Distanza di una retta da un piano e distanza tra rette nello spazio

Complementi di matematica

Geometria analitica nello spazio

Esercizi Svolti

• Equazione di una retta perpendicolare a due rette date nel loro punto comune.
• Distanza di una retta da un piano
• Distanza tra rette nello spazio

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Geometria analitica nello spazio

Esercizi Svolti

• Equazione di una retta perpendicolare a due rette date nel loro punto comune.
• Distanza di una retta da un piano
• Distanza tra rette nello spazio

N° 1

Scrivi l'equazione della retta r perpendicolare alle rette s:

troviamo il punto di intersezione P tra s e t, sostituendo le equazioni di s nelle equazioni di t:

3(1 + t) + 2 + t - 5 = 0 3(1 + t) + (-1 - t) - 2 = 0 - 4t = 0 2t = 0 t = 0.

Allora, sostituendo t = 0 nelle equazioni di s, troviamo: P(1; 2; -1).

La retta s ha vettore direzione (1; 1; -1). Per trovare il vettore direzione della retta t, scriviamo le sue equazioni in forma parametrica:

x = ky = 5 - 3k → (1; -3; -3).z = 2 - 3k

La retta r ha vettore direzione (a; b; c), perpendicolare sia a sia a :

⋅ = 0 ⋅ = 0

a + b - c = 0 ➞ I - II {4b + 2c = 0 ➞ {c = -2ba - 3b - 3c = 0 ➞ II - 3I -2a - 6b = 0 ➞ {a = -3b

Quindi, posto per comodità b = -1, si ha (3; -1; 2). La retta r passante per P con vettore direzione ha equazioni:

x = 1 + 3k y = 2 - k . z = -1 + 2k

N° 2

Trova per quale valore di k la retta r di equazioni

x = 1 + 2t

y = -1 - 2t è parallela al piano di equazione

z = 3 + t

x + ky + kz - 2 - k = 0. Quindi calcola la loro distanza.

La retta r ha vettore direzione v̅(2; -2; 1).

Il piano ha vettore normale n̅(1; k; k).

Sono paralleli se v̅ e n̅ sono perpendicolari:

v̅ ⋅ n̅ = 0 → 2 - 2k + k = 0 → k = 2.

La retta r è quindi parallela al piano di equazione x + 2y + 2z - 4 = 0. La loro distanza è la distanza di un punto P qualsiasi di r dal piano.

t = 0 → P(1; -1; 3)

d = ^{|1 ⋅ 1 + 2 ⋅ (-1) + 2 ⋅ 3 - 4|}/_{√1² + 2² + 2²} = ¹/₃

La distanza tra la retta e il piano dati è ¹/₃.