Dimostrazioni di alcune proprietà delle omotetie

Complementi di matematica

Trasformazioni geometriche

Esercizi svolti

Dimostrazioni di alcune proprietà delle omotetie

Dimostrazione

Dimostra analiticamente che un' omotetia con centro nell'origine trasforma rette perpendicolari in rette perpendicolari.

Prendiamo due rette generiche r₁, di equazione a₁x + b₁y + c₁ = 0, e r₂, di equazione a₂x + b₂y + c₂ = 0, perpendicolari tra loro. Se le rette non sono parallele agli assi, abbiamo:

m₁ = -^a₁/_b1, m₂ = -^a₂/_b2 con m₁ = -¹/_m2.

Un' omotetia che ha come centro l'origine ha equazioni | x' = kx | y' = ky |.

Le equazioni che esprimono x e y in funzione di x' e y', cioè le equazioni dell'omotetia inversa, sono:

x = ¹/_k x' y = ¹/_k y'

Sostituiamo nelle equazioni di r₁ e r₂:

a₁^x'/_k + b₁^y'/_k + c₁ = 0, a₂^x'/_k + b₂^y'/_k + c₂ = 0,

m₁' = -^a₁/_kb₁ e m₂' = -^a₂/_kb₂ = -^a₂/_b2.

I coefficienti angolari non sono cambiati (m₁' = m₁ e m₂' = m₂), quindi m₁' = -¹/_m2² e le rette trasformate sono anch'esse perpendicolari.

Nel caso in cui le due rette perpendicolari r₁ e r₂ siano una parallela all'asse y e una parallela all'asse x, le loro equazioni sono rispettivamente x = a e y = b.

Applicando l'omotetia, queste equazioni vengono trasformate rispettivamente in x' = ka e y' = kb, che sono ancora le equazioni di una retta parallela all'asse y e una retta parallela all'asse x, e quindi di due rette perpendicolari tra loro.