitata dalla molla:

•

la tensione della fune 1

Imponiamo che la somma di queste forze sia nulla per l’equilibrio, .

e ricaviamo il valore della tensione 1

= 0

− − = 0

1 ∥ = +

1 ∥

= + Δ

1

Inseriamo i dati ed otteniamo: 1

= 5,0 ⋅ 9,81 ⋅ + 100 ⋅ 0.30 ≈ 55

1 2