Teoria di preparazione all'esame Controllo Digitale

MATERIALE CONTROLLO DIGITALE 1° ESONERO

1) Equazioni alle differenze [recorsive, dominio discreto e codominio continuo]

• coefficenti sono indipendenti dal tempo
• a primo grado ipotesi di linearità

È un passaggio utile a costruire la relazione tra campioni di ingresso e uscita!

{e_k} = {e₀, e₁, ..., e_k, u₀, u₁, ..., u_k-1}

y_k = a₁y_k-1 + a₂y_k-2 + a_ny_n-k + b₁e_k + b₂e_k-1 + ... + b_me_k-m

Posso definire l'operatore differente ∇ analogo a Δ

che mi permette di lavorare in rapporto incrementale:

t⃗→ 0 T

• Δy_k = y_k - y_k-1
• ∇y_k = y_k - ∇_∇y_k-1
• ∇y_k = hⁿy_m-1 - ∇ⁿy_k-1

e sostituendo appropriatamente ottengo l'equazione alle differenze

2) Z trasformáta

Data una sequenza unaria {x_k} ⊆ ℝ definito per k = 0, 1, 2, ... nulla per k ≪ 0,

la ma z trasforma unitaria è data da

x(z) = ∑ x_kz^-k = x₁z⁻¹ + x₂z⁻² + ... + x_kz⁻ᵏ

E se la sequenza x_k è ottenuta campionando uniformemente con periodo T una sequenza x(t) allora vale che

x(t) |z|回 |x(τ)_k| ⊆ |x(kT)| ed ha un dominio di conseguenza n° il intero

σ della circonferena a raggio r centrato nello origine

Otteniamo come consequenza alla caratteristica viste le funzioni in z

che consideriamo sono del tipo razionale fratto con numeratore di

già numeratore e denominatore di grado n che n è ampiltudine l

e pole saranno tutte negative

per rendere tale prendo la potenza più grande e divido tutti i termini

per il suo esponente

3) Proprietà della z trasformáta

Linearità: Siano date le sequenze f(kT) e g(kT) con z trasformáta

F(z) e G(z) e costanti a e b f allora z trasformáta x(kT) = aF(kT) + bG(kT).

Dim. x(z) = ∑ x_kz^-k

= ∑ [ actions f(kT)\\x + bg(kT) ] ︱k|a + kb_k

= ∑⋐0 ⋑aɆf(kτ)⁻ᵏ + bɀ(g(τ)_k+1)^-k [

= aF(z) + bG(Z)

[Valida anche al contrario]

-RITARDO TEMPORALE-

Sia data la funzione x(t) nulla per t < 0 e sia x(z) la z trasformata ottenuta dalla sequenza x(kt) franco campionamento x(t) con periodo T allora

z [x(t-nt)] = z⁻ⁿ x(z) n = 0, 1, 2, 3, ...

DIM: z [x(t-nt)] = z ∑ x(kt-nt)z⁻ᵏ

Rango m = k-n che parte da 0 per la causalità

-ANTICIPO TEMPORALE-

Sia data la funzione x(t) nulla per t < 0 e sia x(t) la z trasformata dalla sequenza x(kt) ottenuta campionando x(t) con periodo T allora

z [x(t+nT)] = zⁿ x(z) - α con α = ∑ x(kT) z⁻ᴷ per annullare quei k=0 campioni causali in t<0

DIM: z [x(t+nT)] = z ∑ x(kT+nT) z⁻ᵏ

metto n t-K = n

pongo m = k-n e la faccio partire da zero per la causalità

-TEOREMA VALORE INIZIALE-

Sia data la funzione x(t) nulla per t < 0 e sia x(z) la z trasformata della della sequenza x(kt) ottenuta campionando x(t) col periodo T, allora

x(0) = lim x(z)

DIM: lim ∑ x(kt) z⁻ⁿ = lim [x(0) + x(t)z + x(2T) z T / ...]

= x(0) unico campione che risulta ≠ 0

-TEOREMA VALORE FINALE-

Data la funzione x(t) nulla per t < 0 e sia x(kt) la z trasformata della sequenza x(kt) ottenuta campionando x(t) con periodo costante allora

lim x(kt) - lim [1-z⁻¹ X(z)]

DIM: [lim (1-z] [1-X(z)] = [lim [x(kt)] - z⁻¹x]

= lim ∑ x(nt) z⁻ᵏ = ∑ x(kt-1)z⁻ᵏ = ∑ [x(kT) - x((k-1)T)

= lim ∑ x(kt) z .

3) teorema di Shannon

w_s > 2w_c

Sia w_s=T^-1 la pulsazione di sapling (campionamento) e w_c la componente ripetibile piu' alta x(t), allora x(t) è completamente ricostruibile dalla forma campionata x*(t) se e solo se w_s è maggiore del doppio di w_c

Nota: nei controlli automatici da bisogno di una w_c molto superiore alla reale per cui si potrebbe accettabile un ϰ