Equazione di due piani e relativi angoli di inclinazione, misure di superficie e volume

Complementi di matematica

Geometria analitica nello spazio

Esercizi svolti

Equazione di due piani e relativi angoli di inclinazione

Misure di superficie

Misure di volume

Problema completo

Si è progettato con un software una casetta per gli attrezzi da giardino, come in figura.

1. Scrivere le equazioni dei piani contenenti le due falde del tetto e determinarne la loro inclinazione rispetto al piano orizzontale
2. Determinare l’area della superficie del tetto.
3. Calcola il volume occupato dalla casetta.

Determinazione delle equazioni dei piani

a. La falda sinistra passa per i punti A(0; 0; 15), B(16; 0; 15) e T(0; 12; 18). Determiniamo l’equazione del piano:

a = 0
c + d = -15c
16a + 15c + d = 0
b = -4c
12b + 18c + d = 0
12b + 3c = 0
d = -15c

Otteniamo il piano di equazione: ¹/₄cy + cz - 15c = 0 → - y + 4z - 60 = 0. Il suo vettore normale è _n(0; -1; 4).

L’angolo α che forma con il piano orizzontale, di vettore normale _n(0; 0; 1), è congruente all’angolo tra i vettori normali dei due piani. Ricordando che â · ˆ_n = an cos α, abbiamo:

cos α = ^{ân · ˆ_n}/_an = ⁴/_1·√17 → α ≈ 14°.

La falda destra passa per i punti C(0; 24; 15), D(16; 24; 15) e T(0; 12; 18). Determiniamo l’equazione del piano:

24b + 15c + d = 0
d = -24b - 15c
16a + 24b + 15c + d = 0
a = 0
12b + 18c - 24b - 15c = 0
c = 4b
d = -84b

Otteniamo il piano di equazione: y + 4z - 84 = 0 e il suo vettore normale è _m(0; 1; 4).

Anche in questo caso l’inclinazione è circa di 14°.