Equazione differenziale ordinaria, Analisi matematica II

ODE (equazioni differenziali ordinarie)

Def: Un'equazione differenziale è un'equazione in cui l'incognita è una funzione y(x) e in cui compaiono x, y e la derivata di y(x).

f(x, y, y', y''...y⁽ⁿ⁾(x)) = 0 Questa equazione è detta di ordine "n" se y⁽ⁿ⁾(x)≠0

Def: y: I→R è una soluzione dell'equazione se y è derivabile n volte in I e ∀x₀ le x inodifatesoddifiano l'equazione.

Problema di Cauchy

y' = f(x, y) y(x₀) = y₀

Teorema f ∈ C⁰(I × J) I = (x₀ - η, x₀ + η) J = (y₀ - η, y₀ + η)

tale che f sia limitata in Ĵ ⇒ ∃δ > 0; ∃! sol

• y' = f(x, y)
• y(x₀) = y₀

defin Ita in (x₀ - δ, x₀ + δ) tale che I x J

ODE (equazione differenziale ordinaria)

Def: Un'equazione differenziale è un'equazione in cui l'incognita è una funzione y(x) e in cui compaiono x, y e la derivata di y(x)

f(x,y,y',y''...,y⁽ⁿ⁾(x)) = 0

Questa equazione è detta di ordine "n" se y⁽ⁿ⁾(x) ≠ 0

Def: y: I → R è una soluzione dell'equazione se y è derivabile n volte in I e le sue derivate soddisfano l'equazione.

Problema di Cauchy

• y' = f(x,y)
• y(x₀) = y₀

Teorema: f ∈ C⁰(I × J)

I = (x₀-η, x₀+η)

J = (y₀-η, y₀+η)

Tale che f sia limitata in J

∃ δ > 0; ∃! sol

• y' = f(x,y)
• y(x₀) = y₀

definita in (x₀-δ, x₀+δ)

I × J

Esempio:

₁(₁) = ²/₃(₁)

(0) = 0

() = , ₍₀₎ = ²/₃

() = 0 e soluzione

¹∫^2/3 = ∫ = ∫¹/ _2/3 = ∫

3¹ = + ; (0) = 0 => = 0 => (x) = ¹/27³

Def: Una O.D.E.: F (, ¹, ¹¹) = 0

di x linear; se ∀,1,1'2 , ∀ a,b,c

F (, ¹, ¹¹) = F (, ¹, ¹¹)

¹ = (, ) di x separabili:

se ∃() e ∃() => (, ) = () ₍₎

Nel nostro caso:

¹ = 9 - x ¹ = -x =>() = -x

h() =_ex

1. Cerco soluzioni costanti: cerco =₀ con ℎ(₀) = 0

2. Cerco soluzioni non costanti => ℎ() ≠ 0 e l'equazione diventa:

^g()/ℎ() = ∫g()dx ; ∫_dy/^h() = ∫ /^h() ₍₎

G() = ∫() dx _a H() = ∫_y()

3. Invertire H(y)

y^-1 = [G(x) + C] (non si può fare sempre)

ODE del I ordine lineare

y' = a(x)y+b(x),

- termine noto

1. Equazione omogenea

y' = a(x)y

2. Equazione non omogenea

y' = a(x)y + b(x)

3. Caso particolare di Eq. a variabili separabili

y' = 0 oppure _1/y dy = _∫ a(x) dx = A(x)

|y(x)| = Ce^A(x)

Integrale generale dell'equazione omogenea con A(x) primitiva di a(x)

4. Cercare una soluzione dell'equazione non omogenea

Fatto così y_p(x) = C(x)e^A(x)

y_p = a(x)y_p + b(x) => Ce^A(x) + C'e^A(x)·a(x) = a(x)Ce^A(x) + b(x)

⇔ C'(x) = b(x)e^-A(x) : C(x) = ∫ b(x)e^-A(x)dx

Eq.(x) = Ce^A(x) + B(x)e^-A(x)

A(x) primitiva di a(x)

B(x) primitiva di b(x)e^-A(x)

ODE del II ordine lineari a coefficienti costanti

ay'' + by' + cy = f(x) a, b, c ∈ R , f ∈ C¹

Integrale generale = Integrale generale dell'equazione omogenea + 1 sol. particolare dell'equazione non omogenea

2. Equazione omogenea

ay'' + by' + cy = 0

Cercare una soluzione del tipo y=e^λx, y' = Aλe^λx, y'' = Aλ²e^λx

e^λx[aλ² + bλ + c] = 0 → x è sol di aλ² + bλ + c = 0

→ D λ_1,2 = -b ± √b²-4ac

_2a

dove λ₁ ≠ λ₂ ∈ R

1. Se b² - 4ac > 0

Sono soluzioni y₁(x) = C₁e^λ¹x e y₂ = C_ex e^λ²x

y_o(x) = C₁e^λ¹x + C₂e^λ²x

2. Se b² - 4ac = 0 , λ₁ = λ₂ ∈ R

y_o(x) = C₁e^λ¹x + C₂xe^λ¹x

3. Se b² - 4ac < 0 dove λ₁ ≠ λ₁ ∈ C

λ₁ = α + iβ ; λ₂ = 2 - iβ

α = -_b ; β = √ 4ac - b ²

_{2a 2w}

e^λ¹x = e^(α+iβ)x = e^αx e ^iβx = e^αx(cosβx + i sen βx)

e^λ²x = e^αx e ^{- iβx} = e^αx (cos βx - i sen βx)

y_o(x) = e^αx (A cos βx - i sen βx)

Metodo di somiglianza

ay'' + b y' + c y = f(x)

f(x) = p(x)e^ax

p(x) polinomio di grado m

1. A è una radice del polinomio caratteristico

y_p(x) = f(x) x^le^ax

2. B è radice del polinomio caratteristico

q(x) = x^mp(x)e^ax

m = 2 se Δ ≠ 0

m = 2 e Δ = 0

2. y₀(x) = C₁e^λ₁x + C₂e^λ₂x + q_p

OSCILLATORE LIBERO

mx'' + kx = 0

mλ² + k = 0

λ² = - (1/m)

w = √(k/m)

• x(t) = A cos(wt) + B sin(wt)
• x'' + w²x = cos(γt)
• x_p = acos(γt) + b sin(γt)
• a = 1/(w² - γ²)
• x(t) = Acos(wt) + Bsin(wt) + a cos(xt)
• w = γ
• γ ≠ w

x^α(t)=t(α_coscos(βt)+b_sen(βt))

x^p=ωcos(βt)+bsen(βt)−aβsenβt+bγtαcosβt

2γ+6βγt+γ(t)=cos(γt)(2δγ−αγt−θωt)=cosγt

ϑ=0 θ=1/2γ

(OSCILLATORE SMORZATO)

λ_1,2=−_h/^2m

2^o CASO: _h²<4Km

x(t)=Ae^λ₁t+Be^λ₂t

λ₁,λ₂<0 x(t)→0 se t→0+∞

x(t)=A e^−bt/2mt+B e^−bt/2mt

x(t)→0 se t→0+∞ più lentamente

3^o CASO: h²<4Km

ω=^{√1/4m−h2/m2}

x(t)=e^−b/2mt(Acos(ωt)+Bsen(ωt))

e^−b/2mt