Figure piane nello spazio xyz equazione della sfera circoscritta al tetraedro

Complementi di matematica

Geometria analitica nello spazio

Esercizi Svolti

• Equazione parametrica della retta
• Figure piane nello spazio
• Sfera circoscritta al triangolo

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Geometria analitica nello spazio

Esercizi Svolti

• Equazione parametrica della retta
• Figure piane nello spazio
• Sfera circoscritta al triangolo

Problema completo

Un drone si muove, secondo i comandi che gli vengono inviati, in uno spazio cartesiano tridimensionale con l’origine sul suolo. Se il drone parte dal punto A(1; 0; 4), determina le coordinate del punto in cui si trova dopo aver percorso una distanza di 26 m in direzione v (3; 12; 4).

Il drone si muove lungo la retta di equazioni parametriche:

x = 1 + 3t y = 12t,   con  t ∈ ℜ. z = 4 + 4t

Il drone, dopo aver percorso 26 m in direzione   v, si trova nel punto B(1 + 3t; 12t; 4 + 4t), con t > 0.Poniamo   AB = 26:

√9t² + 144t² + 16t² = 26 → 13t = 26 → t = 2.Il punto di arrivo è B(7; 24; 12).

Problema completo

Dati i punti O(0; 0; 0), A(0; 6; 0), B(0; 3; 3), C(2√6; 3; √3):

1. verifica che sono i vertici di un tetraedro regolare;
2. scrivi le equazioni della retta a cui appartiene lo spigolo AC sotto forma di intersezione di due piani;
3. determina l’equazione della superficie sferica circoscritta.

a. Verifichiamo che gli spigoli sono tutti congruenti e formano dunque quattro triangoli equilateri. Osserviamo infatti nella figura che i punti sono a 3 a 3 non allineati, quindi formano certamente un tetraedro.

• OA = 6
• OB = √9 + 27 = 6
• OC = √24 + 9 + 3 = 6
• AB = √9 + 27 = 6
• AC = √24 + 9 + 3 = 6
• BC = √24 + 12 = 6

b. Scriviamo le equazioni parametriche della retta per AC.

AC(2√6; −3; √3)

• x = 2√6 k
• y = 6 − 3k
• z = √3 k