Equazione della trasformazione a partire dalle coordinate

Complementi di matematica

Trasformazioni geometriche

Esercizi Svolti

• Classificare una trasformazione e individuare gli eventuali elementi uniti
• Equazioni della trasformazione a partire dalle coordinate

Complementi di matematica

Trasformazioni geometriche

Esercizi Svolti

• Classificare una trasformazione e individuare gli eventuali elementi uniti
• Equazioni della trasformazione a partire dalle coordinate

Problema 1

Classifica la seguente trasformazione e individua gli eventuali elementi uniti

\[ \begin{cases} x' = -y + 4 \\ y' = x - 3 \end{cases} \]

La trasformazione è una rotazione di centro C qualunque. Confrontiamo con le equazioni del caso generale:

\[ \begin{cases} x' = \cos \alpha x - \sin \alpha y + p \\ y' = \sin \alpha x + \cos \alpha y + q \end{cases} \]

otteniamo:

\[ \begin{cases} \cos \alpha = 0 \\ \sin \alpha = 1 \\ p = 4 \\ q = -3 \end{cases} \]

Quindi l'angolo di rotazione è \(\alpha = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\).

Determiniamo ora il centro di rotazione usando le formule

\[ p = x_c - x_c \cos \alpha + y_c \sin \alpha \quad e \quad q = y_c - x_c \sin \alpha - y_c \cos \alpha \].

Otteniamo il seguente sistema:

\[ \begin{cases} x_c + y_c = 4 \\ -x_c + y_c = -3 \end{cases} \]

Risolviamo il sistema lineare con il metodo di riduzione.

\[ \begin{cases} x_c + y_c = 4 \\ -x_c + y_c = -3 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x_c + y_c = 4 \\ 2y_c = 1 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} y_c = \frac{1}{2} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x_c = \frac{7}{2} \end{cases} \]

Il centro di rotazione è \(C \left( \frac{7}{2}, \frac{1}{2} \right)\).

L'unico punto unito di una rotazione diversa dall'identità è il centro di rotazione; in questo caso, dunque, il punto \(C \left( \frac{7}{2}, \frac{1}{2} \right)\).

L'angolo di rotazione è \(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\), che è un angolo sempre diverso da \(k\pi\), pertanto non ci sono rette unite.