Equazione differenziale ordinaria, Analisi matematica II

ODE (equazioni differenziali ordinarie)

Def: Un'equazione differenziale è un'equazione in cui l'incognita è una funzione y(x) e in cui compaiono x, y e la derivata di y(x).

f(x, y, y', y'' ..., y⁽ⁿ⁾(x)) = 0

Questa equazione è di ordine "n" se y⁽ⁿ⁾(x) ≠ 0

Def: y: I → R è una soluzione dell'equazione se y è derivabile n volte in I e perciò le sue derivate soddisfano l'equazione.

Problema di Cauchy

• y' = f(x, y)
• y(x₀) = y₀

Teorema: f ∈ C⁰(I × J)

I = (x₀ - h, x₀ + h)

J = (y₀ - h, y₀ + h)

tale che f è limitata in J

• ∃δ > 0; ∃! sol { y' = f(x, y)
• y(x₀) = y₀

definita in (x₀ - δ, x₀ + δ) ⊂ I × J

Esempio:

y⁴(x) = y⁴(x)

y(0) = 0

f(x) = f y(y₀) = g²/3

y(x) = 0 è soluzione

{ y² ⋙ y₀ }^dx = ⋙ ^dy/y3 ⋙ = ∫dx

3 y^1/3 = x + C, y(0) = - 0 ⋘ C = 0 ⋘ y(x) = 1/27 x³

Def: Una ODE: F (y, y', y'') = 0

dicesi lineare, se fy₁y₂ , ∆∩∆∋∪ ∎⊨ ℝ

F (a y₁ + b y₂, a y'' + b y''₂, a y' + b y') = a F (y,y',y'') + b E (y,y',y'')

Abbiamo una ODE non lineare a variabili separabili.

y' = f(x,y) si dice a variabili separabili:

se ∈ 2 g(x) e h(y) ⋘ f(x,y) = g(x) h(y)

Nel nostro caso

y' = 9 - x ⋘ y' = -x2y ⋘ g(x) = -xe, h(y) = e

1. Cerco soluzioni costanti: case y = y₀ con h(y₀) ⋘ 0

2. Cerco soluzioni non costanti ⋟ h(y) ⋘ 0 e l'espressione diventa:

g(x) dx/diven ⋙ g(x) dx :

∫d_y/h_y = ∫y' dx/h_y = ∫ g(x) dx

G(x) = ∫ y (x) dx ⋙ H(y) = ∫d_y/ h_y = ⋟ dH = G (x) + C

x^a(t) = E cos(αt) + E sin(βt)

x^p = αcos(γt) + b sin(γt) - aγSen(γt) + bγt cos(γt)

y^p = b γt cos(γt) - a γt cos(βt) - byγt sen(γt)

y^a(t) = t δ γ

OSCILLATORE SMORZATO

λ_1,2 = - h/2m +^√h² - 4Km

x(t) = Ae^λ1t + Be^λ2t

w =^√U/4m - h

x(t) = e^-h/2mt (Acos(wt) + Bsen(wt))