Equazione cartesiana e parametrica di una retta, figure piane nello spazio

Complementi di matematica

Geometria analitica nello spazio

• Equazione parametrica di una retta
• Equazione cartesiana di una retta
• Figure piane nello spazio

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1

Scrivi in forma parametrica e cartesiana le equazioni della retta passante per i punti P(5; -1; 1) e Q(2; 0; 2).

Il vettore PQ ha componenti (2 - 5; 0 - (-1); 2 - 1), quindi PQ(-3; 1; 1).

Le equazioni parametriche della retta sono:

• x = 5 - 3k
• y = -1 + k
• z = 1 + k

Ricaviamo k e lo eliminiamo per determinare le equazioni cartesiane.

• k = ^{5 - x}⁄₃
• k = y + 1
• k = z - 1

^{5 - x}⁄₃ = y + 1 = z - 1.

2

Verifica che il triangolo di vertici A(-1; -1; 1), B(1; 2; 0) e C(3; 1; 3) è isoscele e trova la sua area.

Calcoliamo la lunghezza di ogni lato con la formula della distanza tra due punti.

• AB = √((1 + 1)² + (2 + 1)² + (0 - 1)²) = √4 + 9 + 1 = √14;
• BC = √((3 - 1)² + (1 - 2)² + (3)²) = √4 + 1 + 9 = √14;
• AC = √((3 + 1)² + (1 + 1)² + (3 - 1)²) = √16 + 4 + 4 = √24 = 2√6

Quindi AB = BC e il triangolo ABC è isoscele su base AC.

Calcoliamo l'altezza determinando il punto medio di AC,

• x_M = ^{3 + 1}⁄₂ = 1
• y_M = ^{1 - 1}⁄₂ = 0, quindi M(1; 0; 2);
• z_M = ^{3 + 1}⁄₂ = 2

BM = √((1 - 1)² + 2² + (-2)²) = √4 + 4 = 2√2.

Calcoliamo l'area:

S_ABC = ^{AC ⋅ BM}/⁄₂ = ^{2√6 ⋅ 2√2}/⁄₂ = 4√3.

In alternativa si può calcolare l'area con la formula di Erone utilizzando il semiperimetro

• p = ^{√14 + √14 + 2√6}/⁄₂ = √14 + √6.

S_ABC = √(p(p - AB)(p - AC)(p - BC)) =

√((√14 + √6)(√6)(√14 - √6)(√6)) =

√(6(14 - 6) = √48 = 4√3