Controllo digitale - la discretizzazione

ADC

a=segnale analogico

b=segnale digitale Progettare un controllore digitale

1. Discretizzando un controllore t.c.

Necessità di progettare un controllore t.c. (fondamenti di automatica, controlli

 automatici etc...).

Come passare da un controllore analogico a uno digitale?



2. Direttamente nel dominio discreto (z).

Complicato (più matematicamente che da un punto di vista di teoria del

 controllo)... SOLITO PROBLEMA DELLA RELAZIONE (TRASCENDENTE)

TRA z E s!

Sintesi di controllori t.c. – veloce ripasso

Si basa sul tracciamento dei diagrammi di Bode e sulla loro modifica;

 Errore a regime nullo:

 Gradino: 1 integratore in L(s);

 Rampa: 2 integratori in L(s) (stabilità!);



Margini di stabilità:

 Introdurre poli/zeri in modo che i diagrammi di bode di L(s) abbiano margine

 di guadagno/fase desiderati.

Specifiche su transitorio:

 Polo dominante: pulsazione in cui |L(s)| taglia l'asse 0dB.

 Altre: più complicate (casi particolari più semplici, sistemi del secondo ordine

 etc...).

Implementazione digitale di controllori t.c. (1/16)

E' un approccio indiretto basato sul progetto di un controllore analogico

 per il sottosistema analogico del sistema di controllo e sulla successiva

discretizzazione del controllore ottenuto.

Esistono differenti tecniche di discretizzazione basate essenzialmente su

 differenti approssimazione della relazione esistente tra z e s.

Metodo delle differenze in avanti.

 Metodo delle differenze all'indietro.

 Metodo della trasformazione bilineare.

 Metodo dell'invarianza della risposta all'impulso.



N.B.: Cosa si intende per sottosistema analogico?



Implementazione digitale di controllori t.c. (2/16)

Analog

External

Input Output

Output

Input d a a

Computer or

PC Analog

Sistema

DAC

Microprocessor

Microcontrollore Subsystem

d a

ADC

a=segnale analogico

b=segnale digitale

Implementazione digitale di controllori t.c. (3/16)

Consideriamo il sistema di controllo:

 U(z) Y(z)

E(z)

+

R(z) C(z) G (z)

ZAS

−

1. Progettare un controllore C (s) per il sottosistema analogico in base alle

a

specifiche richieste;

2. Trasformare C (s) in un controllore C(z) mediante opportune procedure in

a

modo che:

1. Se C (s) è stabile anche C(z) deve esserlo

a

2. La risposta in frequenza del sistema di controllo digitale deve approssimare al

meglio quella del filtro analogico tra 0 e la metà della frequenza di

campionamento.

3. Controllare le prestazioni del sistema di controllo digitale così ottenuto.

Implementazione digitale di controllori t.c. (4/16)

Cosa è il sottostima analogico?

 Y(z)

E(z)

+

R(z) G s

C(z) G(

s

( ) )

ZOH

−

E' la serie ZOH-SISTEMA.

Al fine di ottenere una fdt razionale fratta si utilizza per G ZOH

un'approssimazione di Padé del primo ordine:

1

G (s)=

ZOH 0.5T s+1

1

G s)G G s)

(s)=G ( (s)= (

a ZOH 0.5T s+1

Implementazione digitale di controllori t.c. (5/16)

Metodo delle differenze in avanti: si basa sull'approssimazione:

 1

ẏ y k y k

(k )≈ [ ( +1)− ( )]

T

1 z −1

sY z−1]Y z s=

⇒ (s)= [ ( )⇒

T T

z

⇒ =1+Ts Res0⇒ Re z 1

Controllori stabili possono

Diventare instabili!

Implementazione digitale di controllori t.c. (6/16)

Metodo delle differenze all'indietro: si basa sull'approssimazione:

 1

ẏ y y

k ≈ [ k − k −1]

T

z−1

s=

⇒ zT

1

z

⇒ = 1−Ts Attenzione 1!

Può trasformare

alcuni filtri instabili

in filtri stabili in z!

Attenzione 2!

Distorsioni dovute

al fatto che non si

”usano” tutti i filtri

stabili in z!

Implementazione digitale di controllori t.c. (7/16)

Esempio 1: sia dato il controllore analogico

 100

C s=



a 2

s 40s100

Calcolare il corrispondente controllore digitale (T=0.01s) utilizzando:

1. Metodo delle differenze in avanti;

0.01

∣

C z C s

 =  =...=

1 a z −1 2

z −1.6z0.61

s= T

2. Metodo delle differenze all'indietro. 2

0.01z

∣

C z=C s

  =...=

2 a z−1 2

1.41z −2.4z1

s= zT

Implementazione digitale di controllori t.c. (8/16)

S tep R es p o n s e

1 C

Esempio 1 (cont.): a

 C

0 .9 1

C 2

0 .8

100 S tep R es p o n s e

C s= 0 .7

 0 .5

a 0 .45

2

s 40s100 0 .6 0 .4

e

d 0 .35

u 0 .5

lit

p

0.01 m 0 .3

A e

0 .4 d

C z u 0 .25

 = lit

p

m

A

1 0 .2

2 0 .3

z −1.6z0.61 0 .15

0 .2 0 .1

0 .05

2

0.01z 0 .1 0 0 0 .05 0 .1 0 .15 0 .2 0 .25 0 .3 0 .35 0 .4 0 .45 0 .5

T im e ( s e c )

C z=

 0 0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5

2 2

1.41z T im e (s e c )

−2.4z 1 Im p u ls e R e s p o n s e

2 .5 C

C1

C2

2

B o d e D ia g r a m

0

-1 0

-2 0 1 .5

) -3 0

B

d

( e

e d

-4 0

d u

u

it lit

n p

g -5 0

a m

M A

-6 0 1

C a

-7 0 C 1

-8 0 C 2

90

0 0 .5

-9 0

)

g

e

(d -1 8 0

e

s

a

h -2 7 0

P -3 6 0 0 0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 3 3 .5 4 4 .5

-4 5 0 T im e (s e c )

-1 0 1 2 3

10 10 10 10 10

F r e q u e n c y ( ra d / s e c )

Implementazione digitale di controllori t.c. (9/16)

Metodo basato su trasformazione bilineare (o di Tustin)

 sT

Si basa sull'approssimazione della relazione z=e che lega z e s negli

istanti di campionamento attraverso la (ormai) nota trasformazione

bilineare: [ ]

T

1 s

[ ] 2

1 2 z−1 z≈

s= ln z

 ≈ T

T T z1 1− s

2

Implementazione digitale di controllori t.c. (10/16)

E' la trasformazione più usata perché ha importanti proprietà:

1. Discretizza sistemi analogici stabili in sistemi discreti stabili, in quanto

mappa il semipiano sinistro del piano complesso nel cerchio unitario

(proprietà già sfruttata per lo studio della stabilità di sistemi discreti).

2. La risposta in frequenza del sistema ha banda limitata, cioè la

trasformazione genera un sistema discreto a banda limitata, il che rende

nullo il fenomeno dell'aliasing.

j T j T j T

−   /2 −  /2

2 1−e 2 e 2

−e

d d d

j j tan T 2

 = = =  /

a d

T T T

j T j T j T

−   /2 −  /2

1e e e

d d d

2 T

atan

⇒  = 

d a

T 2

In pratica tutte le frequenze analogiche vengono mappate in un range

limitato (maggiore al diminuire di T) di frequenze!

Implementazione digitale di controllori t.c. (11/16)

Tale problema di mappatura causa una distorsione (warping):

 1000

900

800 T = 0 .0 0 1

700

600

500

d

ω 400 T = 0 .0 1

300

200 T = 0 .1

100

0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

ω a

Implementazione digitale di controllori t.c. (12/16)

Esempio 2: sia dato il controllore analogico

 100

C s=



a 2

s 40s100

Calcolare il corrispondente controllore digitale (T=0.01s) utilizzando il

metodo di Tustin. 2

0.002z 0.004z 0.002

C z =

3 2

z −1.659z0.667